1、考研数学三-258 及答案解析(总分：150.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 A 为 n 阶实矩阵，A T是 A 的转置矩阵，则对于线性方程组()：Ax=0 和()：A TAx=0，必有（分数：4.00）A.()的解是()的解，()的解也是()的解B.()的解是()的解，但()的解不是()的解C.()的解不是()的解，()的解也不是()的解D.()的解是()的解，但()的解不是()的解2.设 an0，n=1，2，3，若 发散， 收敛，则下列结论正确的是（分数：4.00）A.B.C.D.3.函数 y=C1ex+C2e-2x+xex满足的一个微分方程是
2、（分数：4.00）A.y“-y-2y=3xexB.y“-y-2y=3exC.y“+y-2y=3xexD.y“+y-2y=3ex4.将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X 和 Y 的相关系数等于（分数：4.00）A.-1B.0C.D.15.设函数 f(x)在 x-0 连续，下列命题错误的是（分数：4.00）A.若B.若C.若D.若6.设函数 y=f(x)具有二阶导数，且 f(x)0，f“(x)0，x 为自变量 x 在点 x0处的增量，y 与 dy 分别为 f(x)在点 x 处对应的增量与微分，若 x0，则（分数：4.00）A.0dyyB.0ydyC.y
3、dy0D.dyy07.设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N(0，1)和 N(1，1)，则（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，若 B=E+AB，C=A+CA，则 B-C 为（分数：4.00）A.B.-EC.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 x0 时 etanx-ex与 xn是同阶无穷小，则 n=_（分数：4.00）填空项 1:_10.设函数 （分数：4.00）填空项 1:_11. （分数：4.00）填空项 1:_12.设生产函数 Q=AL K ，其中 Q 是产出量，L 是劳动投入量，K 是资本投
4、入量，而 A， 均为大于零的参数，则当 Q=1 时 K 关于 L 的弹性为_（分数：4.00）填空项 1:_13.设 =(1，1，1) T，=(1，0，k) T若矩阵 T相似于 （分数：4.00）填空项 1:_14.设总体 X 服从正态分布 N( 1， 2)，总体 Y 服从正态分布 N( 2， 2)，X 1，X 2， 和Y1，Y 2， 分别是来自总体 X 和 Y 的简单随机样本，则 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_16.计算二重积分 ，其中 D=(r，)|0rsec， （分数：10.00）_17.求函数 u=xy+2
5、yz 在约束条件 x2+y2+z2=10 下的最大值和最小值（分数：10.00）_18.设曲线 y=f(x)，其中 y=f(x)是可导函数，且 f(x)0已知曲线 y=f(x)与直线 y=0，x=1 及 x=t(t1)所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周所得立体体积值是该曲边梯形面积值的 t 倍，求该曲线方程（分数：10.00）_19.设 f(x)在0，1连续，在(0，1)内可导，且满足（分数：10.00）_设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵（分数：11.00）(1).计算并化简 PQ；（分数：5.50）_(2).证明矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 TA-1
6、b（分数：5.50）_设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 1=1， 2=2， 3=-2， 1=(1，-1，1) T是 A 的属于 1的一个特征向量B=A 5-4A3+E，其中 E 为 3 阶单位矩阵（分数：11.00）(1).验证 1是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值的特征向量；（分数：5.50）_(2).求矩阵 B（分数：5.50）_设二维随机变量(X，Y)的概率密度为（分数：11.01）(1).(X，Y)的边缘概率密度 fX(x)，f Y(y)；（分数：3.67）_(2).Z=2X-Y 的概率密度 fZ(z)；（分数：3.67）_(3). （分数：3.67）_设随机变量 X
7、的概率分布密度为 （分数：11.01）(1).求 X 的数学期望 EX 和方差 DX；（分数：3.67）_(2).求 X 与|X|的协方差，并问 X 与|X|是否不相关?（分数：3.67）_(3).问 X 与|X|是否相互独立?为什么?（分数：3.67）_考研数学三-258 答案解析(总分：150.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 A 为 n 阶实矩阵，A T是 A 的转置矩阵，则对于线性方程组()：Ax=0 和()：A TAx=0，必有（分数：4.00）A.()的解是()的解，()的解也是()的解 B.()的解是()的解，但()的解不是()的解C.
