1、考研数学三-260 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若 3a 2 -5b0，则方程 x 5 +2ax 3 +3bx+4c=0_（分数：4.00）A.有唯一实根B.有两个不同实根C.有三个不同实根D.有五个不同实根2.设 F(t)= （分数：4.00）A.2e(1-e)B.-2e2C.1-eD.03.曲线 y=f(x)=|x|-x+e -|x| ln|x|的渐近线共有_（分数：4.00）A.1 条B.2 条C.3 条D.4 条4.若幂级数 在 x=1 处收敛，则级数 （分数：4.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.收敛性与
2、 b 的取值有关5.设 A 是 n 阶矩阵， 是 n 维非零列向量，记 （分数：4.00）A.Ax= 必有无穷多解B.Ax= 必有唯一解C.By=0 仅有零解D.By=0 必有非零解6.设 A，B 均是 n 阶实对称可逆矩阵，则存在可逆矩阵 P，使得下列关系式成立的个数是_ PA=B； P -1 ABP=BA； P -1 AP=B； P T A 2 P=B 2 （分数：4.00）A.1B.2C.3D.47.设随机变量 X 的分布函数为 F(x)=(x)+(1-) （分数：4.00）A.1- 和 5-(+1)2B.1- 和 5-(-1)2C. 和 5-(+1)2D. 和 5-(-1)28.设随机
3、向量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)，则 P(-Xa，Yy)=_（分数：4.00）A.1-F(-a，y)B.1-F(-a，y-0)C.F(+，y)-F(-a，y-0)D.F(+，y)-F(-a，y)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设二元函数 f(x，y)二阶连续可导，且 若 u(x，y，z)=f(x+y+z，x 2 +y 2 +z 2 )，则 （分数：4.00）10.若二阶常系数线性齐次微分方程 2y“+ay“=0 和 y“-by=0 有同一解 y=e 2x ，则非齐次方程 y“+ay“+by=e 2x 的通解为 y= 1 （分数：4.00）11.设函数 z=2(x，y)由方
4、程 z=y+ 确定，则在点 P 0 (1，1)处 （分数：4.00）12.f(t)为连续函数，D 是由 y=x 3 ，y=1，x=-1 围成的区域，则 （分数：4.00）13.设 A 是三阶矩阵，将 A 的所有元素用关于副对角线对称的元素替换得到的矩阵记为 B 若|A|=a，则|B|= 1 （分数：4.00）14.已知 P(A)=0.5，P(B)=0.6，P(B|A)=0.4，则 P(A-B)|AB)= 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 z=z(x，y)是由 x 2 -6xy+10y 2 -2yz-z 2 +18=0 确定的函数，求 z=z(x，y)的极
5、值点和极值 （分数：11.00）_设函数 f(t)= （分数：11.00）(1).求 f(t)的初等函数表达式；（分数：5.50）_(2).证明存在 t 0 (0，1)，使得 f(t 0 )是 f(t)在0，1内的唯一最小值（分数：5.50）_设 y=y(x)在(-，+)内二阶可导，且 y“(x)0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数（分数：11.00）(1).试将 x=x(y)所满足的微分方程 （分数：5.50）_(2).求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，y“(0)= （分数：5.50）_若有数列x n 由如下条件确定，x 1 =1，x n+1 =sin(arctan x n
6、)，n=1，2，（分数：11.00）(1).证明数列x n 收敛，并求极限 （分数：5.50）_(2).求极限 （分数：5.50）_16.已知某产品总产量 Q 对时间 t 的变化率为 （分数：10.00）_(1).设 E 12 (1)= ，W= （分数：5.00）_(2).设 A= （分数：5.00）_17.设二次型 f(x 1 ，x 3 ，x 3 )=(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 -x 3 ) 2 +(x 3 +x 1 ) 2 ，用可逆线性变换化二次型为标准形，并指出所作的可逆线性变换及二次型的正、负惯性指数及二次型的正定性 （分数：10.00）_18.设随机变量 X 的密度函数
