1、考研数学三-242 及答案解析(总分：149.99，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 p(x)，q(x)，f(x)在区间(a，b)上连续，y 1(x)，y 2(x)，y 3(x)是二阶线性微分方程 y“+p(x)y+q(x)y=f(x)的三个线性无关的解，c 1，c 2是两个任意常数，则该方程的通解是( )（分数：4.00）A.c1y1+(c2-c1)y2+(1-c2)y3B.c1y1+(c2-c1)y2+(c1-c2)y3C.(c1+c2)y1+(c2-c1)y2+(1-c2)y3D.(c1+c2)y1+(c2-c1)y2+(c1-c2)y32.下列
2、命题正确的是( )（分数：4.00）A.B.C.D.3.X 为一随机变量，若 E(X)0，E(X 2)=1.1，D(X)=0.1，则必有( )（分数：4.00）A.P(0X2)0.9B.P(-1X1)0.9C.P(|X+1|1)0.9D.P(|X|1)0.14.方程 （分数：4.00）A.B.C.D.5.3 阶矩阵 A 的特征值是 0，-1，1，则下列结论不正确的是( )（分数：4.00）A.A 不可逆B.A 主对角线元素之和为 0C.1 和-1 对应的特征向量正交D.AX=0 的基础解系由一个解向量组成6.已知二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布且 D(X)D(Y)，则( )（分数：4.0
3、0）A.X，Y 一定独立B.X，Y 一定不独立C.(X+Y)，(X-Y)一定独立D.(X+Y)，(X-Y)一定不独立7.设 （分数：4.00）A.B.C.D.8.矩阵 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.定积分 （分数：4.00）填空项 1:_10.设 （分数：4.00）填空项 1:_11.已知 y=y(x)在点 x 处的改变量 （分数：4.00）填空项 1:_12.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_13.n 阶矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_14.设 X1，X 2，X 36是取自总体 XN(，8)的简单随机样本， 为未知参数，如果以( -
4、i，（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.两条宽分别为 a，b(a0，b0)的河垂直相交，若一条船能从一条河转入另一条河，问其最大长度是多少?（分数：10.00）_16.设 u=u(x，y)有二阶连续偏导数。且满足 （分数：10.00）_17.已知 求广义积分 （分数：10.00）_18.求二重积分 其中 （分数：10.00）_设某产品的成本函数 C=Q 2+Q+，需求函数为 （分数：9.99）(1).求利润最大时的产量及最大利润；（分数：3.33）_(2).求需求对价格的弹性；（分数：3.33）_(3).求需求对价格的弹性的绝对值为 1 时的产量。（
5、分数：3.33）_19.矩阵 （分数：11.00）_20.设 （分数：11.00）_21.某宽带网站有两台重要设备，其中任意一台发生故障都要引起网络故障，假设两台设备的无故障工作时间都服从于指数分布，且平均无故障工作时间都为 （分数：11.00）_设总体 X 是离散型随机变量，可能取值为 0，1，2，而 X1，X 2，X 3是来自总体 X 的简单随机样本，如果 P(X=2)=(1-) 2，E(X)=2(1-)(其中 是未知参数，且 0 （分数：11.00）(1).求 X 的分布律；（分数：5.50）_(2).求参数 的矩估计量 （分数：5.50）_考研数学三-242 答案解析(总分：149.9
6、9，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 p(x)，q(x)，f(x)在区间(a，b)上连续，y 1(x)，y 2(x)，y 3(x)是二阶线性微分方程 y“+p(x)y+q(x)y=f(x)的三个线性无关的解，c 1，c 2是两个任意常数，则该方程的通解是( )（分数：4.00）A.c1y1+(c2-c1)y2+(1-c2)y3 B.c1y1+(c2-c1)y2+(c1-c2)y3C.(c1+c2)y1+(c2-c1)y2+(1-c2)y3D.(c1+c2)y1+(c2-c1)y2+(c1-c2)y3解析：考点 二阶线性微分方程解的结构答案解析 (A)中
7、解的形式可改写为 c1(y1-y2)+c2(y2-y3)+y3，由于 y1，y 2，y 3是非齐次方程的 3 个线性无关的解，因此(y 1-y2)与(y 2-y3)是相应齐次方程的两个线性无关的解，(事实上，若常数 k1，k 2使 k1(y1-y2)+k2(y1-y3)=0，则 k1y1-(k1-k2)y2-k2y3=0，由 y1，y 2，y 3线性无关知 k1=0，k 2=0)，又 y3是非齐次方程的一个特解，从而非齐次通解为 c1(y1-y2)+c2(y2-y3)+y3，应选(A)。2.下列命题正确的是( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 数项级数敛散性的有关概念答案解析
