1、考研数学三-244 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0，f(0)=0，f“(x)0，并且在曲线 y=f(x)上任意一点(x，f(x)(x0)作此曲线的切线，此切线在 x 轴上的截距为 ，则 _ A B1 C （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x)在0，1上连续，f(1)0， （分数：4.00）A.B.C.D.3.下列反常积分发散的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 y=y(x)是微分方程 满足初值 y(1)=0 的特解，则 _ A B C D
2、 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设向量组 1， 2， m和向量组 1， 2， t的秩相同，则正确结论的个数是_两向量组等价两向量组不等价若 t=m，则两向量组等价若两向量组等价，则 t=m若 1， 2， m可由 1， 2， t线性表示，则两向量组等价若 1， 2， t可由 1， 2， m线性表示，则两向量组等价 A.5 B.4 C.3 D.2（分数：4.00）A.B.C.D.6. 1， 2， 3是四元非齐次线性方程组 Ax=b 的三个解向量，且 r(A)=3， 1=(1，2，3，4)T， 2+ 3=(0，1，2，3) Tc 表示任意常数，则线性方程组 Ax=b 的通解 x=_A B C
3、 D （分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X 和 Y 独立同分布，记 U=X-Y，V=X+Y，则随机变量 U 与 V 必然_ A.不独立 B.独立 C.相关系数不为零 D.相关系数为零（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 X1，X 2，X 3，X 4为来自总体 N(0， 2)(0)的简单随机样本，则统计量 （分数：4.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）填空项 1:_10.=_ （分数：4.00）填空项 1:_11.设函数 z=f(x，y)(xy0)满足 （分数：4.00）填空项 1:_12.设 f()为连续函数，且
4、 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 A 为 3 阶方阵，如果 A-1的特征值是 1，2，3，则|A|的代数余子式 A11+A22+A33=_（分数：4.00）填空项 1:_14.设 A 和 B 独立，P(A)=0.5，P(B)=0.6，则 （分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_16.就常数 a 的不同取值情况，讨论方程 xe-x=a(a0)的实根（分数：10.00）_17.设求 （分数：10.00）_18.讨论函数 （分数：10.00）_19.设有级数 （分数：10.00）_20.设齐次线性方程组 Ax=0
5、的基础解系为 1=(1，3，0，2) T， 2=(1，2，-1，3) TBx=0 的基础解系为 1=(1，1，2，1) T， 2=(0，-3，1，a) T若 Ax=0 和 Bx=0 有非零公共解，求 a 的值并求公共解（分数：11.00）_21.已知矩阵 （分数：11.00）_22.设随机变量 X 和 Y 的联合分布在以点(0，1)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求随机变量 U=X+Y 的方差（分数：11.00）_23.设 X 和 Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为其中 0，0 是常数，引入随机变量 （分数：11.00）_考研数学三-244 答案解析(总分：
6、150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0，f(0)=0，f“(x)0，并且在曲线 y=f(x)上任意一点(x，f(x)(x0)作此曲线的切线，此切线在 x 轴上的截距为 ，则 _ A B1 C （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 未定式极限与导数的几何意义解析 根据导数的几何意义求切线方程，求出截距，再求未完成极限解：经过曲线上点(x，f(x)的切线斜率为 y=f(x)，切线方程为 Y=f(x)+f(x)(X-x)，其中(X，Y)为切线上的动点由于 f“(x)0 且连续，则 f“(0)0，不妨