7、（分数：3.00）_在计算机上进行大型科学计算，需对经运算后的十进制数 x j ，在其小数点后第 6 位作四舍五入，得到 x j ，的近似值 y j ，则误差 j =x j -y j 在区间(-0.510 -5 ，0.510 -5 )内随机取值设随机变量 j 服从该区间上的均匀分布记经 n 次运算的累积误差为 （分数：17.01）(1).试求 1 + 2 的分布；（分数：5.67）_(2).利用切比雪夫不等式估计，当 n=10000 时给出| n |不超过 0.0005 的概率的下界；（分数：5.67）_(3).利用中心极限定理，当 n=10000 时以 99.7%以上的把握给出| n |的近
8、似估计(估计上界) 注：(x)为标准正态分布，已知 (3)=0.99874（分数：5.67）_考研数学三-260 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若 3a 2 -5b0，则方程 x 5 +2ax 3 +3bx+4c=0_（分数：4.00）A.有唯一实根 B.有两个不同实根C.有三个不同实根D.有五个不同实根解析：解析 设 f(x)=x 5 +2ax 3 +3bx+4c，f“(x)=5x 4 +6ax 2 +3b 因为 =(6a) 2 -45(3b)=12(3a 2 -5b)0，所以 f“(x)=5x 4 +6ax 2 +3b0，
9、因此 f(x)=0 至多有一个根 又 f(x)是五次多项式，它至少有一个零点，所以 f(x)=0 有唯一实根2.设 F(t)= （分数：4.00）A.2e(1-e) B.-2e2C.1-eD.0解析：解析 区域 D：0xt 2 ，xyt 2 ，交换次序为 D：0yt 2 ，0xy，则 3.曲线 y=f(x)=|x|-x+e -|x| ln|x|的渐近线共有_（分数：4.00）A.1 条B.2 条C.3 条 D.4 条解析：解析 当 x=0 时， =-，所以 x=0 是其垂直渐近线 当 x0 时，f(x)=e -x ln x， =0，所以 y=0 是其水平渐近线 当 x0 时，f(x)=-2x+
10、e x ln(-x)， k= =-2 b= y(x)+2x= 4.若幂级数 在 x=1 处收敛，则级数 （分数：4.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛 D.收敛性与 b 的取值有关解析：解析 (x+1) n 在 x=1 处收敛 (x+1) n 在(-1-2，-1+2)=(-3，1)内绝对收敛 绝对收敛 又 由比较审敛法的极限形式，知 5.设 A 是 n 阶矩阵， 是 n 维非零列向量，记 （分数：4.00）A.Ax= 必有无穷多解B.Ax= 必有唯一解C.By=0 仅有零解D.By=0 必有非零解 解析：解析 因 r(B)=r(A)n，B 是 n+1 阶矩阵，故|B|=06.设 A，B 均
11、是 n 阶实对称可逆矩阵，则存在可逆矩阵 P，使得下列关系式成立的个数是_ PA=B； P -1 ABP=BA； P -1 AP=B； P T A 2 P=B 2 （分数：4.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析 逐个分析关系式是否成立 式成立因 A，B 均是 n 阶实对称可逆矩阵，故存在可逆矩阵 R，W，使得 RA=E，WB=E(即 )，RA=WB，W -1 RA=B记 P=W -1 R，即有 PA=B，故成立 式成立取 P=A，则有 P -1 ABP=A -1 ABA=BA，故式成立 式不成立如 7.设随机变量 X 的分布函数为 F(x)=(x)+(1-) （分数：4.00）A.1-
12、 和 5-(+1)2 B.1- 和 5-(-1)2C. 和 5-(+1)2D. 和 5-(-1)2解析：解析 由已知得 记 ，f X (x)=f 1 (x)+(1-)f 2 (x)， 则 E(X 1 )=0，D(X 1 )=1；E(X 2 )=1，D(X 2 )=4 8.设随机向量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)，则 P(-Xa，Yy)=_（分数：4.00）A.1-F(-a，y)B.1-F(-a，y-0)C.F(+，y)-F(-a，y-0)D.F(+，y)-F(-a，y) 解析：解析 P(-Xa，Yy)=P(X-a，Yy)=P(-X+，Yy)-P(X-a，Yy)=P(Yy)-P(X-a，Y
13、y)=F(+，y)-F(-a，y)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设二元函数 f(x，y)二阶连续可导，且 若 u(x，y，z)=f(x+y+z，x 2 +y 2 +z 2 )，则 （分数：4.00）解析：-12 解析 由已知得 利用函数结构的对称性，可得 最后得 10.若二阶常系数线性齐次微分方程 2y“+ay“=0 和 y“-by=0 有同一解 y=e 2x ，则非齐次方程 y“+ay“+by=e 2x 的通解为 y= 1 （分数：4.00）解析：y=(C 1 +C 2 x+ )e 2x ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数 解析 由题设条件可知二次方程 2 2 +a=0 与
