1、考研数学三-249 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若 =a，则级数 （分数：4.00）A.收敛且其和为 0B.收敛且其和为。C.收敛且其和为 a-a1D.发散2.设 u=f(x，xy，xyz)，则 （分数：4.00）A.f“3y+xy(f“32+f“33xz)B.f“3x+xy(f“32x+f“33xz)C.f“3x+xyf“33xzD.f“3y+xyf“33xz3.设 D=(x，y)|x 2 +y 2 R 2 ，则 （分数：4.00）A.0B.1CD.4.差分方程 y t -2y t-1 =b(b 为常数)的通解是_（分数
2、：4.00）A.yt=A2t+bB.yt=2t-bC.yt=A(-2)t+bD.yt=A2t-b5.A 是 n 阶矩阵，下列命题中错误的是_（分数：4.00）A.若 A2=E，则-1 必是 A 的特征值B.若秩 r(A+E)n，则-1 必是 A 的特征值C.若 A 中各列元素之和均为-1，则-1 必是 A 的特征值D.若 A 是正交矩阵，且特征值乘积小于 0，则-1 也必是 A 的特征值6.设随机变量 X 1 N(0，1)，X 2 B(1，1/2),X 3 服从于参数为 =1 的指数分布设 （分数：4.00）A.可逆矩阵B.不可逆矩阵C.正定矩阵D.反对称矩阵7.对任意两个随机事件 A，B，已
3、知 P(A-B)=P(A)，则下列等式不成立的是_ AP(A-B)= B C （分数：4.00）A.B.C.D.8.已知随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 XN(， 2 )，YN(-， )，ZN(0， （分数：4.00）A.0B.0C.0D.0二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）10.已知 f(x)是微分方程 xf“(x)-f(x)= 满足初始条件 f(1)=0 的特解，则 （分数：4.00）11. （分数：4.00）12.级数 （分数：4.00）13.设 （分数：4.00）14.设相关独立的两个随机变量 X，Y 具有同一分布律，且 X 的分布律为 X 0 1 P
4、 1/2 1/2 ，则随机变量 Z=minX，Y)的分布律为 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求 （分数：10.00）_设函数 f(x)=(x-x 0 ) n (x)(n 为任意自然数)，其中函数 (x)当 x=x 0 时连续（分数：10.00）(1).证明 f(x)在点 x=x 0 处可导（分数：5.00）_(2).若 (x)0，问函数 f(x)在 x=x 0 处有无极值，为什么?（分数：5.00）_16.计算 （分数：10.00）_17.求 y“= （分数：10.00）_18.设 f(x)二阶可导，且 f“(x)0，u(t)为任一连续函数；a0，求证：
5、 （分数：10.00）_19.设向量组()： 1 ， 2 ， m ，组()： 1 ， 2 ， n ，其秩分别为 r 1 ，r 2 ，向量组()： 1 ， 2 ， m ， 1 ， 2 ， n 的秩为 r 3 ，证明 maxr 1 ，r 2 r 3 r 1 +r 2 （分数：11.00）_设 A 为三阶方阵， 为三维列向量，已知向量组 ，A，A 1 线性无关，且 A 3 =3A-2A 2 ，证明：（分数：11.00）(1).矩阵 B=，A，A 4 可逆（分数：5.50）_(2).B T B 为正定矩阵（分数：5.50）_20.将外形相同的球分别装入三个盒子中，第一个盒子装入 5 个红球和 3 个黑
6、球，第二个盒子装入 3 个黑球和 2 个红球，第 3 个盒子中装入 4 个黑球和 2 个红球先在第一个盒子中任取一球，若取到黑球，则在第二个盒子中任取两球，若取到红球，则在第三个盒子中任取两球，求第二次取到的两个球是黑球时，第一次取到的是黑球的概率 （分数：11.00）_设总体 X 服从正态分布 N(，1)，X 1 ，X 2 ，X 9 是取自总体 X 的简单随机样本，要在显著性水平=0.05 下检验 H 0 ：= 0 =0，H 1 ：0 如果选取拒绝域 R= （分数：11.01）(1).求 C 的值（分数：3.67）_(2).若样本观测值的均值 （分数：3.67）_(3).若选取拒绝域 R=
