1、考研数学三-245 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设线性非齐次方程组 A44=b 有通解k11，2，0，-2 T+k24，-1，-1，-1 T+1，0，-1，1 T则方程组满足条件 x1=x2且 x3=x4的解是 ( )（分数：4.00）A.2，2，1，1 TB.1 1，1，2，2 TC.-2，-2，1，1 TD.2，2，-1，-1 T2.设 f(x)在 x=n 处可导，则|f(x)|在 x=a 处不可导的充要条件是 ( )（分数：4.00）A.f(A) =0，_f(A) =0B.f(A) =0，f&#C.f(A) 0，f(
2、AD.f(A) 0，f(A3.设随机变量 X 的概率密度 f(x)，则随机变量 2X+3 的概率密度为 ( )（分数：4.00）A.B.C.D.4.考虑一元函数 f(x)的下列 4 条性质：f(x)在 a，b 上连续f(x)在 a，b 上可积f(x)在 a，b 上可导f(x)在 a，b 上存在原函数以 表示由性质 P 可推出性质 Q，则有 ( )（分数：4.00）A.B.C.D.5.已知随机变量 X 的分布律为 ，其中 C 为常数，k=l，2，则 X 的数学期望 E(X)为 ( )（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 A、B 是三阶矩阵，A 是非零矩阵，且满足 AB=0，且 （分数：4.0
3、0）A.B.C.D.7.设 f(x)在(-，+)上连续，下述命题对任意 的充要条件是 f(x)为奇函数对任意 的充要条件是 f(x)为偶函数对任意 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 x0 处 f(x)连续且严格单调增，并设 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.直角坐标中的累次积分 （分数：4.00）填空项 1:_10.设 f(x)连续且 f(x)0，又设 f(x)满足 （分数：4.00）填空项 1:_11.设常数 a0，a1则 （分数：4.00）填空项 1:_12.设 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 A，B，C 均是三阶矩阵，满足
4、AB=B2-BC其中 则 A5=_（分数：4.00）填空项 1:_14.设总体 X 和 Y 均服从正态分布 N(， 2)，X 1，X 2，X n和 Y1，Y 2，Y n分别是来自总体 X 和 Y 的两个相互独立的简单随机样本，它们的样本方差分别为 ，则统计量 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 （分数：10.00）_16.设 z=f(u)存在二阶连续的导数，并设复合函数在 x0 处满足（分数：10.00）_17.计算 （分数：10.00）_18.设 f(x)在 0，1 上可导且满足 （分数：10.00）_19.设 求 （分数：10.00）_20.
5、设 n 维向量组 1， 2， s-1线性无关，且 s= 1+2 2+3 3+(s-1) s-1()证明：线性齐次方程组 1x1+ 2x2+ i-1xi-1+ i+1xi+1+ sxs=0 (*)只有零解i=1，2，s()求线性非齐次方程组 1x1+ 2x2+ sxs= 1+2 2+s s (*)的通解（分数：11.00）_21.设线性齐次方程组(2E-A)X=0 有通解 =k 1=k-1，1，1 T，其中 k 是任意常数，A 是二次型f(x1，x 2，x 3)=XTAX 的对应矩阵且 r(A) =1()问 1=1，1，0 T， 2=1，-1，0 T是否是方程组 AX=0 的解向量，说明理由()
6、求二次型 f(x1，x 2x 3)（分数：11.00）_22.设有两箱同类零件，第一箱内装 5 件，其中 1 件是一等品，第二箱内装 5 件，其中 2 件是一等品，现在从两箱中随机挑一箱，然后从该箱中先后不放回地随机取出 2 件零件求：()先取出的零件是一等品的概率；()在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍为一等品的概率（分数：11.00）_23.设总体 XU(，+1)，X 1，X 2，X n是来自总体 x 的样本，试求：()参数 的矩估计量；()参数 的最大似然估计量（分数：11.00）_考研数学三-245 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数
