1、考研数学三-247 及答案解析(总分：151.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 x0 时， （分数：4.00）A.a=c-1，b=0B.a=1，b=2，c=0C.a=c=2，b=0D.a=b=1，c=02.设 f(x)= （分数：4.00）A.f(x)在点 x=1处连续，在点 x=-1处间断B.f(x)点 x=1处间断，在点 x=-1处连续C.f(x)在点 x=1，x=-1 处都连续D.f(x)在点 x=1，x=-1 处都间断3.设 f(x)= （分数：4.00）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续，但不可导D.可导4.设函数 f(x，y)连
2、续，且 f(x，y)=xy f(x，y)dxdy+15x 2 y 2 ，则 f(x，y)=_ A （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A= ，对 A以行和列分块，记为 A= 1 ， 2 ， 3 ， 4 = 1 ， 2 ， 3 T ， 其中 0， （分数：4.00）A.(1)，(3)B.(2)，(3)C.(1)，(4)D.(2)，(4)6.已知 A为三阶矩阵， 1 =1，2，3 T ， 2 =0，2，1 T ， 3 =0，t，1 T 为非齐次线性方程组 AX=0，0，1 T 的三个解向量，则_（分数：4.00）A.当 t=2时，r(A)=1B.当 t=2时，r(A)=2C.当 t2 时，r
3、(A)=1D.当 t2 时，r(A)=27.连续抛掷一枚硬币，第 k(kn)次正面向上在第 n次抛掷时出现的概率为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X的分布函数为 （分数：4.00）A.a=5/16，b=7/16B.a=7/16，b=9/16C.a=1/2，b=1/2D.a=3/8，b=3/8二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.若函数 y= （分数：4.00）10. （分数：4.00）11. （分数：4.00）12.差分方程 y x+1 - （分数：4.00）13.设随机 X和 Y的联合概率分布为 （分数：4.00）14.设 X 1 ，X 2 ，X
4、 n ，是取自正态总体 N(0， 2 )(0)的简单随机样本， = (1kn)，则 cov( （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：95.00)15.求 （分数：10.00）_16.已知 f(x)，g(x)连续可导，且 f“(x)=g(x)，g“(x)=f(x)+(x)， 其中 (x)为某已知连续函数，g(x)满足微分方程 g“(x)-xg(x)=cosx+(x), 求不定积分xf“(x)dx （分数：10.00）_17.设 0a/2，证明存在一点 (a，/2)，使得 （分数：10.00）_设某种商品的销售量 Q和价格 P的函数关系是 Q= （分数：10.00）(1).求利润 L与销
5、售量 Q的函数关系（分数：5.00）_(2).求使利润最大的销售量及最大利润（分数：5.00）_18.某种商品 t时期的供给量 S t 和需求量 D t 与 P t 的关系分别为 S t =3+2P t ， D t =4-3P t-1 . 又假定在每个时期中 S t =D t ，且当 t=0时，P t =P0，求价格随时间变化的规律 （分数：11.00）_已知 A，B 为三阶非零方阵，A= ， 1 = ， 2 = ， 3 = （分数：11.00）(1).求 a，b 的值（分数：5.50）_(2).求 BX=0的通解（分数：5.50）_设 ， 是三维单位正交列向量，令 A= T + T 证明：（
6、分数：11.01）(1).|A|=0（分数：3.67）_(2).+，- 是 A的特征向量（分数：3.67）_(3).A相似于对角阵，并写出该对角阵（分数：3.67）_设二维随机变量(X，Y)的密度函数为 （分数：11.01）(1).问 X，Y 是否独立?（分数：3.67）_(2).分别求 U=X 2 和 V=Y 2 的密度函数 f U (u)和 f V (v)，并指出(U，V)服从的分布（分数：3.67）_(3).求 P(U 2 +V 2 1)（分数：3.67）_19.设 X 1 ，X 2 ，X 200 取自总体 X的一个简单随机样本，总体 X服从参数为 p=0.4的 0-1分布，计算概率 （