7、（分数：3.67）_考研数学三-249 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若 =a，则级数 （分数：4.00）A.收敛且其和为 0B.收敛且其和为。C.收敛且其和为 a-a1 D.发散解析：解析 利用级数收敛的定义求之求部分和 S n 的极限前要化简 S n 因为 (a n+1 -a n )=(a 2 -a 1 )+(a 3 -a 2 )+(a 4 -a 3 )+， 其部分和 S n =(a 2 -a 1 )+(a 3 -a 2 )+(a n+1 -a n )=a n+1 -a 1 ，由题设有 2.设 u=f(x，xy，xyz)，
8、则 （分数：4.00）A.f“3y+xy(f“32+f“33xz)B.f“3x+xy(f“32x+f“33xz) C.f“3x+xyf“33xzD.f“3y+xyf“33xz解析：解析 按复合函数求导法则求之 仅 B 入选 ， 3.设 D=(x，y)|x 2 +y 2 R 2 ，则 （分数：4.00）A.0 B.1CD.解析：解析 因 D 关于 x 轴及关于 y 轴均具有对称性，应注意考察被积函数的奇偶性，尽量使用对称性及奇偶性简化计算 因 D 关于 y 轴对称，而 sinxcosy 关于 x 为奇函数，故 同理，因 D 关于 x 轴对称，而 cosxsiny 关于 y 为奇函数，故 ，仅 A
9、 入选 注意 由上例可得到下述一般结论： 若积分区域 D 关于 y 轴(或 x 轴)对称，且 f(x，y)关于 x(或关于 y)为奇函数，当 f(x，y)在 D 上连续时，必有 4.差分方程 y t -2y t-1 =b(b 为常数)的通解是_（分数：4.00）A.yt=A2t+bB.yt=2t-bC.yt=A(-2)t+bD.yt=A2t-b 解析：解析 所给差分方程视为 y t -2y t-1 =b1 t 因 21(特征根不等于底数)，故其特解形式为 =C(C 为待定常数)，代入差分方程即得 C=2C=b，C=-b，故 =-b 易知其齐次方程的通解为 =A2 t 又 =-b，故其通解为 y
10、 t = 5.A 是 n 阶矩阵，下列命题中错误的是_（分数：4.00）A.若 A2=E，则-1 必是 A 的特征值 B.若秩 r(A+E)n，则-1 必是 A 的特征值C.若 A 中各列元素之和均为-1，则-1 必是 A 的特征值D.若 A 是正交矩阵，且特征值乘积小于 0，则-1 也必是 A 的特征值解析：解析 利用特征值定义讨论之对于具有特殊性质的矩阵，要灵活运用特征值定义 解一 对于(A)，若 A 2 =E，A 的特征值的取值范围是1，但并不保证 A 必有特征值 1 或-1，例如 可见 A 不正确仅 A 入选 解二 用排他法求之下面逐一验证选项 B、C、D 都正确，从而仅 A 入选，
11、对于 B，由 r(A+E)n 知，|A+E|=|A-(-E)|=0由特征值定义知，-1 必是 A 的特征值B 正确 对于 C，A 与 A T 有相同的特征值(注意特征向量一般是不同的)，由于 A T 各行元素之和均为-1，从而有 6.设随机变量 X 1 N(0，1)，X 2 B(1，1/2),X 3 服从于参数为 =1 的指数分布设 （分数：4.00）A.可逆矩阵 B.不可逆矩阵C.正定矩阵D.反对称矩阵解析：解析 先根据随机变量 X i (i=1，2，3)的分布求出期望 E(X i )、 与方差 D(X i ) 因 E(X 1 )=0，D(X 1 )=1， ， E(X 2 )=np=1(1/
12、2)=1/2，D(X 2 )=np(1-p)=1(1/2)(1/2) =1/4， =D(X 2 )+E 2 (X 2 )=1/4+1/4=1/2, E(X 3 )=1，D(X 3 )=1， =D(X 3 )+E 2 (X 3 )=2, 故 7.对任意两个随机事件 A，B，已知 P(A-B)=P(A)，则下列等式不成立的是_ AP(A-B)= B C （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 利用事件的运算法则及全集分解公式判别之全集分解公式如下： A=AB+ ，P(A)=P(AB)+P(A )， P(A )=P(A)-P(AB)，P(AB)=P(A)-P(A ) 由 P(A-B)=P(A
