1、考研数学三-248 及答案解析(总分：149.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 A、B 为随机事件，且 P(B)0，P(A|B)=1，则必有（分数：4.00）A.P(AB)P()B.P(AB)P()C.) P(AD.) P(A2.设 1， 2， s均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，下列选项正确的是（分数：4.00）A.若 1， 2， s线性相关，则 A 1，A 2，A s线性相关B.若 1， 2， s线性相关，则 A 1，A 2，A s线性无关C.若 1， 2， s线性无关，则 A 1，A 2，A s线性相关D.若 1， 2， s线性无关，则
2、A 1，A 2，A s线性无关3.设 f(x)在(-，+)内有定义，且 ，（分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f(x，y)连续，且 ，其中 D 是由 y=0，y=x 2，x=1 所围区域，则 f(x，y)等于（分数：4.00）A.B.C.D.5.设 X1和 X2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为 f1(x)和 f2(x)，分布函数分别为 F1(x)和 F2(x)，则（分数：4.00）_6.已知 1， 2是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解， 1， 2是对应齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，k 1，k 2为任意常数，则方程组 Ax=b 的通解必是（分数：4
3、.00）A.B.C.D.7.如图，连续函数 y=f(x)在区间-3，-2，2，3上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间-2，0，0，2的图形分别是直径为 2 的上、下半圆周，设 ，则下列结论正确的是（分数：4.00）A.B.C.D.8.已知中 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 （分数：4.00）填空项 1:_10.设 f(x)有一个原函数 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_11.交换积分次序： （分数：4.00）填空项 1:_12.微分方程 满足 （分数：4.00）填空项 1:_13.已知 1=(1，4，0，2) T， 2=(
4、2，7，1，3) T， 3=(0，1，-1，a) T，=(3，10，6，4) T若 不能由 1， 2， 3线性表出，则 a，b 应满足的条件是_（分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从区间0，3上的均匀分布，则 PmaxX，Y1=_（分数：4.00）_三、解答题(总题数：9，分数：93.00)15.设函数 y=y(x)由方程 ylny-x+y=0 确定，试判断曲线 y=y(x)在点(1，1)附近的凹凸性（分数：10.00）_16.设 f(u，v)具有二阶连续偏导数，且满足 ，又 g(x，y)= ，求 （分数：10.00）_17.计算二重积 ，其中 D 由
5、曲线 与直线 x+ =0 及 （分数：10.00）_设 f(x)是周期为 2 的连续函数（分数：15.00）(1).证明对任意实数，有 （分数：7.50）_(2).证明 （分数：7.50）_18.将函数 （分数：5.00）_设 A=E- T，其中 E 是 n 阶单位矩阵， 是 n 维非零列向量， T是 的转置证明：（分数：10.00）(1).A2=A 的充分必要条件是 T=1（分数：5.00）_(2).当 T=1 时，A 是不可逆矩阵（分数：5.00）_设矩阵 （分数：12.00）(1).求 B+2E 的特征值与特征向量（分数：6.00）_(2).求 r(B-E)+r(B-2E)（分数：6.0
6、0）_19.设随机变量 X 的概率密度为（分数：10.00）_设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 的概率分布为 PX=i= (i=-1，0，1)，Y 的概率密度为 （分数：11.00）(1).求 （分数：5.50）_(2).求 Z 的概率密度 fZ(z)（分数：5.50）_考研数学三-248 答案解析(总分：149.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 A、B 为随机事件，且 P(B)0，P(A|B)=1，则必有（分数：4.00）A.P(AB)P()B.P(AB)P()C.) P(A D.) P(A解析：分析 *，得到 P(AB)=P(B)根据加法公式
7、，有 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)2.设 1， 2， s均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，下列选项正确的是（分数：4.00）A.若 1， 2， s线性相关，则 A 1，A 2，A s线性相关 B.若 1， 2， s线性相关，则 A 1，A 2，A s线性无关C.若 1， 2， s线性无关，则 A 1，A 2，A s线性相关D.若 1， 2， s线性无关，则 A 1，A 2，A s线性无关解析：分析 因为(A 1，A 2，A s)=A( 1， 2， s)所以 r(A 1，A 2，A s)=rA( 1， 2， s)r( 1， 2， s)由于 1， 2， s线性相关，有
