1、考研数学三-241 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.已知 x=0 是函数 （分数：4.00）A.B.C.D.2.已知边际收益函数 ，其中常数 a0，b0，k0，则需求函数 Q=Q(p)的表达式为_ AB C D （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 f(x，y)在(0，0)连续，且 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设有以下命题：若正项级数 收敛，则 收敛；若 ，则 收敛；若 收敛，则 收敛；若 收敛， 发散，则 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A+B，则下列命题中，
2、若 A 可逆，则 B 可逆； 若 A+B 可逆，则 B 可逆；若 B 可逆，则 A+B 可逆； A-E 恒可逆；正确的有_个 A.1 B.2 C.3 D.4（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 3 维列向量组 1， 2， 3线性无关， 1= 1+ 2- 3， 2=3 1- 2， 3=4 1- 3， 4=2 1-2 2+ 3，则向量组 1， 2， 3， 4的秩为_ A.1 B.2 C.3 D.4（分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X 和 Y 都服从正态分布，且它们不相关，则_ A.X 与 Y 一定独立 B.(X，Y)服从二维正态分布 C.X 与 Y 未必独立 D.X+Y 服从一
3、维正态分布（分数：4.00）A.B.C.D.8.设总体 X 服从参数为 (0)的泊松分布，X 1，X 2，X n+1为来自总体 X 的简单随机样本记 T=（分数：4.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)满足 （分数：4.00）填空项 1:_10.设 f(x)在 x=1 可导，f(1)=1，则 （分数：4.00）填空项 1:_11.交换积分次序 （分数：4.00）填空项 1:_12.设 （分数：4.00）填空项 1:_13.设|A|= （分数：4.00）填空项 1:_14.设 X 服从参数为 2 的指数分布，则 Y=1-e-2X的概率密度 fY(
4、y)=_（分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.求 （分数：10.00）_16.设 f(x)在0，1上连续，且满足 f(0)=1，f(x)=f(x)+ax-a，求 f(x)，并求 a 的值，使曲线 y=f(x)与 x=0，y=0，x=1 所围平面图形绕 x 轴旋转一周所得体积最小（分数：10.00）_17.已知函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1， 证明：()存在 (0，1)，使得 f()=1-； ()存在两个不同的点 ，(0，1)，使得 f()f()=1（分数：10.00）_18.设 z=f(x，y)在
5、点(1，2)处存在连续的一阶偏导数，且 f(1，2)=2， (1，2)=3， (1，2)=4，(x)=f(x，f(x，2x) 求 （分数：10.00）_19.设 f(x)在0，1上连续，证明 并由此计算 （分数：10.00）_20.已知 A=( 1， 2， 3， 4)，非齐次线性方程组 Ax=b 的通解为(1，1，1) T+k1(1，0，2，1)T+k2(2，1，1，-1) T()令 B=( 1， 2， 3)，求 Bx=b 的通解；()令 C=( 1， 2， 3， 4，b)，求 Cx=b 的通解（分数：11.00）_21.设矩阵 （分数：11.00）_22.设二维随机变量(X，Y)的概率分布为
6、 （分数：11.00）_23.设二维随机变量(X，Y)服从 D 上的均匀分布，其中 D 是由直线 y=x 和曲线 y=x2围成的平面区域()求 X 和 Y 的边缘概率密度 fX(x)和 fY(y)；()求 E(XY)（分数：11.00）_考研数学三-241 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.已知 x=0 是函数 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 可去间断点及极限的计算 解析 由已知可得*存在，再由已知极限求参数即可 解法一：由已知条件可知*存在，又*，故 * 所以只有当 b-1 时，该极限存在 解法二：因为*
7、故若极限存在，则必满足 b-1 故应选 D2.已知边际收益函数 ，其中常数 a0，b0，k0，则需求函数 Q=Q(p)的表达式为_ AB C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 积分在经济中的应用 解析 先通过定积分计算求收益函数，再求需求函数 解：设总收益函数为 R=R(Q)，则 R(0)=0，且边际收益函数为*，于是 * 又因 R(Q)=PQ，从而*，推得* 故应选 A3.设 f(x，y)在(0，0)连续，且 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 二元函数可微的定义及偏导数与可微的关系解析 先根据定义判定 f(x，y)在(0，0)处可微，进而判定偏导数存在解：由*
