1、考研数学三-243 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在 x=1的某邻域内连续，且 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设在区间a，b上，f(x)0，f(x)0，f“(x)0，令 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设函数 z=z(x，y)由方程 确定，其中 F为可微函数，且 Fz0，则 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 D是由直线 x=-1，y=1 与曲线 y=x3所围成的平面区域，D 1是 D在第一象限的部分，则I= =_A BC （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 1， 2， 3， 4是
2、四维非零列向量，A=( 1， 2， 3， 4)，A *为 A的伴随矩阵，又知方程组Ax=0的基础解系为(1，0，2，0) T，则方程组 A*x=0基础解系为_ A. 1， 2， 3 B. 1+ 2， 2+ 3， 3+ 1 C. 2， 3， 4或 1， 2， 4 D. 1+ 2， 2+ 3， 3+ 4， 4+ 1（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 A，B 为 n阶矩阵，下列命题成立的是_ A.A与 B均不可逆的充要条件是 AB不可逆 B.r(A)n 与 r(B)n 均成立的充要条件是 r(AB)n C.Ax=0与 Bx=0同解的充要条件是 A与 B等价 D.A与 B相似的充要条件是 E-A
3、与 E-B相似（分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 XN(，4 2)，Y=N(，5 2)，记 p1=PX-4，p 2=PY+5，则_ A.对任意实数 ，有 p1=p2 B.对任意实数 ，有 p1p 2 C.对任意实数 ，有 p1p 2 D.对 的个别值，有 p1=p2（分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X的概率密度为 Y表示对 X的 3次独立重复观测中事件 发生的次数，则 PY2=_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.=_ （分数：4.00）填空项 1:_10.设 （分数：4.00）填空项 1:_11
4、.函数 （分数：4.00）填空项 1:_12.设某商品需求量 Q是价格 P的单减函数 Q=Q(P)，其需求弹性 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 n阶方阵 A与 B相似，A 2=2E，则|AB+A-B-E|=_（分数：4.00）填空项 1:_14.设 X1，X 2，X 5是取自正态总体 N(0， 2)的一个简单随机样本，若 （分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.已知 ，且 f(0)=g(0)=0，试求 （分数：10.00）_16.计算不定积分 （分数：10.00）_17.设 f(x)在0，1连续，在(0，1)可导，f(0)=0，0f(x)
5、1，x(0，1) 证明： （分数：10.00）_18.设 二阶连续可导，又因为 ，且 （分数：10.00）_19.求幂级数 （分数：10.00）_20.设 1， 2， 3， 4， 为 4维列向量，A=( 1， 2， 3， 4)，若 Ax= 的通解为(-1，1，0，2)T+k(1，-1，2，0) T，则() 能否由 1， 2， 3线性表示?为什么?()求 1， 2， 3， 4， 的一个极大无关组（分数：11.00）_21.设二次型 （分数：11.00）_22.设箱中有 5件产品，其中 3件是优质品从该箱中任取 2件，以 X表示所取的 2件产品中的优质品件数，Y 表示箱中 3件剩余产品中的优质品件
6、数 ()求(X，Y)的概率分布； ()求 Cov(X，Y)（分数：11.00）_23.设某商品一周的需求量是 X，其概率密度为 （分数：11.00）_考研数学三-243 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在 x=1的某邻域内连续，且 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 导数、驻点、极值的定义与未定式的极限解析 先利用等价无穷小代换及四则运算简化未定式极限，再利用导数、驻点及极值的定义判定得结果解：因为 f(x)在 x=1连续，所以*，由*知*，即 f(1)=0则当 x0，lnf(x+1)+1+3sin