14、 2 -b=0 有共同的一个解 =2，所以 b=4，a=-4齐次微分方程为 y“-4y“+4y=0，其通解是y=(C 1 +C 2 x)e 2x 求非齐次微分方程 y“-4y“+4y=e 2x 的一个特解： 由非齐次项设特解 Y=Ax 2 e 2x ，代入微分方程 y“-4y“+4y=e 2x ，得 A(2e 2x +8xe 2x +4x 2 e 2x )-4A(2xe 2x +2x 2 e 2x )+4Ax 2 e 2x =e 2x 得 A= ，故其特解为 Y= ，通解为 11.设函数 z=2(x，y)由方程 z=y+ 确定，则在点 P 0 (1，1)处 （分数：4.00）解析：1 解析 由
15、方程 z+ln z-ln x-y=0，得 所以有 又 z(1，1)=1，所以在点 P 0 (1，1)处有 12.f(t)为连续函数，D 是由 y=x 3 ，y=1，x=-1 围成的区域，则 （分数：4.00）解析：2 解析 如下图， 由区域的对称性可得 因此 13.设 A 是三阶矩阵，将 A 的所有元素用关于副对角线对称的元素替换得到的矩阵记为 B 若|A|=a，则|B|= 1 （分数：4.00）解析：a 解析 因 14.已知 P(A)=0.5，P(B)=0.6，P(B|A)=0.4，则 P(A-B)|AB)= 1 （分数：4.00）解析： 解析 由题设可知，P(AB)=P(A)P(B|A)=
16、0.50.4=0.2，于是 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 z=z(x，y)是由 x 2 -6xy+10y 2 -2yz-z 2 +18=0 确定的函数，求 z=z(x，y)的极值点和极值 （分数：11.00）_正确答案：()解析：方程 x 2 -6xy+10y 2 -2yz-z 2 +18=0 两边对 x 和 y 求导，得 令 故得驻点坐标关系 将上式代入 x 2 -6xy+10y 2 -2yz-z 2 +18=0，可得两个驻点 由于式对 x 求导得 式对 x 求导得 式对 y 求导得 联立式、，解得 故 AC-B 2 = 0，又 A= 0，从而点(9，3)是 z(x，y
17、)的极小值点，极小值为 z(9，3)=3 类似地，由 可知 AC-B 2 = 0，又 A=- 设函数 f(t)= （分数：11.00）(1).求 f(t)的初等函数表达式；（分数：5.50）_正确答案：()解析：如图将积分区域划分如下： D + =D(x，y)|xy-t0， D - =D(x，y)|xy-t0 (2).证明存在 t 0 (0，1)，使得 f(t 0 )是 f(t)在0，1内的唯一最小值（分数：5.50）_正确答案：()解析：f“(t)=-1+2t( -ln t)-t=-1+2t(1-ln t) 由驻点方程 f“(t)=0，难以求得驻点的值，但可以通过分析函数 f(t)在区间(0
18、，1内的性质，断言：f(t)在区间(0，1)内有唯一驻点，这一点就是 f(t)在区间0，1内的最小值点因为 f“(t)=-2ln t0，t(0，1)，函数在区间(0，1)内是下凸的 又 ，f“(1)=10 补充定义 f(0)= 设 y=y(x)在(-，+)内二阶可导，且 y“(x)0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数（分数：11.00）(1).试将 x=x(y)所满足的微分方程 （分数：5.50）_正确答案：()解析：因为 ，从而 故 (2).求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，y“(0)= （分数：5.50）_正确答案：()解析：现在变为初值问题 对应的齐次方程 y“-y=0
19、的通解为 Y=C 1 e x +C 2 e -x 设方程 y“-y=sin x 的特解为 Y=Acos x+Bsin x，代入得 A=0，B= ，故 y * = ，从而 y“-y=sin x 的通解为 y=C 1 e x +C 2 e -x - sin x 由 y(0)=0，y“(0)= ，得 C 1 =1，C 2 =-1，故所求初值问题的解为 y=e x -e -x - 若有数列x n 由如下条件确定，x 1 =1，x n+1 =sin(arctan x n )，n=1，2，（分数：11.00）(1).证明数列x n 收敛，并求极限 （分数：5.50）_正确答案：()解析：首先证明，x n