8、(C)正确，反证：设*收敛，则由|a n|a n|+|bn|；|b n|a n|+|bn|以及正项级数比较审敛法知*都绝对收敛，与已知其中至少有一个发散矛盾。(A)不正确，*(B)不正确，反例：虽然(1-1)+(1-1)+(1-1)+是收敛的，但*发散*(D)不正确，反例：*3.X 为一随机变量，若 E(X)0，E(X 2)=1.1，D(X)=0.1，则必有( )（分数：4.00）A.P(0X2)0.9 B.P(-1X1)0.9C.P(|X+1|1)0.9D.P(|X|1)0.1解析：考点 切比雪夫不等式答案解析 (E(X) 2=E(X2)-D(X)=1.1-0.1=1，而 E(X)0，故 E
9、(X)=1。由切比雪夫不等式P(0X2)=P(-1X-11)=P(|X-E(X)|1)应选(A)。4.方程 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 判定方程实根个数答案解析 *，即 x=1 是 f(x)唯一极大点，放为最大点，且最大值*而且*从而 f(x)=0 在(-，1)，(1，+)内各有一个实根共有 2 个实根，应选(C)。5.3 阶矩阵 A 的特征值是 0，-1，1，则下列结论不正确的是( )（分数：4.00）A.A 不可逆B.A 主对角线元素之和为 0C.1 和-1 对应的特征向量正交 D.AX=0 的基础解系由一个解向量组成解析：考点 特征值，特征向量的性质答案解析 (A)正
10、确，*即 A 不可逆。(B)正确，*即 A 的主对角线元素之和为 0。(D)正确，A 有三个不同特征值，必可对角化，且 A=*故 r(A)=2，AX=0 的基础解系，只含 3-r(A)=3-2=1 个解向量。(C)不正确，属不同特征值的特征向量线性无关，而不是正交(A 加强条件为实对称矩阵时，属不同特征值的特征向量才正交)。应选(C)。6.已知二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布且 D(X)D(Y)，则( )（分数：4.00）A.X，Y 一定独立B.X，Y 一定不独立C.(X+Y)，(X-Y)一定独立D.(X+Y)，(X-Y)一定不独立 解析：考点 随机变量的独立性答案解析 *故 X，Y 独
11、立*=0(现在 的情况不明)，而Cov(X+Y，X-Y)=Cov(X，X)-Cov(X，Y)+Cov(Y，X)-Cov(Y，Y)=D(X)-D(Y)0即(X+Y)与(X-Y)相关，从而(X+Y)与(X-Y)一定不独立，应选(D)。7.设 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 判断间断点类型答案解析 f(x)在 x=1 处无定义(A)不正确)，且*故 x=1 是 f(x)第二类间断点，应选(D)。8.矩阵 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 矩阵乘积为零矩阵时的性质答案解析 B 按列分块为 B=(b1，b 2)，则 AB=(Ab1，Ab 2)=(0，0)，亦即 Abj=0(
12、j=1，2)，即 B 的列向量全是方程组 AX=0 的解，而方程组基础解系禽向量个数为 3-r(A)。当 t=-2 时，r(A)=1，故 r(B)=r(b1，b 2)3-1=2，即 B 的列向量组可能线性无关，也可能线性相关。当 t-2 时，r(A)=2，故 r(B)=r(b1，b 2)3-2=1，从而 B 的列向量组必线性相关。二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.定积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 计算周期函数定积分答案解析 *是以*为周期的连续周期函数，而且是偶函数，则*10.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 复合
13、函数的求法答案解析 *11.已知 y=y(x)在点 x 处的改变量 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 解一阶微分方程答案解析 因为*(其中 是x 的高阶无穷小(x0 时)。令x0 取极限，得*解得 y=cearctanx，代入 y(0)=，得 c=，即有 y=ea rctanx，故 y(1)=e arctan1=*12.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 求平面图形的面积答案解析 当 x0 时，*当 x0 时*从而所求面积为*13.n 阶矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 求 n 阶矩阵逆矩阵的行列式答