7、分数：11.00）_考研数学三-247 答案解析(总分：151.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 x0 时， （分数：4.00）A.a=c-1，b=0 B.a=1，b=2，c=0C.a=c=2，b=0D.a=b=1，c=0解析：解析 解一 由题设有 因 故 1-a=0，b=0，1-c=0，即 a=c=1，b=0仅 A入选 解二 由式及 =0，故 =0，所以 1-c=0即 c=1于是 ，故 b=0 由 ，得到 a=1 解三 利用 =1+x 2 +x 4 /2+o(x 4 )，得到 原式 故 1-a=0，b=0，1-c=0，即 a=1，c=1，b=0 仅
8、 A入选 利用等价无穷小代换 2.设 f(x)= （分数：4.00）A.f(x)在点 x=1处连续，在点 x=-1处间断B.f(x)点 x=1处间断，在点 x=-1处连续 C.f(x)在点 x=1，x=-1 处都连续D.f(x)在点 x=1，x=-1 处都间断解析：解析 依间断点定义和连续点定义判别 故 f(x)在点 x=1处间断 而 3.设 f(x)= （分数：4.00）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续，但不可导 D.可导解析：解析 讨论分段函数在分段点的极限、连续及可导性问题，从分段点左、右两侧分别考虑即： 先求左、右极限，若二者存在且相等，则在该分段点极限存在； 先求左、右极
9、限，若二者存在且相等，并等于分段点的函数值，则在该点处连续； 先求左、右导数，若二者存在且相等，则在该分段点可导，否则函数在该点处不可导 ， 故 f(x)存在，且 f(x)=f(0)=0因而 f(x)在点 x=0处连续 因 不存在，故 f(x)在点 x=0处不可导，仅 C入选 注意 有同学错选上例答案为 A，原因是 4.设函数 f(x，y)连续，且 f(x，y)=xy f(x，y)dxdy+15x 2 y 2 ，则 f(x，y)=_ A （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 显然被积函数待求，但由于积分区域确定，所给等式中出现的积分，其值为一常数设 A= f(x，y)dxdy， 在所
10、给等式两端在区域|x|+|y|1 上二重积分即可求得结果 因积分区域|x|+|y|1 关于 x与 y轴均对称，故 xydxdy=0， 且 ， 即 ， 因而有 ， 比较两端被积函数，得到 f(x，y)= 5.设 A= ，对 A以行和列分块，记为 A= 1 ， 2 ， 3 ， 4 = 1 ， 2 ， 3 T ， 其中 0， （分数：4.00）A.(1)，(3)B.(2)，(3)C.(1)，(4)D.(2)，(4) 解析：解析 由线性相关、线性无关的定义及其性质判别之 由式知，向量a 12 ，a 32 T 与a 14 ，a 34 T 线性无关，由其性质知在其相同位置上增加相同分量所得的向量组仍线性无
11、关，因而 2 =a 12 ，a 22 ，a 32 T ， 4 =a 14 ，a 24 ，a 34 T 线性无关(2)正确 又由式知， 1 ， 2 ， 3 线性相关，(4)正确但 1 ， 2 ， 3 不能保证再线性相关，故(3)不正确 由式不能得到 r(A)=2，只能得到 r(A)2，但由不能得到 r(A)3，故(1)是错误的 综上所述，仅 D入选6.已知 A为三阶矩阵， 1 =1，2，3 T ， 2 =0，2，1 T ， 3 =0，t，1 T 为非齐次线性方程组 AX=0，0，1 T 的三个解向量，则_（分数：4.00）A.当 t=2时，r(A)=1B.当 t=2时，r(A)=2C.当 t2
12、时，r(A)=1 D.当 t2 时，r(A)=2解析：解析 将向量关系式 A i =0，0，1 T (i=1，2，3)合并成矩阵等式 AB=C如能求出 t使 B为满秩矩阵，则 r(AB)=r(A)=r(C)，而 r(C)可观察求出 先将一组向量关系式 A i =0，0，1 T (i=1，2，3)合并成一个矩阵等式 AB=C(矩阵关系式)，即 7.连续抛掷一枚硬币，第 k(kn)次正面向上在第 n次抛掷时出现的概率为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 设事件 A=n次抛掷中有 k次正面向上， A 1 =第 k次正面向上， A 2 =前 n-1次抛掷中有 k-1次正
13、面向上，则事件 A发生等价于 A 1 ，A 2 同时发生，故 A=A 1 A 2 又 A 1 ，A 2 相互独立，故 P(A)=P(A 1 )P(A 2 ) 总共抛掷 n次，其中有 k次出现正面向上设此事件为 A，设在第 n次抛掷时第 k次正面出现的事件为 A 1 ，前 n-1次抛掷中有 k-1次正面向上的事件为 A 2 则复合事件 A等价于 A 1 与 A 2 的乘积又因 A 1 ，A 2 独立，故 P(A)=P(A 1 A 2 )=P(A 1 )P(A 2 )， 即 P(A)=P(A 1 )P(A 2 )= = 故所求概率为 P(A)= 8.设随机变量 X的分布函数为 （分数：4.00）A