7、 2xf(x+1)+3sin 2x，推得*于是*所以 x=0是 f(x)的驻点又由*，以及极限的保号性知当*时，*，即 f(x)0，也就是 f(x)f(1)所以 f(1)是极大值x=1 是极大值点故应选 C2.设在区间a，b上，f(x)0，f(x)0，f“(x)0，令 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 定积分的不等式性质及几何意义，曲线单调性及凹凸性的判定解析 首先判定函数的单调性及凹凸性，然后用定积分的不等式性质或几何意义即得结果解法一：由 f(x)0，f“(x)0 知曲线 y=f(x)在a，b上单调减少且是凹的，于是有*于是*而*所以，S 2S 1S 3故应选 B解法二：利用
8、定积分的几何意义因曲线 y=f(x)在a，b单调减少且是凹的，如下图所示，由定积分的几何意义知*曲线梯形 ABCD的面积，S2=f(b)(b-a)=矩形 ABCE的面积，S3=*f(a)+f(b)(b-a)=直边梯形 ABCD的面积，又因矩形 ABCE*曲边梯形 ABCD*直边梯形 ABCD，所以 S2S 1S 3故应选 B3.设函数 z=z(x，y)由方程 确定，其中 F为可微函数，且 Fz0，则 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 隐函数的偏导数 解析 利用隐函数求偏导数的方法即可求得 解：方程*两边关于x求偏导数，注意 z是 x，y 的函数，得* 解得*方程*两边关于 y求偏
9、导数，得* 解得*于是，* 故应选 C4.设 D是由直线 x=-1，y=1 与曲线 y=x3所围成的平面区域，D 1是 D在第一象限的部分，则I= =_A BC （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 二重积分的对称性质解析 根据二重积分的可加性和对称性结论可得解：积分区域 D如下图所示，被分割成 D1，D 2，D 3，D 4四个小区域，其中 D1，D 2关于 y轴对称，D 3，D 4关于 x轴对称，从而*由于 xy关于 x或 y都是奇函数，则*而 ex2siny关于 x是偶函数，关于 y是奇函数，则*所以*故应选 B5.设 1， 2， 3， 4是四维非零列向量，A=( 1， 2， 3
10、， 4)，A *为 A的伴随矩阵，又知方程组Ax=0的基础解系为(1，0，2，0) T，则方程组 A*x=0基础解系为_ A. 1， 2， 3 B. 1+ 2， 2+ 3， 3+ 1 C. 2， 3， 4或 1， 2， 4 D. 1+ 2， 2+ 3， 3+ 4， 4+ 1（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 方程组的基础解系理论解析 首先确定 A秩，进而确定 A*的秩；利用 A与 A*的关系及已知条件即可判别解：由 Ax=0的基础解系仅含有一个解向量知，r(A)=3，从而 r(A*)=1，于是方程组 A*x=0的基础解系中含有 3个解向量又 A*A=A*( 1， 2， 3， 4)=
11、|A|E=0，所以向量 1， 2， 3， 4是方程组 A*x=0的解因为(1，0，2，0) T是 Ax=0的解，故有 1+2 3=0，即 1， 3线性相关从而，向量组 1， 2， 3与向量组 1， 2， 3， 4均线性相关，故排除 A、B、D 选项事实上，由 1+2 3=0，得 1=0x2-2 3+0 4，即 1可由 2， 3， 4线性表示，又r( 1， 2， 3， 4)=3，所以 2， 3， 4线性无关，即 2， 3， 4为 A*x=0的一个基础解系故应选 C6.设 A，B 为 n阶矩阵，下列命题成立的是_ A.A与 B均不可逆的充要条件是 AB不可逆 B.r(A)n 与 r(B)n 均成立
12、的充要条件是 r(AB)n C.Ax=0与 Bx=0同解的充要条件是 A与 B等价 D.A与 B相似的充要条件是 E-A与 E-B相似（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 矩阵可逆、同解、相似矩阵的基本结论 解析 通过举反例排除 A、B、C 解：A 与 B类似，故均错误，而 C仅是必要而非充分条件，故应选 D 事实上，若 AB，则由相似矩阵的性质知 E-AE-B； 反之，若 E-AE-B，则 E-(E-A)E-(E-B)，即 AB 对于选项 A，若 A与 B均不可逆，则|A|=|B|=0，从而|AB|=|A|B|=0，即 AB不可逆，但若 AB不可逆，推出 A与 B均不可逆，如 A=
13、E，B=*，则 AB=B不可逆，但 A可逆 对于选项 B，与选项 A相近，由于 r(AB)minr(A)，r(B)，故若 r(A)n与 r(B)n 均成立，则 r(AB)n但反之，若 r(AB)n，推不出 r(A)n 或 r(B)n，如 A=E，B=*，则 r(AB)=r(B)=12，但 r(A)=2 对于选项 C，由同型矩阵 A与 B等价*r(A)=r(B)可知，若 Ax=0与Bx=0同解，则 A与 B等价；但反之不然，如 A=*，B=*，则 A，B 等价，但 Ax=0与 Bx=0显然不同解 故应选 D7.设随机变量 XN(，4 2)，Y=N(，5 2)，记 p1=PX-4，p 2=PY+5