7、设 f“(0)0，则存在 0 的邻域 U (0)，当 xU (0)时，f“(x)0，即 f(x)单调递增，又 f(0)=0，则当*时，f(0)0在切线方程 Y=f(x)+f(x)(X-x)中令 Y=0，得 x 轴上的截距*于是*由洛必达法则*所以*故应选 D2.设 f(x)在0，1上连续，f(1)0， （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 罗尔中值定理的应用 解析 构造辅助函数，利用罗尔中值定理即可得结论 解：易见，(0)=0不选 A 令*则 F(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且*并且 F(0)-F(1)=0，由罗尔中值定理知，存在 (0，1)，使得 F()=0，即*可见，
8、x=(0，1)是 (x)的零点 故应选 C3.下列反常积分发散的是_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 反常积分的敛散性 解析 可通过排除法排除错误选项 解：选项 A：* 选项 C：* 选项 D：* 以上都收敛，故应选 B 事实上，* 而*，故*发散 故应选 B4.设 y=y(x)是微分方程 满足初值 y(1)=0 的特解，则 _ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 定积分的计算与一阶微分方程解析 通过解一阶微分方程得到函数，再求定积分解：本题中的方程是齐次微分方程，令*=，则 y=x，故可得 dy=xd+dx，代入原方程化简得*，分离
9、变量得*，两边同时积分得*，即*，则原方程的通解为*由 y(1)=0 得 C=1故特解为*，整理化简得 y(x)=*(x2-1)所以，*故应选 B5.设向量组 1， 2， m和向量组 1， 2， t的秩相同，则正确结论的个数是_两向量组等价两向量组不等价若 t=m，则两向量组等价若两向量组等价，则 t=m若 1， 2， m可由 1， 2， t线性表示，则两向量组等价若 1， 2， t可由 1， 2， m线性表示，则两向量组等价 A.5 B.4 C.3 D.2（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 向量组的等价 解析 利用向量组等价的定义和常用结论 解：若两个两向量组等价，则秩相同，但反
10、之，未必成立 反例：向量组()只含一个向量*， 向量组()只含一个向量* 则显然()和()的秩均为 1，但不等价若在秩相同的条件下，一个向量组可由另一个线性表示，则两个向量组等价，故、正确 故应选 D6. 1， 2， 3是四元非齐次线性方程组 Ax=b 的三个解向量，且 r(A)=3， 1=(1，2，3，4)T， 2+ 3=(0，1，2，3) Tc 表示任意常数，则线性方程组 Ax=b 的通解 x=_A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 非齐次线性方程组解的结构解析 根据非齐次线性方程组解的结构，依次求出其导出组的基础解系和自身的一个特解即可解：根据线性方程组解的性质
11、，可知 2 1-( 2+ 3)=( 1- 2)+( 1- 3)是非齐次线性方程组 Ax=b 导出组 Ax=0 的一个解因为 r(A)=3，所以 Ax=0 的基础解系含 4-3=1 个解向量，而 2 1-( 2+ 3)=(2，3，4，5) T0，故是 Ax=0 的一个基础解系因此 Ax=b 的通解为 1+k(2 1- 2- 3)=(1，2，3，4)T+k(2，3，4，5) T，kR即 C 正确对于其他几个选项，A 中(1，1，1，1) T= 1-( 2+ 3)，B 中(0，1，2，3) T= 2+ 3，D 中(3，4，5，6) T=3 1-2( 2+ 3)，都不是 Ax=b 的导出组的解所以 A
12、、B、D 均不正确故应选 C本题常见错误是未能准确求出 Ax=0 的基础解系，主要原因是错将 2+ 3当作 Ax=b 的解，从而导致错误7.设随机变量 X 和 Y 独立同分布，记 U=X-Y，V=X+Y，则随机变量 U 与 V 必然_ A.不独立 B.独立 C.相关系数不为零 D.相关系数为零（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 考查不相关解析 利用协方差与相关系数的公式得出结论解：Cov(U，V)=Cov(X-Y，X+Y)=Cov(X，X)+Cov(X，Y)-Cov(Y，X)-Cov(Y，Y)=D(X)-D(Y)=0所以 XY =0故应选 D8.设 X1，X 2，X 3，X 4为来
13、自总体 N(0， 2)(0)的简单随机样本，则统计量 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 考查抽样分布判断解析 利用 t 分布定义得到结论解：因为 X1N(0， 2)，所以 X1-X2N(0，2 2)，即*而*，由 t 分布定义可知：*故应选 B二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 分段函数的复合 解析 根据分段函数的复合运算即可得结果 解：由 f(x)的表达式，有 * 故应填*10.=_ （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 未定式的极限解析 首先将“1 ”型未定式指数化，再求