20、单调递减趋于零 由 x 1 =1，及 0x n+1 =sin(arctan x n )arctan x n x n ，得x n 是单调递减，且x n 0，1，则x n 单调递减有下界 从而其极限存在，设 ，则由 ，得方程 a=sin(arctan a)，a0，1， 显然 a=0，即 (2).求极限 （分数：5.50）_正确答案：()解析：思路一： 当 t0 时，arctan t=t- t 3 +o(t 3 )=t+o(t)， 思路二：令 u n =arctan x n ，则 x n =tan u n ，因此 16.已知某产品总产量 Q 对时间 t 的变化率为 （分数：10.00）_正确答案：(
21、)解析：先求总产量函数 Q(T)，由于 Q(0)=0，故 平均年产量为 令 ，得 T=3(年)，又因为 T3 时， (T)0，即投产 3 年后，平均年产量将达到最大值，此时，总产量的变化率为 由此可见，在平均年产量等于总产量的变化速度时，总产量最大，此结果具有一般性 平均年产量达到最大后，再生产 3 年，这 3 年的平均年产量为 (1).设 E 12 (1)= ，W= （分数：5.00）_正确答案：()解析：E 12 (1)W= (2).设 A= （分数：5.00）_正确答案：()解析：对 A 作倍加初等行变换(即左乘倍加初等阵，倍加初等阵是主对角元为 1 的下三角阵)，化 a 21 ，a 3
22、1 ，a 32 为零，将 A 化为上三角阵，即 即 E 12 (-1)E 23 (-1)A=C，A=E 23 (1)E 12 (1) 其中 17.设二次型 f(x 1 ，x 3 ，x 3 )=(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 -x 3 ) 2 +(x 3 +x 1 ) 2 ，用可逆线性变换化二次型为标准形，并指出所作的可逆线性变换及二次型的正、负惯性指数及二次型的正定性 （分数：10.00）_正确答案：()解析：思路一：用配方法化二次型为标准形 作可逆线性变换，令 记 x=Cy，其中|C|= =10，所作线性变换 x=Cy 是可逆的，所得标准形为 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= 且
23、二次型的正惯性指数为 2，负惯性指数为 0二次型不正定(半正定) 思路二：用正交变换法化二次型为标准形 二次型的对应矩阵为 1 =0 时，解(0E-A)x=0，作初等行变换 得 1 =(-1，1，1) T 2 = 3 =3 时，解(3E-A)x=0，作初等行变换 得 2 =(1，1，0) T ， 3 =(1，-1，2) T 注：求 3 时，可利用 2 与 3 正交 =0 x 1 +x 2 =0 且满足(3E-A)x=0， 即 x 1 -x 2 -x 3 =0 将 1 ， 2 ， 3 单位化，并合并成正交矩阵，得 令 x=Qy 即是所求的可逆线性变换(正交变换必是可逆线性变换)，得二次型的标准形
24、为 18.设随机变量 X 的密度函数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：由 y=x 2 +1 及-1x1，得 0|x|1 0x 2 1 1x 2 +12 所以 Y 的密度函数 f Y (y)取非零值的范围为1，2) 当 1y2 时，有 Y=X 2 +1 的分布函数为 F Y (y)= 则 Y 的密度函数为 f Y (y)=F“(y)= 在计算机上进行大型科学计算，需对经运算后的十进制数 x j ，在其小数点后第 6 位作四舍五入，得到 x j ，的近似值 y j ，则误差 j =x j -y j 在区间(-0.510 -5 ，0.510 -5 )内随机取值设随机变量 j 服从该区间上的均
25、匀分布记经 n 次运算的累积误差为 （分数：17.01）(1).试求 1 + 2 的分布；（分数：5.67）_正确答案：()解析：依题知( 1 ， 2 )的分布密度函数为 则 F 1+2 (z)=P( 1 + 2 z)= f(x，y)dxdy 利用几何概型来解： 设 D=(x，y)|x|a，|y|a，其中 a=0.510 -5 当-2az0 时，所求概率为(x，y)点落在下图中有竖条阴影三角形区域上的概率， 即 当 0z2a 时，则所求概率为(x，y)点落在上图中五边形上的概率，故 (2).利用切比雪夫不等式估计，当 n=10000 时给出| n |不超过 0.0005 的概率的下界；（分数：
26、5.67）_正确答案：()解析：注意 E( n )=0，由切比雪夫不等式，得 则 P(| n |0.0005)=1-P(| n |0.0005)1- (3).利用中心极限定理，当 n=10000 时以 99.7%以上的把握给出| n |的近似估计(估计上界) 注：(x)为标准正态分布，已知 (3)=0.99874（分数：5.67）_正确答案：()解析： j (j=1，2，)独立同分布于 U(-0.510 -5 ，0.510 -5 )，故 由中心极限定理(林德伯格-勒维定理)，当 n 足够大时， 若取 k=3则此概率近似为 (3)=0.9987，P(| n | )2(k)-1=2(3)-1=0.9974，当n=10000 时，即有 99.74%以上的把握断言| n = =0.510 -5