13、)-P(AB)=P(A)可知 P(AB)=0 A中左端 P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A)， A中右端 故 A 成立 B中左端 故(B)成立 D中左端 C中左端 C中右端 8.已知随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 XN(， 2 )，YN(-， )，ZN(0， （分数：4.00）A.0 B.0C.0D.0解析：解析 利用题设条件先求出随机变量函数 5X+4Y-3Z 的正态分布，再利用标准正态分布及 P(X0)=0.2，求出所求概率 由于 X，Y，Z 是相互独立的正态随机变量，因此 5X+4Y-3Z 也是正态随机变量又E(5X+4Y-3Z)=5E(X)+4E(Y)-3E(Z)=5-4=
14、，D(5X+4Y-3Z)=25D(X)+16D(Y)+9D(Z)=25 2+16( 2/2)+9( 2/3)=36 2所以 5X+4Y-3ZN(，36 2)已知二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）解析：1 解析 极限式中含幂指函数 ，首先用换底法将其化为以 e 为底的指数函数 原式= 10.已知 f(x)是微分方程 xf“(x)-f(x)= 满足初始条件 f(1)=0 的特解，则 （分数：4.00）解析： 解析 按一般的思路先求出 f(x)后再积分，但由于求 f(x)工作量较大，可充分利用所给的有关信息，不用求 f(x)而直接求出 先用分部积分法得到 ， 故 11
15、. （分数：4.00）解析： 解析 利用 求之较简 12.级数 （分数：4.00）解析：(-，-2)、(2，+) 解析 所给级数为缺项幂级数，用比值判别法求其收敛半径，再讨论在其 ，则 由比值判别法知，当|x|2 时，所给级数收敛；当 x=2 或 x=-2 时，原级数成为交错级数 或 ，由莱布尼兹判别法知，这两个级数收敛 故原级数 13.设 （分数：4.00）解析：1 解析 先确定 A 的秩，再求 B 的秩 由 BA T =O，有 r(B)+r(A T )3，即 r(B)+r(A)3 显然，矩阵 A 中有二阶子式不为 0，有 r(A)2所以必然是 r(A)=2，从而 r(B)3-r(A)=3-
16、2=1，故 r(B)=114.设相关独立的两个随机变量 X，Y 具有同一分布律，且 X 的分布律为 X 0 1 P 1/2 1/2 ，则随机变量 Z=minX，Y)的分布律为 1 （分数：4.00）解析：minX 0 1 ，Y p 3/4 1/4 解析 先求出(X，Y)的联合分布律，再用同一表格法求出 Z-minX，Y的分布律 由题设易求得 P(X=0，Y=0)=p 11 =P(X=0)P(Y=0)=(1/2)(1/2)=1/4， P(X=0，Y=1)=p 12 =P(X=0)P(Y=1)=(1/2)(1/2)=1/4， P(X=1，Y=0)=p 21 =P(X=1)P(Y=0)=(1/2)(
17、1/2)=1/4， P(X=1，Y=1)=p 22 =P(X=1)P(Y=1)=(1/2)(1/2)=1/4， 故得到联合分布率为 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解一 解二 设函数 f(x)=(x-x 0 ) n (x)(n 为任意自然数)，其中函数 (x)当 x=x 0 时连续（分数：10.00）(1).证明 f(x)在点 x=x 0 处可导（分数：5.00）_正确答案：()解析：由于 (2).若 (x)0，问函数 f(x)在 x=x 0 处有无极值，为什么?（分数：5.00）_正确答案：()解析：由于 (x)在 x=x 0 处
18、连续，且 (x 0 )0，所以 (x)在点 x 0 的充分小的邻域(x 0 -，x 0 +)内与 (x 0 )同号，于是 f(x)的符号只与 n 的奇偶性有关 若 n 为奇数，则经过 x 0 时，f(x)的值变号，所以在 x=x 0 处没有极值； 若 n 为偶数，则(x-x 0 ) n 0(xx 0 ) 当 (x 0 )0，且 0|x-x 0 | 时，f(x)=(x-x 0 ) n (x)0=f(x 0 )，所以在 x=x 0 处有极小值f(x 0 ) 当 (x 0 )0，且 0|x-x 0 | 时，f(x)=(x-x 0 ) n (x)0=f(x 0 )，所以在 x=x 0 处有极大值f(x
