1、考研数学三-246 及答案解析(总分：95.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：21.00)1.设位于曲线 （分数：4.00）2. （分数：1.00）3.设函数 f 与 g 可微，z=f(xy，g(xy)+lnx)，则 （分数：4.00）4.设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为 g(y)= （分数：4.00）5.已知 X 1 ，X 2 ，X n 是来自正态总体 N(0， 2 )的简单随机样本，样本均值和样本方差分别为 和 S 2 ，记 （分数：4.00）6. （分数：4.00）二、选择题(总题数：8，分数：20.00)7. （分数：1.00）A.B.
2、C.D.8. （分数：4.00）A.B.C.D.9. （分数：4.00）A.B.C.D.10. （分数：1.00）A.B.C.D.11. （分数：1.00）A.B.C.D.12. （分数：4.00）A.B.C.D.13.假设总体 X 服从正态分布 N(， 2 )，X 1 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，其样本均值为 ，如果 ，其中 a0，则有 (A) a=nb (B) b=na (C) (D) （分数：4.00）A.B.C.D.14. （分数：1.00）A.B.C.D.三、解答题(总题数：8，分数：54.00)15. （分数：10.00）_16. （分数：1.00）_17.已知二次型
3、 （分数：11.00）_18.设 f(x)，g(x)在0，1的导数连续，且 f(0)=0，f“(x)0，g“(x)0，证明：对 a0，1，有 （分数：10.00）_19. （分数：10.00）_20. （分数：1.00）_已知曲线 y=f(x)(x0)是微分方程 2y“+y“-y=(4-6x)e -x 的一条积分曲线，此曲线通过原点，且在原点的切线斜率为 0。（分数：10.00）(1).求曲线 y=f(x)到 x 轴的最大距离；（分数：5.00）_(2).计算 （分数：5.00）_21. （分数：1.00）_考研数学三-246 答案解析(总分：95.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题
4、数：6，分数：21.00)1.设位于曲线 （分数：4.00）解析： 解析 所求旋转体的体积 2. （分数：1.00）解析：应填“F”3.设函数 f 与 g 可微，z=f(xy，g(xy)+lnx)，则 （分数：4.00）解析：f“ 2 4.设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为 g(y)= （分数：4.00）解析：4 本题是考查数字特征计算的基础题 5.已知 X 1 ，X 2 ，X n 是来自正态总体 N(0， 2 )的简单随机样本，样本均值和样本方差分别为 和 S 2 ，记 （分数：4.00）解析： 2 解析 由题设知 XN(0， 2 )，故 ES 2 =DX= 2 所以
5、 6. （分数：4.00）解析：二、选择题(总题数：8，分数：20.00)7. （分数：1.00）A.B.C. D.解析：8. （分数：4.00）A.B. C.D.解析：9. （分数：4.00）A.B. C.D.解析：10. （分数：1.00）A.B. C.D.解析：11. （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：12. （分数：4.00）A.B. C.D.解析：13.假设总体 X 服从正态分布 N(， 2 )，X 1 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，其样本均值为 ，如果 ，其中 a0，则有 (A) a=nb (B) b=na (C) (D) （分数：4.00）A.B.C. D.解
6、析：解析 依题设 XN(， 2 )， ，故 ， ，由此可知：如果 ，即有 所以 14. （分数：1.00）A.B. C.D.解析：三、解答题(总题数：8，分数：54.00)15. （分数：10.00）_正确答案：()解析：16. （分数：1.00）_正确答案：()解析： 17.已知二次型 （分数：11.00）_正确答案：()解析：(1) f 的矩阵表达式为 (2) 二次型的矩阵阵为 A 的特征方程为 由此得 A 的特征值为 1 =1， 2 =6， 3 =-6对应的特征向量为 对应的单位特征向量为 由此可得正交矩阵 对二次型 f 作正交变换 则二次型 f 可以化为如下标准形 18.设 f(x)，
7、g(x)在0，1的导数连续，且 f(0)=0，f“(x)0，g“(x)0，证明：对 a0，1，有 （分数：10.00）_正确答案：()解析：即证 证法一 用微分学方法即引入 a0，1的函数 利用单调性来证明 由题设知，函数 f(x)，g(x)在0，1区间是非减的，且 f(x)在0，1区间是非 负的，从而 F“(a)=g(a)f“(a)-f“(a)g(1)=f“(a)(g(a)-g(1)0 (a0，1) 又 因此函数 F(a)在0，1上单调非增，且 F(a)F(1)=0 当 a0，1时成立 证法二 积分学方法直接计算定积分并用定积分的性质 19. （分数：10.00）_正确答案：()解析：20.
8、 （分数：1.00）_正确答案：()解析：已知曲线 y=f(x)(x0)是微分方程 2y“+y“-y=(4-6x)e -x 的一条积分曲线，此曲线通过原点，且在原点的切线斜率为 0。（分数：10.00）(1).求曲线 y=f(x)到 x 轴的最大距离；（分数：5.00）_正确答案：()解析：由题设知函数 f(x)是微分方程初值问题 当 x0 时的特解，方程的特征方程是 2 2 +-1=0，其特征根为 与 2 =-1，由设非齐次方程特解的规则可知方程有形式为 y * =(Ax+Bx 2 )e -x 的特解，代入方程可确定常数 A=0，B=1，即有特解 y * =x 2 e -x ，不难发现 y * 满足初值 y(0)=y“(0)=0，从而初值问题，的解就是 y * =x 2 e -x ，即所求曲线的方程为 y=f(x)=x 2 e -x (x0)， 由于 (2).计算 （分数：5.00）_正确答案：()解析：21. （分数：1.00）_正确答案：()解析：