8、()的解不是()的解，()的解也不是()的解D.()的解是()的解，但()的解不是()的解解析：分析 如果 是齐次方程组()的解，则 A=0，那么(ATA)=A T(A)=A T0=0即 是齐次方程组()的解反之，若 是齐次方程组()的解，则 ATA=0用 T左乘得 TATA= T0=0 即(A) T(A)=0那么 A=0，即 是齐次方程组 Ax=0 的解2.设 an0，n=1，2，3，若 发散， 收敛，则下列结论正确的是（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 方法一 级数*是把收敛级数*=a 1-a2+a3-a4+a2n-1-a2n+各项不改变顺序且相邻两项添加括号(即合并为一项)构
9、成的级数，由收敛级数满足结合律知，该级数必收敛，故应选(D)方法二 由题设知交错级数*条件收敛，从而由其正项组成的级数*与由其负项组成的级数*均发散，进而由正项级数的比较判别法知*也是发散的(a 2n-1+a2na 2n-1)这表明结论(A)，(B)，(C)均不正确因此应选(D)3.函数 y=C1ex+C2e-2x+xex满足的一个微分方程是（分数：4.00）A.y“-y-2y=3xexB.y“-y-2y=3exC.y“+y-2y=3xexD.y“+y-2y=3ex 解析：分析 y=C 1ex+C2e-2x+xex是某二阶线性常系数非齐次方程的通解，相应的齐次方程特征根 1=1， 2=-2，特
10、征方程应是(-1)(+2)=0，即 2+-2=0，于是相应的齐次方程是 y“+y-2y=0在(C)与(D)中，方程 y“+y-2y=3ex有形如 y*=Axex的特解(此处，e x 中 =1 是单特征根)因此选(D)4.将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X 和 Y 的相关系数等于（分数：4.00）A.-1 B.0C.D.1解析：分析 硬币掷 n 次，不是正面向上就是反面向上，即 X+Y=n，或 Y=n-X设 X 和 Y 的相关系数为 XY，显然*因为 Y=n-X，所以 D(Y)=D(n-X)=D(X)而 cov(X，Y)=cov(X，n-X)=co
11、v(X，n)-cov(X，X)=0-D(X)=-D(X)因此 *5.设函数 f(x)在 x-0 连续，下列命题错误的是（分数：4.00）A.若B.若C.若D.若 解析：分析 方法一 由(A)的条件*，又*同理，由(B)的条件*由(C)的条件*=f(0)存在因此(A)，(B)，(C)正确选(D)方法二 在 x=0 处不可导的任意偶函数 f(x)，均为*=0(存在)例如，f(x)=|x|，则*(存在)，但 f(0)不存在因此(D)是错误的选(D)6.设函数 y=f(x)具有二阶导数，且 f(x)0，f“(x)0，x 为自变量 x 在点 x0处的增量，y 与 dy 分别为 f(x)在点 x 处对应的
12、增量与微分，若 x0，则（分数：4.00）A.0dyy B.0ydyC.ydy0D.dyy0解析：分析 方法一 由条件知，y=f(x)单调上升且是凹的，再由 y，dy 的几何意义，如右图所示，有 0dyy故选(A)*方法二 由凹函数的性质f(x0+x)f(x 0)+f(x0)x (x0)即f(x0+x)-f(x 0)f(x 0)x0亦即ydy0 (x0)故选(A)7.设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N(0，1)和 N(1，1)，则（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 由于 X 与 Y 相互独立且都服从正态分布，所以 X+YN(1，2)，X-YN(-1，2)由此
13、即知*，选择(B)这是因为*，*8.设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，若 B=E+AB，C=A+CA，则 B-C 为（分数：4.00）A. B.-EC.D.解析：分析 由 B=E+AB*(E-A)B-E*B=(E-A)-1由 C=A+CA*C(E-A)=A*C=A(E-A)-1那么 B-C=(E-A)-1-A(E-A)-1=(E-A)(E-A)-1=E故应选(A)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 x0 时 etanx-ex与 xn是同阶无穷小，则 n=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：分析 方法一 考察极限*与 x3同阶故 n=3