8、，知*，即*由极限与无穷小的关系，得*则 f(x，y)-f(0，0)=2(x 2+y2)+(x 2+y2)=*，故 f(x，y)-f(0，0)=0x+0y+o()由可微定义知 f(x，y)在(0，0)点可微且 fx(0，0)=0，f y(0，0)=0故应选 D4.设有以下命题：若正项级数 收敛，则 收敛；若 ，则 收敛；若 收敛，则 收敛；若 收敛， 发散，则 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 级数性质及级数收敛判别法解析 利用级数性质和收敛判别法逐个判定命题解：命题正确，由正项级数的比较判别法判定即可因为正项级数*收敛，知*=*=0由正项级数比较判别法(极限形式)知*收敛命题错
9、误，因*不一定是正项级数，所以没有此判定方法，如 n=(-1)n则*，但*发散命题错误，*收敛，但*不一定收敛，如 n=(-1)n-1，则*收敛，但*发散命题正确，因*收敛，*发散，由级数性质知*发散，即*发散故应选 B5.设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A+B，则下列命题中，若 A 可逆，则 B 可逆； 若 A+B 可逆，则 B 可逆；若 B 可逆，则 A+B 可逆； A-E 恒可逆；正确的有_个 A.1 B.2 C.3 D.4（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 矩阵可逆性的判别 解析 命题是借助行列式来判别，而是利用定义来判别 解：由于(A-E)B=AB-B=A+B-B
10、=A，若 A 可逆，则 B 可逆，即正确 若 A+B 可逆，则|AB|=|A+B|0，则|B|0，即 B 可逆，正确 由于 A(B-E)=B，|A|B-E|=|B|，若 B 可逆，则|A|0，即 A 可逆，从而A+B=AB 可逆，正确 对于，由 AB=A+B，可得(A-E)(B-E)=E，故 A-E 恒可逆 故应选 D6.设 3 维列向量组 1， 2， 3线性无关， 1= 1+ 2- 3， 2=3 1- 2， 3=4 1- 3， 4=2 1-2 2+ 3，则向量组 1， 2， 3， 4的秩为_ A.1 B.2 C.3 D.4（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 向量组的秩解析 利用
11、1， 2， 3， 4与 1， 2， 3之间的线性表示关系求解解：B=( 1， 2， 3， 4)=( 1， 2， 3)*=AC由 1， 2， 3线性无关，A 可逆，所以，r(B)=r(C)*故 r(B)=r(C)=2故应选 B7.设随机变量 X 和 Y 都服从正态分布，且它们不相关，则_ A.X 与 Y 一定独立 B.(X，Y)服从二维正态分布 C.X 与 Y 未必独立 D.X+Y 服从一维正态分布（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 考查随机变量的独立与不相关 解析 不相关未必独立 解：只有当(X，Y)服从二维正态分布时，X 与 Y 不相关*X 与 Y 独立，本题仅仅已知 X 与 Y
12、 服从正态分布，因此，由它们不相关推不出X 与 Y 一定独立，排除 A； 若 X 与 Y 都服从正态分布且相互独立，则(X，Y)服从二维正态分布，但题设并不知道 X，Y 是否独立，可排除 B； 同样，要求 X 与 Y 相互独立时，才能推出 X+Y 服从一维正态分布，可排除 D 故应选 C8.设总体 X 服从参数为 (0)的泊松分布，X 1，X 2，X n+1为来自总体 X 的简单随机样本记 T=（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 考查统计量的数字特征解析 利用泊松分布的数字特征及期望性质计算解：因为 Xi()，所以 E(Xi)=D(Xi)=，则*故应选 B二、B填空题/B(总题数：
13、6，分数：24.00)9.设 f(x)满足 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 求函数的表达式 解析 令 g(x)=sinf(x)，通过所给关系式对 g(x)进行递推并求极限，求出 g(x)的表达式，进而即可求出 f(x)的表达式 解：令 g(x)=sinf(x)，则 * 上述式子相加得* 因|g(x)|=|sinf(x)|1，所以*，而* 因此*，于是* 故应填*10.设 f(x)在 x=1 可导，f(1)=1，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：9）解析：考点 导数的定义求极限 解析 将函数表达式恒等变形，利用四则运算求极限法则和导数定义即可求得结果