7、：8，分数：32.00)1.设线性非齐次方程组 A44=b 有通解k11，2，0，-2 T+k24，-1，-1，-1 T+1，0，-1，1 T则方程组满足条件 x1=x2且 x3=x4的解是 ( )（分数：4.00）A.2，2，1，1 TB.1 1，1，2，2 TC.-2，-2，1，1 TD.2，2，-1，-1 T 解析：*应选(D)或者：四个选项的向量均满足 x1=x2，x 3=x4，故只需验算哪个选项包含了通解即可，因*可解得 k1=1，k 2=0，故应选(D)2.设 f(x)在 x=n 处可导，则|f(x)|在 x=a 处不可导的充要条件是 ( )（分数：4.00）A.f(A) =0，_
8、f(A) =0B.f(A) =0，f&# C.f(A) 0，f(AD.f(A) 0，f(A解析：分析 若 fa)0，则存在 x=a 的某邻域 U，在该邻域内f(x)与 f(a)同号，于是推知，若 f(a)0，则|f(x)|=f(x)(当xU)；若 f(a)0，则|f(x)|=-f(x)总之，若 f(a)0，|f(x)|在 x=a 处总可导若 f(a)=0，则*其中 xa +时，取“+”，xa -时，取“-”，所以当 f(a)=0 时，|f(x)|在 x=a 处可导的充要条件是|f(a)|=0，即 f(a)=0所以当且仅当 f(a)=0，f(a)0 时，|f(x)|在 x=a 处不可导，选(B)
9、3.设随机变量 X 的概率密度 f(x)，则随机变量 2X+3 的概率密度为 ( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 设 Y=2X+3，则 Y 的分布函数 FY(x)为* 选(A)4.考虑一元函数 f(x)的下列 4 条性质：f(x)在 a，b 上连续f(x)在 a，b 上可积f(x)在 a，b 上可导f(x)在 a，b 上存在原函数以 表示由性质 P 可推出性质 Q，则有 ( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 因可导必连续，连续函数必存在原函数，故(B)正确(A)是不正确的虽然由可推出，但由(可积)推不出(可导)例如 f(x)=|x|，在-1，1上可积：*但|x
10、|在 x=0 处不可导(C)是不正确的由(可积)推不出(存在原函数)例如*在-1，1 上可积：*但 f(x)在-1，1 不存在原函数因为如果存在原函数 F(x)，那么只能是 F(x)=|x|+c 的形式，而此函数在点 x=0 处不可导，在区问-1，1 上它没有做原函数的“资格”(D)是不正确的因为由(存在原函数)推不出(函数连续)。例子如下：*它存在原函数*但 f(x)并不连续即存在原函数的函数 f(x)可以不连续5.已知随机变量 X 的分布律为 ，其中 C 为常数，k=l，2，则 X 的数学期望 E(X)为 ( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 本题分布律类似泊松分布*可以理
11、解 =1，但泊松分布 k 从 0 开始，而本题是从 k=1 开始但可以利用公式*6.设 A、B 是三阶矩阵，A 是非零矩阵，且满足 AB=0，且 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 由 AB=O，知 r(A)+r(B)3又 r(A)0，*当 a=-1 时，r(B)=1，r(A)=1 或，r(A)=2故(A)(C)不成立a=2 时，r(B)=2，必有 r(A)=1(D)成立，(B)不成立，故应选(D)7.设 f(x)在(-，+)上连续，下述命题对任意 的充要条件是 f(x)为奇函数对任意 的充要条件是 f(x)为偶函数对任意 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：8.设 x0 处
12、 f(x)连续且严格单调增，并设 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：*由于 f(x)严格单调递增可知 f(x)f()，故 F(x)在 x0 处无驻点，选(A)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.直角坐标中的累次积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：* *10.设 f(x)连续且 f(x)0，又设 f(x)满足 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*11.设常数 a0，a1则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-lna）解析：*12.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：f n+1(0)=(-1)n(2n)!(