14、指数上的极限即可得解：根据 sinx 的周期性知*从而*而*所以*故应填*11.设函数 z=f(x，y)(xy0)满足 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(2x-y)dx-xdy）解析：考点 多元函数的全微分解析 先求函数 f(x，y)表达式，再求其全微分解：令 xy=，*，则*，y 2=v，于是有*所以，f(x，y)=x 2-xy故 dz=(2x-y)dx-xdy故应填(2x-y)dx-xdy12.设 f()为连续函数，且 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 变限积分方程与定积分 解析 利用换元积分法化简变限积分方程，两端对 z 求导即得积分结果 解：令
15、 2x-t=，则* 原方程化为* 两边对 x 求导得* 令 x=1，得*，而 f(1)=1，所以* 故应填*13.设 A 为 3 阶方阵，如果 A-1的特征值是 1，2，3，则|A|的代数余子式 A11+A22+A33=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：考点 代数余子式，属难点题型解析 注意到 A11+A22+A33恰为伴随矩阵 A*的主对角线元素之和，即 A*的迹，再由结论：方阵的迹等于特征值的和，只需求出 A*的特征值即可解：因为 A-1的特征值为 1，2，3，所以|A -1|=123=6，从而*又因为*，所以*故 A*的特征值为*所以*故应填 1本题常见错误有二一
16、是没能应用结论：方阵的迹等于特征值之和，从而不能找到正确的解题思路；二是有关伴随矩阵的定义和公式不够熟练，导致错误14.设 A 和 B 独立，P(A)=0.5，P(B)=0.6，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 考查随机事件的概率 解析 利用条件概率公式、概率基本性质以及事件的独立性计算结果 解：* 故应填*三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_正确答案：(解法一：* 又因为*，则 cos(sinx)-cosx=* 所以，* 解法二：*)解析：考点 未定式的极限解析 本题可以利用洛必达法则计算，但计算过于烦琐，不容易
17、求出答案且易出错，因此，应该想到利用泰勒展开的方法求极限在解法一中，当 x0 时，需用到无穷小的运算法则：ko(x n)=0(xn)；x no(xm)=o(n+m)；o(x n)o(xn)=o(xn)有些同学在展开式整理中常出现问题在解法二中，若在第二个等号后继续用洛必达法则，则运算过于烦琐，有些同学往往出现符号错误或求导不彻底的错误16.就常数 a 的不同取值情况，讨论方程 xe-x=a(a0)的实根（分数：10.00）_正确答案：(解：令 f(x)=xe-x-a，则 f(x)=(1-x)e-x，f“(x)=(x-2)e -x令 f(x)=0，得驻点 x=1由于当 x(-，1)时，f(x)0
18、，f(x)在(-，1)单调增加，当 x(1，+)时，f(x)0，f(x)在(1，+)内单调减少，所以 f(x)在 x=1 处取得极大值，即最大值为 f(1)=e-1-a则当 e-1-a0 时，即*时，f(x)f(1)0，方程 xe-x=a 无实根当 e-1-a=0，即*时，只有 f(1)=0，而当 x1 时，f(x)f(1)=0，方程 xe-x=a 只有一个实根 x=1当 e-1-a0，即*时，由于*(xe -x-a)=-，f(1)=e -1-a0，f(x)在(-，1)内单调增加，则 f(x)=0在(-，1)内只有一个实根又因*(xe -x-a)=-a0，f(1)=e -1-a0，f(x)在(
19、1，+)内单调递减，则 f(x)=0 在(1，+)内只有一个实根所以方程 xe-x=a 正好有两个实根)解析：考点 方程的根与导数的应用 解析 先确定函数的极值(或最值)，然后利用函数的几何性态讨论确定方程根的个数情况17.设求 （分数：10.00）_正确答案：(解：设 D1=(x，y)|1x 2+y22y 且 x0，如下图所示，则*当 x0 时，由*令 x=rcos，y=rsin 引入极坐标系(r，)，则点 M 的极坐标为*，从而，在极坐标系下*故*)解析：考点 二重积分 解析 首先画出 D 的示意图，根据 D 的形态并结合 f(x，y)的表达式选择坐标系，进而化为二次积分，即可求得结果18