14、方法二 用带皮亚诺余项的泰勒公式*因此 n=310.设函数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 用归纳法导出*如此易归纳得证：*令 x=0 即得*11. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 本题是无界函数的反常积分，x=1 是瑕点，计算定积分的方法适用求反常积分分析一 先凑微分再作变量替换*分析二 作三角函数代换 x=sint*12.设生产函数 Q=AL K ，其中 Q 是产出量，L 是劳动投入量，K 是资本投入量，而 A， 均为大于零的参数，则当 Q=1 时 K 关于 L 的弹性为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分
15、析 当 Q=1 时，K 与 L 的函数关系由方程1=AL K给出等式两边对 L 求导(K 是 L 的函数)得*两边约去 AL-1 K 得*由弹性的定义知，当 Q=1 时 K 关于 L 的弹性为*13.设 =(1，1，1) T，=(1，0，k) T若矩阵 T相似于 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：分析 *，由于相似矩阵有相同的特征值故知 T有特征值 1=3， 2= 3=0又*故 k=3-1=214.设总体 X 服从正态分布 N( 1， 2)，总体 Y 服从正态分布 N( 2， 2)，X 1，X 2， 和Y1，Y 2， 分别是来自总体 X 和 Y 的简单随机样本，则 （分数
16、：4.00）填空项 1:_ （正确答案： 2）解析：分析 记总体 X 的样本方差*和总体 Y 的样本方差*，则*所以*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_正确答案：(这是求指数型的未定式极限因为*现改写为*转化为求*其中用到了等价无穷小因子替换*即*因此 原极限=e -1)解析：16.计算二重积分 ，其中 D=(r，)|0rsec， （分数：10.00）_正确答案：(这是某二重积分*的极坐标表示，从表达式来看，在极坐标系中计算不方便，现先把它变回Oxy 直角坐标系中，这就要确定 f(x，y)与积分区域 D由 x=rcos，y=rsin*由 D 的极坐标
17、表示：*，可知 D 的边界线是：y=0，y=x，x=1，D 如图所示*现改为先对 y 积分，再对 x 积分的顺序来配置积分限，有*)解析：17.求函数 u=xy+2yz 在约束条件 x2+y2+z2=10 下的最大值和最小值（分数：10.00）_正确答案：(这是条件极值问题，可用拉格朗日乘子法求解为此引入拉格朗日函数F(x，y，z，)=xy+2yz+(x 2+y2+z2-10)，为求 F(x，y，z，)的驻点，应解如下方程组*从，式中消去 (0)可得驻点(x，y，z)应满足*(此时 x，y，z 有一个零均不是解)代入即可求得四个驻点*代入 u 的表达式得*又当 =0 时由得 y=0，相应的 u
18、=0，不可能对应最值点，因而函数 u=xy+2yz 在约束条件 x2+y2+z2=10 下的最大值是*，最小值是*.)解析：18.设曲线 y=f(x)，其中 y=f(x)是可导函数，且 f(x)0已知曲线 y=f(x)与直线 y=0，x=1 及 x=t(t1)所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周所得立体体积值是该曲边梯形面积值的 t 倍，求该曲线方程（分数：10.00）_正确答案：(由曲线 y=f(x)与直线 y=0，x=1 及 x=t(t1)所围成的曲边梯形的面积是*，该曲边梯形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积是*按题设，当 t1 时有* 将式两边对 t 求导得* (在中令 t=1 等式自然成
19、立)再将式两边求导得2f(t)f(t)=2f(t)+tf(t)即(2f(t)-t)f(t)=2f(t) 在中令 t=1 得 f2(1)=f(1)，因 f(1)0，故f(1)=1 求转化为求解微分方程的初值问题+，即*其中以 x 代替 t，y 代替 f(t)，*这是齐次方程，若以 y 为自变量，这也是一阶线性方程，即*两边乘*得*积分得*由初值定出*，从而所求曲线方程为*)解析：19.设 f(x)在0，1连续，在(0，1)内可导，且满足（分数：10.00）_正确答案：(题中即要证*在(0，1)存在零点*证明*在(0，1)存在零点即*在(0，1)存在零点*(xe-x+cf(x)在(0，1)存在零点