13、n=0，1，)）解析：*由泰勒级数展开式的唯一性，有*13.设 A，B，C 均是三阶矩阵，满足 AB=B2-BC其中 则 A5=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 *，B 可逆AB=B2-BC=B(B-C)A=B(B-C)B-1，A5=B(B-C)B-1B(B-C)B-1B(B-C)B-1=B(B-C)5B-1，*故*14.设总体 X 和 Y 均服从正态分布 N(， 2)，X 1，X 2，X n和 Y1，Y 2，Y n分别是来自总体 X 和 Y 的两个相互独立的简单随机样本，它们的样本方差分别为 ，则统计量 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： 2(2n-
14、2)）解析：*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 （分数：10.00）_正确答案：(对于 f1(x)，当 x0 时，f 1(x)=ex0，所以在(0，+)内无极值当 x0 时，f 1(x)一(x+1)ex命 f1(x)=0，得 x1=-1当 x-1 时，f 1(x)0，当-1x0 时，f 1(x)0故 f1(-1)=-e-1叫为极小值再看间断点 x=0 处，x0 时 f1(x)0；x0 且 x 充分小时，f 1(x)0，故 f1(0)=0 为极大值对于 f2(x)，当 x0 时，f 2(x)=-ex0，所以在(0，+)内无极值当 x0 时，与 f1(x)同，f 2(-1)=-e
15、-1为极小值在间断点 x=0 处，f 2(0)=-1x0 时，f 2(x)-1；x0 且|x|充分小时，f 2(x)为负值且|f2(x)1，从而有 f2(x)-1所以f 2(0)非极值)解析：注 在可导的开区间内讨论极值用极值的必要条件以及极值的第一充分条件在间断点处讨论极值，既不能用极值的必要条件(因为该处不可导)，也不能用极值的第一充分条件(因为该处不连续)，而应该用极值的定义，实际上用最原始的办法，将该点处的值与其附近的值比大小读者可以画出 f1(x)与，f2(x)的图看看就明白了16.设 z=f(u)存在二阶连续的导数，并设复合函数在 x0 处满足（分数：10.00）_正确答案：(*，
16、有*这是关于 f的一阶线性方程(或变量分离方程)：*)解析：17.计算 （分数：10.00）_正确答案：(先看*)解析：18.设 f(x)在 0，1 上可导且满足 （分数：10.00）_正确答案：(有两种讨论方式方法 1从结论推上去，要证明存在 (0，1)使f()+f()=0，即 e f()+e f()=0，即证明存在 (0，1)使(e f()=0命 F(x)= e f(x)，要证存在 (0，1)使 F()=(e f(x)x- =0为此，只要验证 F(x)在 0，1 上满足罗尔定理即可由于*即 F(0)=F()，01所以存在 (0，)*(0，1)使 F()=0，即e f()+e f()=0因
17、e 0，上式等价于 f()+f()=0 证毕方法 2从条件往下推由*及积分中值定理，存在*使 f(0)=e f()，即 e0f(0)=e f()命 F(x)=exf(x)，有 F(0)=F()，由罗尔定理存在 (0，)*(0，1)使*e (f()+f()=0，即f()+f()=0证毕)解析：19.设 求 （分数：10.00）_正确答案：(如图，将 D 分成三块，中间一块记为 D3左、右两块分别记为 D1与 D2*而*所以*)解析：20.设 n 维向量组 1， 2， s-1线性无关，且 s= 1+2 2+3 3+(s-1) s-1()证明：线性齐次方程组 1x1+ 2x2+ i-1xi-1+ i
18、+1xi+1+ sxs=0 (*)只有零解i=1，2，s()求线性非齐次方程组 1x1+ 2x2+ sxs= 1+2 2+s s (*)的通解（分数：11.00）_正确答案：(方法一齐次线性方程组 1x1+ 2x2+ i-1xi-1+ i+1xi+1+ sxs=0 只有零解*r( 1， 2， i-1， i+1， s)=s-1(未知量个数)* 1， 2， i-1， i+1， s线性无关设有数是 k，k 2，k i-1，k i+1，k s，使得k1 1+k2 2+ki-1 i-1+ki+1 i+1+ks s=0 (1)将题设条件 2= 1+2 2+(s-1) s-1代入(1)，得k1 1+k2 2