8、 r( 1， 2， s)s从而 r(A 1，A 2，A s)s即 A 1，A 2，A s线性相关或者，由于 1， 2， s线性相关，故存在不全为 0 的 k1，k 2，k s使得k1 1+k2 2+ks s=0那么 A(k 1 1+k2 2+k2 s)=0 即k1A 1+k2A 2+ksA s=0所以 A 1，A 2，A s线性相关3.设 f(x)在(-，+)内有定义，且 ，（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 因为*从而，当 a=0=g(0)时 g(x)在 x=0 处连续，当 a0 时 g(x)在点 x=0 处间断，即 g(x)在 x=0 处的连续性与a 的取值有关应选(D)4.设
9、 f(x，y)连续，且 ，其中 D 是由 y=0，y=x 2，x=1 所围区域，则 f(x，y)等于（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 求 f(x，y)归结为求常数*，由假设条件 f(x，y)=xy+A，为求 A，将此等式两端函数在 D上积分得*其中区域 D 如右图于是*应选(C)5.设 X1和 X2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为 f1(x)和 f2(x)，分布函数分别为 F1(x)和 F2(x)，则（分数：4.00）_解析：分析 应用概率密度与分布函数的充要条件来确定正确选项由于*，故(A)不正确；由微积分知识可知*未必等于 1，(B)不正确；F 1(+
10、)+F 2(+)=2，(C)不正确，所以选择(D)事实上，X 1与 X2相互独立，则 F1(x)F2(x)=PX1xPX 2x=PX 1x，X 2x=Pmax(X 1，X 2)X6.已知 1， 2是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解， 1， 2是对应齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，k 1，k 2为任意常数，则方程组 Ax=b 的通解必是（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 由 1， 2是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系知 n-r(A)=2，从而非齐次线性方程组 Ax=b的通解形式为：k 1 1+k2 2+其中 1， 2是 Ax=0 的基础解系， 是 Ax=b 的解由
11、方程组解的性质知 1，*都是 Ax=0 的解，*是 Ax=b 的解那么(A)中没有方程组 Ax=b 的特解 ，(C)中没有特解 而且 1+ 2也不是齐次方程组 Ax=0 的解，(D)中虽有特解 ，但齐次方程组 1， 1- 2的线性无关性没有保证唯(B)中，不仅 1， 1- 2是 Ax=0 的解而且是线性无关的，同时*是 Ax=b 的解，故应选(B)7.如图，连续函数 y=f(x)在区间-3，-2，2，3上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间-2，0，0，2的图形分别是直径为 2 的上、下半圆周，设 ，则下列结论正确的是（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 注意，大小半圆的面
12、积分别为*按定积分的几何意义知，当 x0，2时 f(x)0，当 x2，3时 f(x)0*因为 f(x)是奇函数*为偶函数*因此*选(C)8.已知中 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 方法一 由于存在 u(x，y)使得*由可微与可偏导的关系*分别对 y，x 求偏导数*由于*连续*选(D)方法二 通过求 u(x，y)使得*来确定其中的 a由*，对 x 积分得*a=2，c(y)=0(此时实际上已求出*)选(D)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：分析 由题设知函数 f(x)是(-，+)上的偶函数，且 f(x)分别
13、在三个区间(-，-c)，-c，c，(c，+)与某初等函数相等故连续，从而只要 f(x)在点x=c 处右连续就有 f(x)在(-，+)连续因 f(c)=c2+1，*故 f(x)在点 x=c 处右连续的充要条件是*，即 c2+c=2易验证：记 g(c)=c3+c，则 g(1)=2，又 g(c)=3c2+10，g(c)单调上升，故只有 c=1 时满足 g(c)=2因此，求得 c=110.设 f(x)有一个原函数 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 为求此积分，不必求 f(x)，用分部积分法需求出 f(x)由于 f(x)有一个原函数为*，故*用分部积分法并代入 f(x)
14、得*11.交换积分次序： （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 这是二重积*先对 x 积分后对 y 积分下的累次积分由累次积分限知，D=D 1D 2*D1的边界线是 x=y(即 y=x)，x=*(即 y=x2)及*，而 D2的边界线是 x=y(即 y=x)，*及*如右图*现改为先对 y 积分后对 x 积分的次序：*于是*12.微分方程 满足 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 这是求齐次微分方程的特解，作变量替换*，于是*，代入原方程，化为可分离变量的微分方程*分离变量得*两边求积分得*即*在通解中令 x=1，y=1 可确定常数 C=1，于是所