20、若能对 F(x)=xe-x+cf(x)在0，1(或0，1内某区间)用罗尔定理即可证明为此改写假设条件*=e 1- ()按此想法给出如下证明令 F(x)=xe1-xf(x)，按题设 F(x)在0，1连续，在(0，1)可导，又F()=e 1- f(71)=f(1)=F(1)于是 F(x)在，1上满足罗尔定理的条件，故存在 (，1)*(0，1)，使得 F()=0，即e 1- f()-(1- -1)f()=0即f()=(1- -1)f()解析：设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵（分数：11.00）(1).计算并化简 PQ；（分数：5.50）_正确答案：(作分块矩阵
21、乘法，并把 A*A=|A|E，A *=|A|A-1代入，有*)解析：(2).证明矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 TA-1b（分数：5.50）_正确答案：(因为*，对()式两端取行列式，有*又因矩阵 A 可逆，|A|0故有|Q|=|A|(b- TA-1)所以 Q 可逆 *b- TA-10)解析：设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 1=1， 2=2， 3=-2， 1=(1，-1，1) T是 A 的属于 1的一个特征向量B=A 5-4A3+E，其中 E 为 3 阶单位矩阵（分数：11.00）(1).验证 1是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值的特征向量；（分数：5.50）_正确答案：(由
22、 A= 有 An= n那么*所以 1是矩阵 B 属于特征值 1=-2 的特征向量类似地，由 A 2= 2 2，A 3= 3 3有*因为 2， 3是矩阵 A 中不同特征值的特征向量， 2， 3是线性无关的，那么 B 关于 =1 有 2 个线性无关的特征向量由 A 是对称矩阵，知矩阵 B 是对称矩阵，设(x 1，x 2，x 3)T是 B 关于 =1 的任一特征向量，那么由特征值不同特征向量相互正交，有x1-x2+x3=0得基础解系 2=(1，1，0) T， 3=(-1，0，1) T所以矩阵 B 关于 =-2 的特征向量为 k1(1，-1，1) T，k 1是不为 0 的任意常数；矩阵 B 关于 =1
23、 的特征向量为 k2(1，1，0) T+k3(-1，0，1) T，k 2，k 3是不全为 0 的任意常数)解析：(2).求矩阵 B（分数：5.50）_正确答案：(由 B 1=-2 1，B 2= 2，B 3= 3有B( 1， 2， 3)=(-2 1， 2， 3)那么 B=(-2 1， 2， 3)( 1， 2， 3)-1)解析：设二维随机变量(X，Y)的概率密度为（分数：11.01）(1).(X，Y)的边缘概率密度 fX(x)，f Y(y)；（分数：3.67）_正确答案：(本题考查联合密度与边缘密度关系以及已知联合密度求其函数分布直接应用 f(x，y)，f X(x)，f Y(y)之间关系求解由题设
24、得*)解析：(2).Z=2X-Y 的概率密度 fZ(z)；（分数：3.67）_正确答案：(由已知(X，Y)f(x，y)，求 Z=g(X，Y)的分布我们常用的方法是分布函数法(定义法)与公式法解法一 分布函数法(定义法)已知*故*当 z0 时，F Z(z)=0当 z2 时，F Z(z)=1当 0z2 时，*(或用面积计算*)*综上得*解法二 公式法(应用分布函数推导出计算 fZ(z)公式)由于*其中*由此知，当 z0 或 z2 时 fZ(z)=0；当 0z2 时，*综上得*)解析：(3). （分数：3.67）_正确答案：(*(注：由于 f(x，y)=常数，因此可以用面积计算上述积分，若直接计算积分则有)解析：设随机变量 X 的概率分布密度为 （分数：11.01）(1).求 X 的数学期望 EX 和方差 DX；（分数：3.67）_正确答案：(*)解析：(2).求 X 与|X|的协方差，并问 X 与|X|是否不相关?（分数：3.67）_正确答案：(cov(X，|X|)=E(X|X|)-EXE|X|=E(X|X|)*，所以 X 与|X|不相关)解析：(3).问 X 与|X|是否相互独立?为什么?（分数：3.67）_正确答案：(考虑事件 A=X2，B=|X|2，则 B*A，*，所以 A 与 B 不独立，从而断言 X 与|X|不独立)解析：
