1、考研数学三-257 及答案解析(总分：149.98，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1. =_ A1 B （分数：4.00）A.B.C.D.2.设函数 y(x)是初值问题 （分数：4.00）A.0 是 y(x)的极小值点B.0 是 y(x)的极大值点C.0 不是 y(x)的极值点D.0 是否是 y(x)的极值点与 a 取值有关3.若正项级数 收敛，则级数 （分数：4.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与参数 有关4.设函数 z=f(x，y)，f(x，0)=1，f“ y (x，0)=x，f“ yy =2，则 f(x，y)=_（分数：4.00）A.1-
2、xy+y2B.1+xy+y2C.1-x2y+y2D.1+x2y+y25.设 A，B，C 均是 n 阶方阵，满足 AB=BC=CA=E，则 A 2 +B 2 +C 2 =_（分数：4.00）A.0BEC.2ED.3E6.设 A 相似于矩阵 B= （分数：4.00）A.7B.8C.9D.107.设随机变量 X 和 Y 相互独立，都服从0，b上均匀分布，则 Emin(X，Y)=_ A Bb C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设总体 X 服从 N( 0 ， 2 )， 0 已知， 2 未知，X 1 ，X 2 ，X n 为来自 X 容量为 n 的样本，则在显著性水平 下，检验假设 H 0 ：
3、的拒绝域为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知 ， 为常数，f(x)可导，则 （分数：4.00）10.设 f(x)= （分数：4.00）11.一阶微分方程 y“=xy 2 的通解是 1 （分数：4.00）12. （分数：4.00）13.设 A，B 均是二阶方阵，满足 AB，A 有特征值 =1，B 有特征值 =-2，则|A+2BA|= 1 （分数：4.00）14.设 X，Y 为随机变量，已知 D(X)=25，D(Y)=36，X 与 Y 的相关系数 XY =0.4，则 cov(2X-3Y，X-Y)= 1 （分数：4.00）三、解答
4、题(总题数：9，分数：94.00)15.求 （分数：11.00）_16.设 f(x)为定义在 上且满足 f(t-x)f(t)dt=cos 4 x 的连续函数，试求 f(x)在 （分数：11.00）_17.设一旋转抛物面的容器内盛有高为 H 的液体，把另一同轴的旋转抛物面体沿旋转轴方向压入(不进水)盛水的上述容器内，浸没深度为 h，问抛物面的容器内液面上升多少? （分数：11.00）_今有方程系列 P：x n -2x+1=0，n3（分数：11.00）(1).证明：P 中每一个方程，在(0，1)内都有且仅有一个解；（分数：5.50）_(2).设 P 中的第 n 个方程的解为 x，求 （分数：5.5
5、0）_18.计算二重积分 （分数：10.00）_19.设 A，B，X 均是三阶矩阵，其中 （分数：10.00）_20.设 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX，r(A)=1，A 的每行元素之和为 2，当 X=2，4，0 T 时， 求 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX 在 处的值，即 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )| X= = T A （分数：10.00）_掷两枚骰子，X 和 Y 分别表示掷出的最小点与最大点求：（分数：9.99）(1).(X，Y)的联合分布律；（分数：3.33）_(2).X 和 Y 的边缘分布律；（分数：3.33）_(3).E(X)，E(Y)，D
6、(X)，D(Y)（分数：3.33）_X，Y 的联合概率密度函数为 f(x，y)= （分数：9.99）(1).求常数 A，（分数：3.33）_(2).证明随机变量 Y 具有如下性质：对任意的 s，t0，有 P(Yt+s|Ys)=P(Yt)；（分数：3.33）_(3).求 E(X)（分数：3.33）_考研数学三-257 答案解析(总分：149.98，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1. =_ A1 B （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 2.设函数 y(x)是初值问题 （分数：4.00）A.0 是 y(x)的极小值点 B.0 是 y(x)的极大值点C.0