19、+ki-1 i-1+ks-1 s-1ks( 1+2 2+(s-1) s-1=0即 (k 1+ks) 1+(k2+2ks) 2+ki-1+(i-1)ks i-1+iks i+Lki+1+(i+1)ks i+1+ks-1+(s-1)ks s-1=0 (2)由题设， 1+ 2， s-1线性无关，*因 i0，由 iks=0，得 ks=0，从而有 k1=k2=ki-1=ki+1=ks-1=0得证： 1， 2， i-1+ i+1， s线性无关，方程组(1)只有零解方法二：*因 1， 2， s-1线性无关，r( 1， 2， s-1)=s-1，|C|=i(-1) i+s-1O，故r( 1， 2， i-1， i
20、+1， s)=s-1， 1， 2， i-1， i+l， s，线性无关，故方程组(1)只有零解方法三：证：由向量() 1， i-1， i+1， s和 1， 2， s()可以相互表示，得()线性无关，方程组()只有零解。()方程组(2)的系数矩阵的秩为r( 1， 2， s)=s-1故其通解的结构形式为 k+，其中对应齐次方程组的基础解系为 =1，2，s-1，-1 T，非齐次的一个特解为=1，2，s T，故方程组(2)的通解为k1，2，s-1，-1 T+1，2，s T)解析：21.设线性齐次方程组(2E-A)X=0 有通解 =k 1=k-1，1，1 T，其中 k 是任意常数，A 是二次型f(x1，x
21、 2，x 3)=XTAX 的对应矩阵且 r(A) =1()问 1=1，1，0 T， 2=1，-1，0 T是否是方程组 AX=0 的解向量，说明理由()求二次型 f(x1，x 2x 3)（分数：11.00）_正确答案：(A 是二次型的对应矩阵，故 AT=A，由(2E-A)X=0 有通解 =k 1=k-1，1，1 T，知 A 有特征值=2，且 A 的对应于 =2 的特征向量为 1=-1，1，1 Tr(A)=1，故知 =0 是 A 的二重特征值AX=0 的非零解向量即是 A 的对应于 =0 的特征向量，其应与对应于 =2 的特征向量 1正交，因*故 1是 AX=0 的解向量，即是 A 的对应于 =0
22、 的特征向量且*故 2不是 AX=0 的解向量()求二次型即求其对应矩阵方法一 求对应 =0 的线性无关特征向量设为 =x 1，x 2，x 3T，*方法二 求对应于 =0 的正交的特征向量，设为 =x 1，x 2，x 3T，由*，解得 2=1，1，0 T， 3=1，-1，2 T，并将 1， 2， 3单位化后合并成正交阵有*则有*方法三 直接由题设条件求 A*由-a+b+c=-3a=-2，得 a=*，故*对应的二次型为*)解析：22.设有两箱同类零件，第一箱内装 5 件，其中 1 件是一等品，第二箱内装 5 件，其中 2 件是一等品，现在从两箱中随机挑一箱，然后从该箱中先后不放回地随机取出 2
23、件零件求：()先取出的零件是一等品的概率；()在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍为一等品的概率（分数：11.00）_正确答案：(设 Hi=被挑出的是第 i 箱，i=1，2；H 1，H 2为完全事件组A=任取一箱从中任取一件是一等品；B=在先取得一件是一等品的条件下，再在同一箱中取得第二件是一等品()由全概率公式：*()由全概率公式：P(B)=P(H 1)P(B|H1)+P(H2)P(B|H2)P(B|H 1)=0因第一箱只有 1 件一等品，故先取得一件一等品条件下，就不可能再取第二件一等品*，因第二箱有 2 件一等品，在先得一件一等品条件下，第二箱中还有 4 件零件其中 1 件
24、是一等品故 *)解析：分析 ()是典型的全概率公式应用题()容易被看成是一个贝叶斯公式应用题但因为有条件：两个零件均取自同一个箱中，所以仍应使用全概率公式注 如果对()盲接用贝叶斯公式：设 C=第二件是一等品*这种解法的错误在于没考虑两个零件均来自同一箱23.设总体 XU(，+1)，X 1，X 2，X n是来自总体 x 的样本，试求：()参数 的矩估计量；()参数 的最大似然估计量（分数：11.00）_正确答案：(*()最大似然估计似然函数*要使 L()最大，其中 1 是常数，就最大了，只要 X 1，X n+1，所以 min(X 1，X n)，同时 max(X1，X n)+1取 的最大似然估计 *也就是说区间*中任一点都是最大似然估计)解析：分析 总体 X 的概率密度为*其中只有一个参数 要估计就用矩估汁*最大似然估计量，先要找出似然函数 L()