19、 0 ) 解析 用导数定义证明(1)；用极值的定义证明(2)16.计算 （分数：10.00）_正确答案：()解析：注意到 ，令 x-1=sect，则当 x=2 时，t=0，当 x+时，t=/2，故 17.求 y“= （分数：10.00）_正确答案：()解析：这是一个一阶方程注意到 ，即 若以 x 为未知函数，y 2 为自变量，原方程就会化为 x 的一阶线性非齐次方程： 其通解为 ， 代入初始条件 y| x=1 =0 即得 1=C=1 C=2，所以满足条件下特解为 18.设 f(x)二阶可导，且 f“(x)0，u(t)为任一连续函数；a0，求证： （分数：10.00）_正确答案：()解析：证明
20、题设 f“(x)0，则由泰勒公式有 f(x)=f(x 0 )+f“(x 0 )(x-x 0 )+ f“()(x-x 0 ) 2 f(x 0 )+f“(x 0 )(x-x 0 )， 其中 在 x 0 ，x 之间取 x 0 = ，x=u(t)代入上式得 fu(t) 对上式两端从 0 到 a 积分，得 ， 即 解析 给出函数 f(x)二阶可导，且 f“(x)0，该条件常使人想到利用泰勒公式证明不等式比较待证的等式易看出，应取 x=u(t)， 19.设向量组()： 1 ， 2 ， m ，组()： 1 ， 2 ， n ，其秩分别为 r 1 ，r 2 ，向量组()： 1 ， 2 ， m ， 1 ， 2 ，
21、 n 的秩为 r 3 ，证明 maxr 1 ，r 2 r 3 r 1 +r 2 （分数：11.00）_正确答案：()解析：证明 分别取向量组()、()、()的最大无关组： 组()“： ；组()“： ；组()“： 又设组()“： 设 A 为三阶方阵， 为三维列向量，已知向量组 ，A，A 1 线性无关，且 A 3 =3A-2A 2 ，证明：（分数：11.00）(1).矩阵 B=，A，A 4 可逆（分数：5.50）_正确答案：()解析：证明 证一 由 A 3 =3A-2A 2 得到 A 4 a=AA 3 =3A 2 -2A 3 =3A 2 -2(3A-2A 2 )=-6A+7A 2 ， 则 因 (2
22、).B T B 为正定矩阵（分数：5.50）_正确答案：()解析：因(B T B)T=B T (B T ) T =B T B，故 B T B 为实对称矩阵 又对任意 X0，因 B 可逆，有 BX0，于是有 X T (B T B)X=(BX) T (BX)0， 故二次型 X T B T BX 是正定二次型，从而 B T B 为正定矩阵 解析 用定义证明 X T B T 为正定二次型20.将外形相同的球分别装入三个盒子中，第一个盒子装入 5 个红球和 3 个黑球，第二个盒子装入 3 个黑球和 2 个红球，第 3 个盒子中装入 4 个黑球和 2 个红球先在第一个盒子中任取一球，若取到黑球，则在第二个
23、盒子中任取两球，若取到红球，则在第三个盒子中任取两球，求第二次取到的两个球是黑球时，第一次取到的是黑球的概率 （分数：11.00）_正确答案：()解析：设事件 A 表示从第一个盒子中取到黑球，事件 B 表示第二次取出的两个球都是黑球，则 ， ， 故 所以 设总体 X 服从正态分布 N(，1)，X 1 ，X 2 ，X 9 是取自总体 X 的简单随机样本，要在显著性水平=0.05 下检验 H 0 ：= 0 =0，H 1 ：0 如果选取拒绝域 R= （分数：11.01）(1).求 C 的值（分数：3.67）_正确答案：()解析：依题意知，H 0 ：= 0 =0，H 1 ：0由于总体方差 已知，选取检验统计量为 在 H 0 成立的条件下，U=3 N(0，1)由 =0.05 可查表求得 P(|U|1.96)=0.05 事实上，设 P(|U|x)=0.05，则 1-P(|U|x)=1-2(x)-1=21-(x)=0.05， 即 (x)=0.975 查表得到 x=1.96，故 P(|U|1.96)=0.05，因而检验拒绝域为 R=|U|1.96)=3|X|1.96)= (2).若样本观测值的均值 （分数：3.67）_正确答案：()解析：由(3).若选取拒绝域 R= （分数：3.67）_正确答案：()解析：由于检验水平 是在 H 0 成立时拒绝 H 0 的最大概率，因此所求的显著性水平 应为