14、 解：由题意可得， * 故应填 9 此题虽为“*”型未定式，但不能用洛必达法则因只知 f(x)在 x=1 处可导，并没有给出 f(x)在 x=1 附近可导条件若用洛必达法则，则是错误的因此，应特别注意洛必达法则的使用条件11.交换积分次序 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 交换积分次序解析 利用已知二重积分，写出积分区域 D，再转化为另一次序的二次积分解：*其中*，如图下所示*记 D=D1+D2，则*则*故应填*12.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：考点 定积分的计算 解析 利用定积分的分部积分法计算即可 解：* 故应填 213.设|A|
15、= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 伴随矩阵的定义和求解解析 先求伴随矩阵 A*，进而求得 A*所有元素之和，即为|A|的所有代数余子式之和本题如果直接计算各个元素的代数余子式，将大大增加计算量和出错率解：由于 A*=(Aij)，只要能求出 A 的伴随矩阵，就可求出A ij因为*又由分块矩阵求逆，有*从而*故*故应填*14.设 X 服从参数为 2 的指数分布，则 Y=1-e-2X的概率密度 fY(y)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 考查连续型随机变量函数的分布解析 利用公式或一般方法求 Y=g(X)的概率密度解：因为 X 服从以
16、2 为参数的指数分布，所以 X 的概率密度为*由 Y=1-e-2X得*，所以 Y 的概率密度为*故应填*三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.求 （分数：10.00）_正确答案：(解：*)解析：考点 未定式极限解析 利用等价无穷小代换定理，并提出因子 esinx，再应用洛必达法则即可得结果有的同学做题过程中没有想到把分子 ex-esinx提取因子 esinx，而是在分母等价替换为 x3+x4后，就对*用洛必达法则，这样计算过程烦琐，导致得不到正确结果或虽分子提出 esinx，原极限化为*，但没有用乘法求极限法则先把 esinx极限求出，化为*后用洛必达法则，而对极限*直接用洛必
17、达法则，同样导致计算过程烦琐16.设 f(x)在0，1上连续，且满足 f(0)=1，f(x)=f(x)+ax-a，求 f(x)，并求 a 的值，使曲线 y=f(x)与 x=0，y=0，x=1 所围平面图形绕 x 轴旋转一周所得体积最小（分数：10.00）_正确答案：(解：方程 f(x)=f(x)+ax-a 可以改写为 f(x)-f(x)=ax-a则*由 f(0)=1 得 C=1，所以 f(x)=ex-ax旋转体的体积为*令*，解得驻点 a=3又*，知当 a=3 时，V x取最小值即 a=3 时，所求旋转体体积最小，此时 f(x)=ex-3x)解析：考点 一阶微分方程、旋转体体积与函数的最值 解
18、析 先解一阶微分方程，再求旋转体的体积，最后求最值即可 求解一阶线性微分方程 y+p(x)y=q(x)时，不少同学将通解公式 y=*错记为*，从而导致错误结果17.已知函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1， 证明：()存在 (0，1)，使得 f()=1-； ()存在两个不同的点 ，(0，1)，使得 f()f()=1（分数：10.00）_正确答案：(证：()令 g(x)=f(x)+x-1，则 g(x)在0，1上连续，且 g(0)=-10，g(1)=10，由零点定理知，存在 (0，1)，使得 g()=0，即 f()+-1=0，从而有 f()=1- ()因
19、 f(x)在0，1上连续，在(0，)，(，1)上可导，f(x)在0，和，1上均满足拉格朗日中值定理的条件，应用拉格朗日中值定理得存在 (0，)，(，1)，使得 * * 则*)解析：考点 零点定理与拉格朗日中值定理 解析 利用零点定理证明()，利用拉格朗日中值定理证明()18.设 z=f(x，y)在点(1，2)处存在连续的一阶偏导数，且 f(1，2)=2， (1，2)=3， (1，2)=4，(x)=f(x，f(x，2x) 求 （分数：10.00）_正确答案：(解：因为*，而 * 则* 所以，*)解析：考点 一元函数的导数与二元函数的偏导数解析 先利用复合函数的链导法则求 (x)，再求 3(x)即
20、可19.设 f(x)在0，1上连续，证明 并由此计算 （分数：10.00）_正确答案：(证：* 即*，从而* 而* 故* 利用上述积分等式，由于*，具有上述 xf(sinx)的形式故有 *)解析：考点 证明积分等式；定积分计算 解析 先利用定积分的换元积分法和计算性质证明积分等式，然后再利用该积分等式结论求定积分20.已知 A=( 1， 2， 3， 4)，非齐次线性方程组 Ax=b 的通解为(1，1，1) T+k1(1，0，2，1)T+k2(2，1，1，-1) T()令 B=( 1， 2， 3)，求 Bx=b 的通解；()令 C=( 1， 2， 3， 4，b)，求 Cx=b 的通解（分数：11