14、，则_ A.对任意实数 ，有 p1=p2 B.对任意实数 ，有 p1p 2 C.对任意实数 ，有 p1p 2 D.对 的个别值，有 p1=p2（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 考查正态分布解析 化标准正态分布进行计算解：由于*，所以*故 p1=p2，而且与 的取值无关故应选 A8.设随机变量 X的概率密度为 Y表示对 X的 3次独立重复观测中事件 发生的次数，则 PY2=_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 考查伯努利概型与二项分布 解析 利用 f(x)求*，然后利用二项分布求 PY2) 解：*故 PY2=1-PY=3=1-* 故应选 C二、B填空题
15、/B(总题数：6，分数：24.00)9.=_ （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 未定式的极限 解析 首先将“0”型未定式恒等变形指数化即化为以 e为底的指数函数，再对指数上面的未定式“-”型求极限即可 解：* 而* 所以，* 故应填*10.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 分段函数的连续 解析 根据分段函数在分段点的连续性即可求得 a，b 解：因为 f(x)为分段函数，且为连续函数，则 f(x)在分段点 x=0，x=1 均连续，即* 而* 则* * f(1)=a+b，则a+b=1解得* 故应填*11.函数 （分数：4.00）填空项 1
16、:_ （正确答案：*）解析：考点 函数的幂级数展开 解析 将函数表达式分解为常用函数的代数形式，利用常用函数的幂级数展开即可 解：* 其中-1x1 且-1*1，解得收敛域为-1x1 故应填*12.设某商品需求量 Q是价格 P的单减函数 Q=Q(P)，其需求弹性 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 弹性函数 解析 先求出收益函数表达式，再根据弹性函数定义求收益的弹性函数 解：R=PQ=PQ(P)，则 R(P)=Q(P)+PQ(P)，由题意知，需求弹性*，则收益对价格 P的弹性函数为 *13.设 n阶方阵 A与 B相似，A 2=2E，则|AB+A-B-E|=_（分数：4.
17、00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：考点 抽象行列式的计算解析 将所求矩阵进行整理，再利用条件求解解：AB+A-B-E=(A-E)B+A-E=(A-E)(B+E)又 A2=2E，得(A-E)(A+E)=E再由 A，B 相似，得 A+E和 B+E相似，从而|A+E|=|B+E|于是|AB+A-B-E|=|A-E|B+E|=|A-E|A+E|=|E|=1故应填 114.设 X1，X 2，X 5是取自正态总体 N(0， 2)的一个简单随机样本，若 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 考查抽样分布解析 利用 2分布与 t分布的定义得出结论解：因为*相互独立，由 t分布
18、定义，有*三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.已知 ，且 f(0)=g(0)=0，试求 （分数：10.00）_正确答案：(解：由*知，*又 f(0)=0，代入 f(x)表达式得 C=0，故*由*，则*又 g(0)=0得 C1=0，知 g(x)=ln(1+x)于是*因为*故当 x0 时，*，所以，*)解析：考点 “-”型未定式的极限与不定积分 解析 首先利用不定积分确定函数 f(x)与 g(x)，然后求未定式的极限即可 若没有注意到 x0 时，*x，并用等价无穷小 x代替*时，而继续用洛必达法则，则问题将变得非常烦琐，导致不能给出正确结果16.计算不定积分 （分数：10.00）
19、_正确答案：(解法一：设 x=tant，则* 又* 移项得* 因此，* 解法二：* 移项整理得*)解析：考点 不定积分的计算 解析 利用不定积分的换元积分法和分部积分法计算即可17.设 f(x)在0，1连续，在(0，1)可导，f(0)=0，0f(x)1，x(0，1) 证明： （分数：10.00）_正确答案：(证：令*易知 F(0)=0，且 F(x)在0，1可导，则* 记*，则 g(x)在(0，1)可导，即g(x)=2f(x)=2f(x)f(x)=2f(x)1-f(x)， 由于 0f(x)解析：考点 积分不等式证明 解析 构造辅助函数*，根据单调性理论证明 F(x)0，x(0，1即可 有些同学没