14、.a=5/16，b=7/16 B.a=7/16，b=9/16C.a=1/2，b=1/2D.a=3/8，b=3/8解析：解析 利用分布函数的定义及右连续性求之 由分布函数 F(x)为右连续函数，得到 F(-1+0)=F(-1)，即 又 F(1)=P(X1)=P(X1)+P(X=1)， 而 F(1)=1，P(X1)=F(1-0)= 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.若函数 y= （分数：4.00）解析： 解析 y 为幂指函数，为求其导数，可先用取对数法或换底法处理，再用复合函数求导法则求之 因为 y= ，于是 y“= = ， 故 dy=y“dx= 10. （分数：4.00）解析：arc
15、tane-/4 解析 分母提取因子 n，再使用定积分定义求之 原式= = 11. （分数：4.00）解析： 解析 变更积分次序，再用 函数计算较简；也可用分部积分法求之 解一 = 解二 12.差分方程 y x+1 - （分数：4.00）解析：y x = 解析 先求对应的齐次差分方程的通解，再求特解 齐次差分方程 y x+1 - =0的特征方程为 - =0，解得特征根 = ，故齐次差分方程的通解为 因 a= (特征根不等于底数)，故其特解为 ，代入原方程得 A= 故所求通解为 y x = 13.设随机 X和 Y的联合概率分布为 （分数：4.00）解析：056 解析 由定义或同一表格法分别求出 X
16、，Y 与 XY的分布，再求其期望 解一 由表易知 X ，Y ， XY 14.设 X 1 ，X 2 ，X n ，是取自正态总体 N(0， 2 )(0)的简单随机样本， = (1kn)，则 cov( （分数：4.00）解析： 解析 利用协方差的有关性质，特别是线性性质求之 由于 X i ，X j (ij)独立，cov(X i ，X j )=0，又 cov(X i ，X i )=D(X i )= 2 ，则 = 三、解答题(总题数：9，分数：95.00)15.求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：当 0 时， ； 当 02 时， = ； 当 2 时， 16.已知 f(x)，g(x)连续可导，且
17、 f“(x)=g(x)，g“(x)=f(x)+(x)， 其中 (x)为某已知连续函数，g(x)满足微分方程 g“(x)-xg(x)=cosx+(x), 求不定积分xf“(x)dx （分数：10.00）_正确答案：()解析：因为 xf“(x)dx=xdf“(x)-xf“(x)-f“(x)dx =xf“(x)-f(x)+C， 又由 f“(x)=g(x)，g“(x)=f(x)+(x)， 于是有xf“(x)dx=xg(x)-g“(x)-(x)+C =xg(x)-g“(x)+(x)+C=-cosx+C 注意 上例不必求解微分方程 g“(x)-xg(x)=cosx+(x)求出 g(x) 解析 从不定积分x
18、f“(x)dx 的形式：被积函数含有导函数为因子函数，可用分部积分法求之17.设 0a/2，证明存在一点 (a，/2)，使得 （分数：10.00）_正确答案：()解析：证明 令 则 F(a)=0(因 F(x)中第 1行与第 3行相同)，F(/2)=0(因 F(x)中的第 1行与第 2行相同)显然 F(x)在a，/2上连续，在(a，/2)内可导，因而 F(x)满足罗尔定理的所有条件，对 F(x)在a，/2上使用罗尔定理知，存在 (a，/2)，使 F“()=0，即 解析 将上三阶行列式的第 1行的 3个元素分别视为函数 x 2 ，sinx， 在 处的导数值 令 设某种商品的销售量 Q和价格 P的函
19、数关系是 Q= （分数：10.00）(1).求利润 L与销售量 Q的函数关系（分数：5.00）_正确答案：()解析：由销售量 Q与价格 P的函数关系可解出 P= ， 故利润 L与 Q的函数关系是 L=PQ-C= (2).求使利润最大的销售量及最大利润（分数：5.00）_正确答案：()解析：令 ， 可得到唯一驻点 Q=5又因 18.某种商品 t时期的供给量 S t 和需求量 D t 与 P t 的关系分别为 S t =3+2P t ， D t =4-3P t-1 . 又假定在每个时期中 S t =D t ，且当 t=0时，P t =P0，求价格随时间变化的规律 （分数：11.00）_正确答案：(