21、.00）_正确答案：(解：()先求 Bx=0 的基础解系，为此，首先要找出矩阵 B 的秩由题目的已知信息可知：Ax=0 的基础解系中含有两个向量，故 4-r(A)=2，即 r(A)=2，而由(1，0，2，1)T是 Ax=0 的解，可得 1+2 3+ 4=0，故 4=- 1-2 3可知 4能由 1， 2， 3线性表示，故r( 1， 2， 3， 4)=r( 1， 2， 3)=r(B)，即 r(B)=2因此，Bx=0 的基础解系中仅含一个向量，求出 Bx=0 的任一非零解即为其基础解系由于(1，0，2，1) T，(2，1，1，-1) T均为 Ax=0 的解，故它们的和(3，1，3，0) T也为 Ax
22、=0 的解，可知3 1+ 2+3 3=0，因此(3，1，3) T为 Bx=0 的解，也即(3，1，3) T为 Bx=0 的基础解系最后，再求 Bx=b 的任何一个特解即可只需使得 Ax=b 的通解中 1的系数为 0 即可，为此，令(1，1，1，1) T+k1(1，0，2，1) T+k2(2，1，1，-1) T中 k1=0，k 2=1，得(3，2，2，0) T是 Ax=b 的一个解，故(3，2，2) T是 Bx=b 和一个解可知 Bx=b 的通解为(3，2，2) T+k(3，1，3) T，kR()与()类似，先求 Cx=0 的基础解系由于 C 即为线性方程组 Ax=b 的增广矩阵，故 r(C)=
23、r(A)=2，可知 Cx=0 的基础解系中含有 5-2=3 个线性无关的解向量，为此，需要找出 Cx=0 的三个线性无关的解由于(1，0，2，1) T，(2，1，1，-1) T均为 Ax=0 的解，可知(1，0，2，1，0) T，(2，1，1-1，0) T均为Cx=0 的解而(1，1，1，1) T为 Ax=b 的解，可知 1+ 2+ 3+ 4=b，也即 1+ 2+ 3+ 4-b=0，故(1，1，1，1，-1) T也为 Cx=0 的解这样，我们就找到了 Cx=0 的三个解：(1，0，2，1，0) T，(2，1，1，-1，0) T，(1，1，1，1，-1) T，容易验证它们是线性无关的，故它们即为
24、 Cx=0 的基础解系最后，易知(0，0，0，0，1) T为 Cx=b 的解，故 Cx=b 的通解为(0，0，0，0，1) T+k1(1，0，2，1，0)T+k2(2，1，1，-1，0) T+K3(1，1，1，1，-1) T，k iR，i=1，2，3)解析：考点 求解抽象型线性方程组 解析 对于抽象型线性方程组，通常利用解的结构求解21.设矩阵 （分数：11.00）_正确答案：(解：由*得 A 的特征值为 2，1，-1因此 A 相似于*进而求得对应 2，1，-1的特征向量分别为*令 P=( 1， 2， 3)，则有 P-1AP=*又因为 B 是下三角矩阵，所以特征值为 2，1，-1B 也相似于*
25、进而求得对应 2，1，-1 的特征向量分别为*令 Q=( 1， 2， 3)，则 Q-1BQ=*因此 P-1AP=Q-1BQ，所以 B=QP-1APQ-1=(PQ-1)-1A(PQ-1)，令*，X 即为所求)解析：考点 矩阵相似的判别 解析 将 A，B 分别相似对角化，与同一个对角阵相似，再根据相似的传递性，得到 A，B 相似22.设二维随机变量(X，Y)的概率分布为 （分数：11.00）_正确答案：(解：()由概率分布的性质知 a+0.2+0.1+b+0.2+0.1+c=1，即 a+b+c=0.4由(X，Y)的概率分布可写出 X 的边缘概率分布为 X -1 0 1P a+0.2 b+0.3 c
26、+0.1故 E(X)=-(a+0.2)+(c+0.1)=-0.2，即 a-c=0.1 又因* 即 a+b=0.3 将(*)，(*)，(*)联立，解方程组得 a=0.2，b=0.1，c=0.1 ()Z 的可能取值为-2，-1，0，1，2，则 PZ=-2=PX=-1，Y=-1=0.2， PZ=-1=PX=-1，Y=0+PX=0，Y=-1=0.1， PZ=0=PX=-1，Y=1+PX=0，Y=0+PX=1，Y=-1=0.3， PZ=1=PX=1，Y=0+PX=0，Y=1=0.3， PZ=2=PX=1，Y=1=0.1 故 Z 的概率分布为 Z -2 -1 0 1 2P 0.2 0.1 0.3 0.3
27、0.1()PX=Z=PX=X+Y=PY=0=0+0.1+0.1=0.2)解析：考点 考查二维离散型随机变量 解析 由题意确定 a，b，c，利用分布律求概率23.设二维随机变量(X，Y)服从 D 上的均匀分布，其中 D 是由直线 y=x 和曲线 y=x2围成的平面区域()求 X 和 Y 的边缘概率密度 fX(x)和 fY(y)；()求 E(XY)（分数：11.00）_正确答案：(解：()区域 D 的面积为*，所以(X，Y)的概率密度为* 当 0x1 时，* 所以 X 的边缘概率密度为* 当 0y1 时，* 所以 Y 的边缘概率密度为* ()*)解析：考点 考查均匀分布的概率密度 解析 由二维均匀分布的联合密度求边缘密度，求 E(XY)