15、求特解满足*，按初值条件应取*13.已知 1=(1，4，0，2) T， 2=(2，7，1，3) T， 3=(0，1，-1，a) T，=(3，10，6，4) T若 不能由 1， 2， 3线性表出，则 a，b 应满足的条件是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：b2）解析：分析 设 x1 1+x2 2+x3 3=，对增广矩阵( 1 2 3|)作初等行变换，有*当且仅当 b2 时，方程组 x1 1+x2 2+x3 3= 无解所以 b2 时 不能由 1， 2， 3线性表出注意：a=1 或 a1 只是影响到方程组有解或惟一解，而 b=2 或 b2 涉及的是方程组是否有解!14.设随机变量 X
16、与 Y 相互独立，且均服从区间0，3上的均匀分布，则 PmaxX，Y1=_（分数：4.00）_解析：分析 由题设知 X 与 Y 独立，且有相同的概率密度*所以 Pmax(X，Y)1=PX1，Y1=PX1)PY1三、解答题(总题数：9，分数：93.00)15.设函数 y=y(x)由方程 ylny-x+y=0 确定，试判断曲线 y=y(x)在点(1，1)附近的凹凸性（分数：10.00）_正确答案：(y=y(x)是由方程 ylny-x+y=0 及条件y(1)=1 确定，由方程知，y=y(x)有二阶连续导数，要判断 y=y(x)在点(1，1)附近的凹凸性，只需求出 y“(1)将方程看成关于 x 的恒等
17、式，两边对 x 求导得ylny+y-1+y-0，y(2+lny)=1在上式中令 x=1，y=1 得*再将上式对 x 求导得*令 x=1，y=1，*则得*由 y“(x)的连续性知，存在 x=1 的一个邻域(1-，1+)(0)，当 x(1-，1+)时 y“(x)0，即曲线 y=y(x)在点(1，1)附近是凸的)解析：16.设 f(u，v)具有二阶连续偏导数，且满足 ，又 g(x，y)= ，求 （分数：10.00）_正确答案：(先求 dg，从而求得*由一阶全微分形式不变性，得*于是*再由复合函数求导法求得*因此*)解析：17.计算二重积 ，其中 D 由曲线 与直线 x+ =0 及 （分数：10.00
18、）_正确答案：(分析与求解由题设知积分区域 D 的上边界是直线*，下边界是直线*，它们交于坐标原点(0，0)，而 D 的右边界则是双曲线 x2-y2=1 的右支*，如图所示*积分区域 D 关于 x 轴对称，上半平面部分记为 D1，x=*与*的交点是(*，1)，则*于是所求二重积分*其中 x3+3xy2关于 y 是偶函数，而 3x2y+y3关于 y 是奇函数按 D1的特点，选择先对 x 积分再对 y 积分的次序化为定积分，*)解析：设 f(x)是周期为 2 的连续函数（分数：15.00）(1).证明对任意实数，有 （分数：7.50）_正确答案：(证法一 由 f(x)是周期为 2 的连续函数知，*
19、在(-，+)上可导，且F(t)=f(t+2)-f(t)=0 (*t(-，+)* F(t)=常数=F(0)即*证法二 利用定积分的性质考察*因此*)解析：(2).证明 （分数：7.50）_正确答案：(利用题(1)结论，即证*是周期为 2 的周期函数，为此考察G(x+2)-G(x)*=0 (*x)因此 G(x)是周期为 2 的周期函数)解析：18.将函数 （分数：5.00）_正确答案：(用分解法转化为求*的展开式，其中 a0 为常数先作如下分解*利用已知的幂级数展开式*可得 *将它们代入(*)式可得*展开式的收敛区间是|x-1|2，即 x(-1，3)解析：设 A=E- T，其中 E 是 n 阶单位
20、矩阵， 是 n 维非零列向量， T是 的转置证明：（分数：10.00）(1).A2=A 的充分必要条件是 T=1（分数：5.00）_正确答案：(由 A2=(E- T)(E- T)=E-2 T+ T T=E-2 T+( T) T=E- T+( T-1) T=A+( T-1) T那么 A2=A*( T-1) T=0因为 是非零列向量， T0所以 A 2=A* T=1)解析：(2).当 T=1 时，A 是不可逆矩阵（分数：5.00）_正确答案：(当 T=1 时，由()知 A2=A那么如果 A 可逆，则有A=A-1A2=A-1A=E与 A=E- TE 相矛盾)解析：设矩阵 （分数：12.00）(1).
21、求 B+2E 的特征值与特征向量（分数：6.00）_正确答案：(由于*故矩阵 A 的特征值为 1= 2=1， 3=7当 1= 2=1 时，由(E-A)x=0 得到矩阵 A 的特征向量为 1=(-1，1，0) T， 2=(-1，0，1) T当 3=7 时，由(7E-A)x=0 得到矩阵 A 的特征向量为 3=(1，1，1) T如果 A= 有*，那么*进而 *又*所以 B+2E 的特征值为 9，9，3矩阵 B+2E 对应于 =9 的特征向量是*，其中 k1，k 2为任意非零常数对应于 =3 的特征向量是*，k 3为任意非零常数)解析：(2).求 r(B-E)+r(B-2E)（分数：6.00）_正确
22、答案：(由于矩阵 B 有 3 个线性无关的特征向量，特征值是 7，7，1所以*，那么*，从而 r(B-E)+r(B-2E)=5)解析：19.设随机变量 X 的概率密度为（分数：10.00）_解析：设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 的概率分布为 PX=i= (i=-1，0，1)，Y 的概率密度为 （分数：11.00）(1).求 （分数：5.50）_正确答案：(*由于 X，Y 相互独立，且 Y 在0，1)上均匀，故*即*)解析：(2).求 Z 的概率密度 fZ(z)（分数：5.50）_正确答案：(F Z(z)=PZz-PX+Yz可以把“X=-1”，“X=0”和“X=1”看成是一个完备事件组，用全概率公式：*故*即*)解析：