20、有想到构造变上限积分作辅助函数，只是一心想着用定积分的计算方法和不等式性质去证明，可能就陷于困局，证不出结论18.设 二阶连续可导，又因为 ，且 （分数：10.00）_正确答案：(解：由*，f 二阶连续可导，知*而*由对称性知*则*令*于是*即*，C 1，C 2为常数由 f(1)=0，f(1)=2，知*故*)解析：考点 二阶微分方程与偏导数计算及导数定义 解析 首先通过计算偏导数确定二阶微分方程，根据极限及导数定义确定初始条件，最后化为二阶微分方程求特解即得结果19.求幂级数 （分数：10.00）_正确答案：(解：*，收敛半径* 当 x=-1时，原级数为*收敛，当 x=1时，原级数为*收敛，故
21、幂级数的收敛域为-1，1 令*，则 * 于是* 则* 当 x0 时，*，所以 * 当 x=0时，S(0)=0， 当 x=1时，原级数为*(用收敛的定义)， 当 x=-1时，原级数为* 故*的和函数为 *)解析：考点 幂级数的收敛域与和函数 解析 利用公式求收敛半径，确定收敛域，利用幂级数的分析性质求和函数 常见错误有以下情形： 部分同学分不清“收敛域”和“收敛区间”，没有讨论端点的敛散性 使用幂级数的性质(逐项积分、逐项求导)时，计算不仔细，会导致结果有误20.设 1， 2， 3， 4， 为 4维列向量，A=( 1， 2， 3， 4)，若 Ax= 的通解为(-1，1，0，2)T+k(1，-1，
22、2，0) T，则() 能否由 1， 2， 3线性表示?为什么?()求 1， 2， 3， 4， 的一个极大无关组（分数：11.00）_正确答案：(解：()假设可以，即 =k 1 1+k2 2+k3 3，则(k 1，k 2，k 3，0) T是 Ax= 的解从而(k 1，k 2，k 3，0) T-(-1，1，0，2) T=(k1+1，k 2-1，k 3，-2) T就是 Ax=0的解但是显然(k 1+1，k 2-1，k 3，-2) T和(1，-1，2，0) T线性无关所以 不可以由 1， 2， 3线性表示()因为(-1，1，0，2) T是 Ax= 的解，则 =- 1+ 2+2 4又因为(1，-1，2，
23、0) T是 Ax=0的解，则 1- 2+ 3=0所以， 和 3都可由 1， 2， 4线性表示又由 r( 1， 2， 3， 4，)=r( 1， 2， 3， 4)=3，所以， 1， 2， 4是极大无关组)解析：考点 方程组的解与向量组的线性关系之间的联系 解析 ()利用反证法； ()由条件所给方程组的解，来确定向量之间的线性关系21.设二次型 （分数：11.00）_正确答案：(解：()二次型的矩阵为*，则二次型的正负惯性指数都是 1，可知，r(A)=2，*所以 a=-2，或 a-1，又 a=1时，显然 r(A)=1，故只取 a=-2()此时|E-A|=(+3)(-3)，所以 A的特征值是 3，-3
24、，0当 1=3时，解方程组(3E-A)x=0，得基础解系为 1=(1，0，1) T；当 2=-3时，解方程组(-3E-A)x=0，得基础解系为 2=(1，-2，-1) T；当 3=0时，解方程组(0E-A)x=0，得基础解系为 3=(1，1，-1) T将 1， 2， 3单位化得*故有正交阵*)解析：考点 二次型的标准形 解析 先根据惯性指数求得 a，再求特征值及单位化的特征向量，将二次型标准化，最后借助标准形求得 f的最值22.设箱中有 5件产品，其中 3件是优质品从该箱中任取 2件，以 X表示所取的 2件产品中的优质品件数，Y 表示箱中 3件剩余产品中的优质品件数 ()求(X，Y)的概率分布
25、； ()求 Cov(X，Y)（分数：11.00）_正确答案：(解：()因为 X的所有可能的取值为 0，1，2，Y 的所有可能的取值为 3，2，1，且 X+Y=3，所以，PX=0，Y=3=PX=0*PX=1，Y=2=PX-1*PX=2，Y=1=PX-2*PX=0，Y=1=PX=0，Y=2=PX=1，Y=1=0，PX=0，Y=3=PX=2，Y=2=PX=2，Y=3=0由此得(X，Y)的概率分布为*()因为 Y=3-X，所以 Cov(X，Y)=Cov(X，3-X)=-Cov(X，X)=-D(X)易知 X的概率分布为 X0 1 2P* * *故*所以*)解析：考点 考查离散型随机变量的概率分布 解析 利用古典概率求出(x，y)的概率分布，然后用公式或性质求 Cov(x，y)23.设某商品一周的需求量是 X，其概率密度为 （分数：11.00）_正确答案：(解：设 Xi表示第 i周的需求量，i=1，2，3，则 X1，X 2，X 3独立同分布()令 U2=X1+X2，*令 U3=X1+X2+X3，*()因为 Y=maxX1，X 2，X 2，所以 FY(y)=F(y)3，其中*故*)解析：考点 考查多维随机变量函数的分布 解析 利用公式或一般方法求随机变量之和的分布、随机变量最大值函数的分布