7、 不是 y(x)的极值点D.0 是否是 y(x)的极值点与 a 取值有关解析：解析 由 y“-asin 2 y-x=0，得 y“-2asin ycos yy“-1=0，得 y“(0)=asin 2 y(0)+x=0， y“(0)=2asiny(0)cosy(0)y“(0)+1=10， 所以 y(x)在 0 处取极小值3.若正项级数 收敛，则级数 （分数：4.00）A.绝对收敛 B.条件收敛C.发散D.收敛性与参数 有关解析：解析 因为 又正项级数 收敛 正项级数 收敛，由正项级数极限审敛法可知 4.设函数 z=f(x，y)，f(x，0)=1，f“ y (x，0)=x，f“ yy =2，则 f(
8、x，y)=_（分数：4.00）A.1-xy+y2B.1+xy+y2 C.1-x2y+y2D.1+x2y+y2解析：解析 f“ yy =2 f“ y =2y+C 1 (x)，由 f“ y (x，0)=x 得 C 1 (x)=x f“ y (x，y)=2y+x， 则 f(x，y)=y 2 +xy+C 2 (x)， 由 f(x，0)=1 5.设 A，B，C 均是 n 阶方阵，满足 AB=BC=CA=E，则 A 2 +B 2 +C 2 =_（分数：4.00）A.0BEC.2ED.3E 解析：解析 AB=BC=CA=E 6.设 A 相似于矩阵 B= （分数：4.00）A.7B.8C.9 D.10解析：解
9、析 AB，则 A，B 有相同的秩和相同的特征值，其中 r(A)=r(B)=2， 7.设随机变量 X 和 Y 相互独立，都服从0，b上均匀分布，则 Emin(X，Y)=_ A Bb C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由题设得(X，Y)的联合分布密度为 如下图， 则 8.设总体 X 服从 N( 0 ， 2 )， 0 已知， 2 未知，X 1 ，X 2 ，X n 为来自 X 容量为 n 的样本，则在显著性水平 下，检验假设 H 0 ： 的拒绝域为_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 0 已知，则统计量 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.
10、已知 ， 为常数，f(x)可导，则 （分数：4.00）解析：(+)f“(x) 解析 10.设 f(x)= （分数：4.00）解析： 解析 11.一阶微分方程 y“=xy 2 的通解是 1 （分数：4.00）解析： ，其中 C 为任意常数 解析 已知 y“=xy 2 ，当 y0 时，有 另外 y=0 也是一个解 综上可得，通解为 12. （分数：4.00）解析：2e -1 解析 令 u 2 =2x+1，则 udu=dx，u= ，故 13.设 A，B 均是二阶方阵，满足 AB，A 有特征值 =1，B 有特征值 =-2，则|A+2BA|= 1 （分数：4.00）解析：18 解析 AB，则 A，B 有
11、相同的特征值，故 A，B 有特征值 1，-2 又 |A+2BA|=|(E+2B)A|=|E+2B|A|， 其中|A|=1(-2)=-2，E+2B 有特征值 3，-3，|E+2B|=-9，故 |A+2BA|=|E+2B|A|=(-2)(-9)=1814.设 X，Y 为随机变量，已知 D(X)=25，D(Y)=36，X 与 Y 的相关系数 XY =0.4，则 cov(2X-3Y，X-Y)= 1 （分数：4.00）解析：98 解析 因为 cov(X，Y)= 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求 （分数：11.00）_正确答案：()解析：思路一： 令 ，则 思路二： 则 I=1 思路三：
12、令 u=t-x，则 故 16.设 f(x)为定义在 上且满足 f(t-x)f(t)dt=cos 4 x 的连续函数，试求 f(x)在 （分数：11.00）_正确答案：()解析：将等式 f(t-x)f(t)dt=cos 4 x 关于 x 两边从 0 到 积分，得 又 故 则 f(x)在 上的平均值为 17.设一旋转抛物面的容器内盛有高为 H 的液体，把另一同轴的旋转抛物面体沿旋转轴方向压入(不进水)盛水的上述容器内，浸没深度为 h，问抛物面的容器内液面上升多少? （分数：11.00）_正确答案：()解析：设旋转抛物面的容器和旋转抛物面体分别由：xOy 平面上的抛物线 y 1 =Ax 2 ，y 2
13、 =Bx 2 +a 绕 y轴旋转而成如下图所示，设 V 1 为抛物面容器中的液体被第二个抛物面体所排开的体积， 则 设被挤压上升的液体体积为 V 2 ，则 由 V 1 =V 2 ，得 因为 h+a0，则 h+a= 故液面上升高度为 h+a-H= 今有方程系列 P：x n -2x+1=0，n3（分数：11.00）(1).证明：P 中每一个方程，在(0，1)内都有且仅有一个解；（分数：5.50）_正确答案：()解析：记 f n (x)=x n -2x+1，则方程 x n -2x+1=0 的根，即是函数 f n (x)的零点 由 n2，当 x(0，1时，因为 f“ n (x)=n(n-1)x n-2