20、.讨论函数 （分数：10.00）_正确答案：(解：()当(x，y)(0，0)时，|f(x，y)|x 2+y2，故*f(x，y)=0=f(0，0)，所以函数在(0，0)处连续()在(0，0)处，*即 f(x，y)在(0，0)处关于 x 的偏导数存在，且*(0，0)=0同理，*(0，0)也存在，且*(0，0)=0()由(2)知，*(0，0)=*(0，0)=0，函数在(0，0)处的全增量：*其中*故*因为*，所以*故函数 f(x，y)在(0，0)处可微，且*()当(x，y)(0，0)时*由于*而*(只要取 y=x 即可说明，上述两极限均为*不存在)故*均不存在所以*在(0，0)处都不连续)解析：考点
21、 多元函数的连续、偏导数、可微的定义 解析 按照题目要求，逐个根据定义判定即可19.设有级数 （分数：10.00）_正确答案：(解：()对于任意 x，有*所以收敛域为(-，+)()应用幂级数和函数的性质证明：*则*于是有*即 y(x)满足微分方程 y“-y=-1()y“-y=0 的特征方程 r2-1=0 的特征根为 r=1，于是对应齐次方程的通解为 Y=C1ex+C2e-x，又特解为y*=1，故 y“-y=-1 的通解为 y=C1ex+C2e-x+1又幂级数的和函数 y(x)满足 y“(x)-y(x)=-1，且 y(0)=2，y(0)=0，则 y(x)即为微分方程 y“-y=-1 满足初值条件
22、 y|x=0=2，y| x=0=0 的特解，即*所以和函数*)解析：考点 幂级数的收敛域及和函数、二阶线性微分方程 解析 先求收敛域，进而利用幂级数的性质推导出微分方程，最后通过微分方程求解求得和函数20.设齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系为 1=(1，3，0，2) T， 2=(1，2，-1，3) TBx=0 的基础解系为 1=(1，1，2，1) T， 2=(0，-3，1，a) T若 Ax=0 和 Bx=0 有非零公共解，求 a 的值并求公共解（分数：11.00）_正确答案：(解：设非零公共解为 ，则 既可由 1和 2线性表示，也可由 1和 2线性表示设 =x 1 1+x2 2=-x3 1
23、-x4 2，则 x1 1+x2 2+x3 3+x4 2=0*0*x 1，x 2，x 3，x 4不全为零*r( 1， 2， 1， 2)4*a=0当 a=0 时，*解得*则 x1=2t，x 2=-t，x 3=-t，x 4=t所以非零公共解为 2t 1-t 2=t(1，4，1，1) T，其中 t 为非零常数)解析：考点 方程组的公共解 解析 设出公共解，进而转化为线性方程组的解 本题主要错误在于没出公共解，却未能转化为齐次线性方程组的求解21.已知矩阵 （分数：11.00）_正确答案：(解：因为 A，B 相似，所以|A|=|B|，且 tr(A)=tr(B)，*故 A 的两个特征值为：-1，-1*因此
24、 r(-E-A)=1，所以不能对角化设*，满足 P-1AP=B，即有 AP=PB，从而*整理得*解得*所以可令*则有 P-1AP=B)解析：考点 求可逆矩阵 P，使 P-1AP=B解析 经验证，A 不能相似对角化，故使用待定系数法求 P本题最常见错误即认为 P-1AP 就是将 A 相似对角化事实上，由|E-A|=0，解得 =-1，是 A 的二重特征值，但*，故 A 只有一个线性无关的特征向量，即 A 不能相似对角化22.设随机变量 X 和 Y 的联合分布在以点(0，1)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求随机变量 U=X+Y 的方差（分数：11.00）_正确答案：(解
25、法一：三角形区域 G=(x，y)|0x1，0y1，x+y1；因为区域 G 的面积 S=*，故随机变量 X 和 Y 的联合密度为*以 f1(x)表示 X 的概率密度，则当 x0 或 x1 时，f 1(x)=0；当 0x1 时，*因此，*同理，可得*现在求 X 和 Y 的协方差*于是*解法二：三角形区域为 G=(x，y)|0x1，0y1，x+y1；随机变量 X 和 Y 的联合密度为*以 f(u)表示 U=X+Y 的概率密度，当 u1 或 u2 时，显然 f(u)=0设 1u2，当 0x1 且 0u-x1 时，f(x，u-x)=2，否则 f(x，u-x)=0由随机变量之和的概率密度公式，有*因此*)解析：考点 考查连续型随机变量的方差 解析 先确定(X，Y)的概率密度，再求 D(X+Y)23.设 X 和 Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为其中 0，0 是常数，引入随机变量 （分数：11.00）_正确答案：(解：()由 X 和 Y 相互独立，故 f(x，y)=f X(x)fY(y)当 y0 时，*()由于*且*故 Z 的分布律为 Z 0 1P * *Z 的分布函数为*)解析：考点 考查随机变量的独立性、条件密度等解析 利用变量的独立性及条件密度公式求 fX|Y(x|y)；确定 Z 与(X，Y)的关系并求出 Z 的分布律