20、)解析：由 S t =D t 得 3+2P t =4-3P t-1 ，即 ， 此为一阶常系数线性非齐次差分方程，由于 a=- b=1，故方程特解为 =A代入方程得A=1/5. 对应齐次方程的通解是 ，于是该题的通解为 ，其中 C为任意常数 利用初始条件 t=0时，P t =P 0 ，求出常数 C=P 0 - ，则价格随时间变化的规律为 解析 由题设条件可得一差分方程 P t +(3/2)P t-1 =1/2=(1/2)1 x 因特征根 =-3/2b=1，故可设特解 已知 A，B 为三阶非零方阵，A= ， 1 = ， 2 = ， 3 = （分数：11.00）(1).求 a，b 的值（分数：5.5
21、0）_正确答案：()解析：因 B0，故 r(B)1，因而 BX=0的基础解系所含解向量的个数为 n-r(B)3-1=2 个， 而 1 ， 2 ， 3 均是 BX=0的解，故 3 ， 2 ， 3 必线性相关，于是 ， 解得 a=3b又 AX= 3 有非零解，即 3 可由 A的 3个列向量 1 = ， 2 = ， 3 = 线性表示，由观察易看出 3 =3 1 +2 2 . 可见， 3 可由 1 ， 2 线性表示，因此 3 ， 1 ， 2 线性相关，于是 (2).求 BX=0的通解（分数：5.50）_正确答案：()解析：由题设 r(B)1，于是 3-r(B)2，又已知 1 ， 2 为 BX=0的两个
22、线性无关的解，故 3-r(B)2，所以 3-r(B)=2， 1 ， 2 即可作为 BX=0的基础解系，故通解为 X=k 1 1 +k 2 2 (k 1 ，k 2 为任意常数) 解析 因 r(B)1，故 1 ， 2 ， 3 必线性相关又由 AX= 3 知， 3 可表示为 A的 3个列向量的线性组由这两个线性关系式可求出 a，b设 ， 是三维单位正交列向量，令 A= T + T 证明：（分数：11.01）(1).|A|=0（分数：3.67）_正确答案：()解析：证明 A 为三阶矩阵， r(A)=r( T + T )r( T )+r( T )r()+r()23，故|A|=0 解析 利用 r(B+C)
23、r(B)+r(C)，r(BC)r(B)，r(C)，证明 r(A)3(2).+，- 是 A的特征向量（分数：3.67）_正确答案：()解析：因 ， 为三维单位正交向量，故 T =1， T =1， T = T =0 当然 ， 线性无关，又 ， 为单位向量，+0，故 A(+)=( T + T )(+)= T + T + T + T =0+1+1+0=+， 即 + 为 A的对应于特征值 1 =1的特征向量同法可求 A(-)=( T + T )(-)= T - T + T - T =0-1+1-0=-(-)， 故 - 为 A的对应于特征值 2 =-1的特征向量 设另一特征值为 3 ，由|A|=0 得到|
24、A|= 1 2 3 =0，故 3 =0 解析 利用特征向量的定义，即利用 A(+)=k(+)，A(-)=C(-)证之(3).A相似于对角阵，并写出该对角阵（分数：3.67）_正确答案：()解析：因 A有 3个不同特征值，故 AA=diag(0，1，-1)，即其相似对角矩阵为 A=diag(0，1，-1)(diag 为对角矩阵的英文简写) 解析 证明 A有 3个不同的特征值即可设二维随机变量(X，Y)的密度函数为 （分数：11.01）(1).问 X，Y 是否独立?（分数：3.67）_正确答案：()解析：(2).分别求 U=X 2 和 V=Y 2 的密度函数 f U (u)和 f V (v)，并指
25、出(U，V)服从的分布（分数：3.67）_正确答案：()解析：F U (u)=P(Uu)=P(X 2 u)= = 所以 f U (u)=F“ U (u)= 同理，可得 由于 X，Y 相互独立，所以 U=X 2 和 V=Y 2 也相互独立，从而(U，V)的密度函数为 f UV (uv)=f U (u)f V (v)= (3).求 P(U 2 +V 2 1)（分数：3.67）_正确答案：()解析：由上题可知(记 D=(u，v)|u 2 +v 2 1，u0，v0) 19.设 X 1 ，X 2 ，X 200 取自总体 X的一个简单随机样本，总体 X服从参数为 p=0.4的 0-1分布，计算概率 （分数：11.00）_正确答案：()解析：因 X 1 ，X 2 ，X 200 相互独立同分布，所以 X 2 -X 1 ，X 4 -X 3 ，X 200 -X 199 也相互独立同分布，它们的平方也相互独立同分布 令 Y i =X 2i -X 2i-1 ，i=1，2，100。 则 Yi -1 0 1 P 0.24 0.52 0.24 0 1 P 0.52 0.48 从而 ，E(Y i ) 4 =0.48 =0.48-0.48 2 =0.2496(i=1，2，100) 因此 解析 随机变量之和取值的概率可利用中心极限定理近似求出关键在于求出随机变量之和