14、 0，因此 f n (x)在(0，1内是凹函数，所以 f n (x)在(0，1内至多有两个零点已知有 f n (1)=0，因此 f n (x)在(0，1)内至多有一个零点 又因为 ，当 n3 时， 所以 f n (x)在 内至少有一个零点 由此证得，f n (x)在(0，1)内有且仅有一个零点，记为 x n ，且 (2).设 P 中的第 n 个方程的解为 x，求 （分数：5.50）_正确答案：()解析：思路一：因为 由于 ， 所以存在 N0，当 nN 时， 由此可知，f n (x)的零点 x n ， 即 思路二：先证 x n ，n=3，4，是单调减数列 当 n3 时， ，而且 x n ，x n
15、-1 1 由于 ， n 位于 x n ，x n-1 之间，所以 n 1 因此 因此，序列x n (n3)是单调减，有下界 因此 存在 又由于 ，而 x n ，所以有 ，从而 ，则 18.计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：画出二重积分区域 D 1 是 D 的第一象限部分(如下图)， 由对称性得 19.设 A，B，X 均是三阶矩阵，其中 （分数：10.00）_正确答案：()解析：由 AX-B=BX，得(A-B)X=B (*) 其中 将 X 和 B 按列分块设 X= 1 ， 2 ， 3 ，B= 1 ， 2 ， 3 ，方程(*)即为(A-B) 1 ， 2 ， 3 = 1 ， 2
16、， 3 ，即解三个线性方程组(A-B) i = i ，i=1，2，3对增广矩阵A-B 1 ， 2 ， 3 作初等行变换 当 a=-1 时，r(A-B)=2r(A-B B)=3，(*)无解 当 a-1 时，r(A-B)=3=r(A-B B)=3，(*)有唯一解 其中(A-B) 1 = 1 有解， (A-B) 2 = 2 有解， 2 =-1，2，1 T (A-B) 3 = 3 有解， (*)得唯一解 20.设 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX，r(A)=1，A 的每行元素之和为 2，当 X=2，4，0 T 时， 求 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX 在 处的值，即
17、f(x 1 ，x 2 ，x 3 )| X= = T A （分数：10.00）_正确答案：()解析：因 ，A 有 1 =2 对应的特征向量为 ，又 r(A)=1，|A|=0，故 A 有特征值 2 = 3 =0(二重)，对应 2 = 3 =0 的特征向量设为 =x 1 ，x 2 ，x 3 T ，则 和 1 正交易得 2 =1，-1，0 T ， 3 =1，1，-2 T (取 2 也与 3 正交)，将 由 1 ， 2 ， 3 线性表示，设为 =x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 ，由 解得 x 1 =2，x 2 =-1，x 3 =1，即 =2 1 - 2 + 3 故 f(x 1 ，x 2 ，x 3
18、 )| X= = T A=(2 1 - 2 + 3 ) T A(2 1 - 2 + 3 )=(2 1 - 2 + 3 ) T A2 1 =4(2 1 - 2 + 3 ) T 1 = =24+0+0=24 注：也可由 A 1 ， 2 ， 3 =2 1 ，0 2 ，0 3 直接求得 A，再计算 T A其中 故 T A= 掷两枚骰子，X 和 Y 分别表示掷出的最小点与最大点求：（分数：9.99）(1).(X，Y)的联合分布律；（分数：3.33）_正确答案：()解析：(X，Y)的联合分布律为 (2).X 和 Y 的边缘分布律；（分数：3.33）_正确答案：()解析：X 与 Y 的边缘分布律分别为 (3
19、).E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)（分数：3.33）_正确答案：()解析：由 X 的边缘分布律，得 E(X)= ， E(X 2 )= ， D(X)=E(X 2 )-E(X) 2 = 同理可得 E(Y)= ，D(Y)= X，Y 的联合概率密度函数为 f(x，y)= （分数：9.99）(1).求常数 A，（分数：3.33）_正确答案：()解析：因为 (2).证明随机变量 Y 具有如下性质：对任意的 s，t0，有 P(Yt+s|Ys)=P(Yt)；（分数：3.33）_正确答案：()解析：Y 的边缘密度为 故对 t0，有 P(Yt)= ，从而 (3).求 E(X)（分数：3.33）_正确答案：()解析：因为 则