14、案解析 因为*14.设 X1，X 2，X 36是取自总体 XN(，8)的简单随机样本， 为未知参数，如果以( -i，（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：96.6%）解析：考点 由区间估计反求置信水平答案解析 方差 2=8 已知，设置信水平为 1-，则 的置信区间为*于是*1-0.9830=0.017，即 =0.034，故置信水平为 1-=1-0.034=0.966=96.60%三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.两条宽分别为 a，b(a0，b0)的河垂直相交，若一条船能从一条河转入另一条河，问其最大长度是多少?（分数：10.00）_正确答案：(将船 BC 的长度记为 l，
15、依图所示；*实际问题最大值存在，此点即为最大点，l 的最大值为*)解析：考点 最值应用题16.设 u=u(x，y)有二阶连续偏导数。且满足 （分数：10.00）_正确答案：(作变换*可将原方程化为 u 关于 s，t 的偏导数满足的方程，即*x 是自变量，故 x0，于是*即 u=g(t)=g(xy)，其中 g 是任意连续可微函数。注意：如果对任意连续、可微函数 g，验证了 u=g(xy)满足：*=0 就证完了是不对的，这时仅说明了 u=g(xy)时，满足方程，并没有证明除此之外，方程无其他的解。)解析：考点 与二元函数偏导数有关的证明题17.已知 求广义积分 （分数：10.00）_正确答案：(*
16、幂级数在收敛区间内可逐项积分，用分部积分，得*)解析：考点 与级数相关联的广义积分的计算18.求二重积分 其中 （分数：10.00）_正确答案：(被积函数分段表示：*)解析：考点 分段二元函数计算二重积分设某产品的成本函数 C=Q 2+Q+，需求函数为 （分数：9.99）(1).求利润最大时的产量及最大利润；（分数：3.33）_正确答案：(利润函数为L=PQ-C=(-Q)Q-(Q 2+Q+)=(-)Q-(+)Q 2-令*为唯一驻点，而最大利润存在，此点即为最大点，即当*时利润最大，最大利润为*)解析：(2).求需求对价格的弹性；（分数：3.33）_正确答案：(*)解析：(3).求需求对价格的弹
17、性的绝对值为 1 时的产量。（分数：3.33）_正确答案：(由|=1，得*)解析：考点 微分学在经济中的应用19.矩阵 （分数：11.00）_正确答案：(将 A 分块表示为*其中*)解析：考点 求分块矩阵及其伴随矩阵的逆矩阵20.设 （分数：11.00）_正确答案：(1) 当 sn 时，由于 A 的列向量组由 s 个 n 维向量组成，因此必定线性相在，即存在X=(x1，x 2，x s)T0 使 AX=( 1， 2， s)(x1，x 2，x s)T=x1 1+x2 2+xs s=0于是 XTBX=XTAX=AX 2=0 与 B 为正定矩阵矛盾。(2)若 s=n，则 A 为 n 阶矩阵，而*0，故
18、 A 为可逆矩阵，由 B=ATA=ATEA，表明矩阵 B 与单位矩阵合同，故 B 为正定矩阵。(3) 若 sn，则 A 的前 s 行组成 s 个 s 维列向量，由范得蒙行列式知其线性无关，从而 A 的列向最组作为其延伸向量组仍然线性无关，对于任意的 X=(x1，x 2，x s)T0，AX=x 1 1+x2 2+xs s0，故XTBX=XTATAX=AX 20，B 为正定矩阵，从而 B 是正定矩阵的充分必要条件是 sn。)解析：考点 正定矩阵的充分必要条件21.某宽带网站有两台重要设备，其中任意一台发生故障都要引起网络故障，假设两台设备的无故障工作时间都服从于指数分布，且平均无故障工作时间都为
19、（分数：11.00）_正确答案：(设第一台设备无故障工作时间为 X，第二台设备无故障工作时间为 Y，则 X，Y 相互独立。于是网络无故障工作时间为 Z=min(X，Y)，由于 X，Y 都服从指数分布，且*故 =2，从而(X，Y)的概率密度为*即网络无故障工作时间的数学期望为*万小时。)解析：考点 二维随机变量函数的数学期望设总体 X 是离散型随机变量，可能取值为 0，1，2，而 X1，X 2，X 3是来自总体 X 的简单随机样本，如果 P(X=2)=(1-) 2，E(X)=2(1-)(其中 是未知参数，且 0 （分数：11.00）(1).求 X 的分布律；（分数：5.50）_正确答案：(记 P0=P(X=0)，p 1=P(X=1)，p 2=p(X=2)，已知 p2=(1-) 2，E(X)=2(1-)，则*从而 p0= 2，p 1=2(1-)故 X 的分布律为X 0 1 2p 2 2(1-) (1-) 2)解析：(2).求参数 的矩估计量 （分数：5.50）_正确答案：(令*是 的矩估计量由于*故*是 的无偏估计量。根据切比雪夫大数定律：*而*是连续函数，故*所以*是 的一致估计量。)解析：考点 写离散型随机变量分布律求未知参数矩估计，讨论无偏性相合性
