1、考研数学三-240 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设随机变量 X 和 Y 相互独立，且均服从(0，1)上的均匀分布，则下列随机变量中仍服从某区间上的均匀分布的是( )（分数：4.00）A.X-YB.X+YC.X2D.2X2.设 D 是 xOy 平面以(1，1)，(-1，1)和(-1，-1)为顶点的三角形区域，D 1是 D 的第一象限的部分，且则( )（分数：4.00）A.B.C.D.3.设函数 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设有无穷级数 （分数：4.00）A.B.C.D.5.已知 f(x)具有二阶连续导数，g(x)为
2、连续函数，且 则( )（分数：4.00）A.B.C.D.6.将一枚硬币抛 n 次，X 表示正面向上的次数，Y 表示反面向上的次数的相反数，则 X 与 Y 的相关系数为( )（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 A，B 为 n 阶矩阵，现有以下命题：A 与 B 等价；A 与 B 相似；A 与 B 合同；A 与 B 为正定矩阵，用“P Q”表示命题 P 可推出命题 Q，则( )（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 A 是一个 nn 矩阵，交换 A 的第 i 行、第 j 行，然后再交换其第 i 列、第 j 列，所得矩阵应为 B，现有以下命题：|A|=|B|；r（分数：4.00）A.=rB.；
3、A，B 的行向量C.3 个D.4 个二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.曲线 在点 （分数：4.00）填空项 1:_11.设函数 z=f(x，y)的二阶偏导数存在， （分数：4.00）填空项 1:_12.设 f(x)在1，+)上具有连续导数，f(1)=1，g(x)为 f(x)的反函数，且满足 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2， 3为 3 维线性无关的列向量，且 A 1= 3，A 2= 2，A 3= 1，则秩r(A-E)=_。（分数：4.00）填空项 1:_14.已知随机变量 X 和 Y 的分布律为而且 （
4、分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知 且 f(0)=g(0)=0，试求 （分数：10.00）_16.设 （分数：10.00）_17.设 具有连续二阶偏导数，且满足（分数：10.00）_18.计算二重积分 （分数：10.00）_19.设 f(x)在区间-1，1上有三阶连续导数，证明存在实数 (-1，1)使得（分数：10.00）_20.设 n 维列向量 1， 2， s线性无关，其中 s 是大于 2 的偶数，若矩阵A=( 1+ 2， 2+ 3， s-1+ s， s+ 1)，试求非齐次线性方程组 Ax= 1+ s的通解。（分数：11.00）_已知方程组 （
5、分数：11.00）(1).求矩阵 A；（分数：5.50）_(2).求(E+A)x=0 的基础解系。（分数：5.50）_设二维随机变量(X，Y)的概率密度为（分数：11.01）(1).求 Z=2X+Y 的概率密度函数 fZ(z)；（分数：3.67）_(2).计算 E(X)，D(X)；（分数：3.67）_(3).计算 X 与 Y 的相关系数。（分数：3.67）_设总体 X 的分布律为（分数：11.00）(1).求 的矩估计量；（分数：5.50）_(2).求 的最大似然估计量 （分数：5.50）_考研数学三-240 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：3
6、2.00)1.设随机变量 X 和 Y 相互独立，且均服从(0，1)上的均匀分布，则下列随机变量中仍服从某区间上的均匀分布的是( )（分数：4.00）A.X-YB.X+YC.X2D.2X 解析：详解 经计算易得 2X 的分布函数为*即为(0，2)上的均匀分布。2.设 D 是 xOy 平面以(1，1)，(-1，1)和(-1，-1)为顶点的三角形区域，D 1是 D 的第一象限的部分，且则( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 先求出 f(x，y)的表达式，再利用二重积分的对称性。详解 由*其中*为常数，有*于是 A=0，即 f(x，y)=xy(A)、(B)、(C)三个选项中，左端项均为
7、零，但右端项均不为零，故应选(D)。评注 一般地，若*则令 A=*有 f(x，y)=g(x，y)+A，两边同乘以 h(x，y)，再在 D 上取二重积分，可求得 A，从而得 f(x，y)的表达式。3.设函数 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 在分段点的极限、连续、导数应根据定义讨论。详解 由 g(0)=0 知 g(x)在 x=0 处可导；也可知 g(x)在 x=0 处连续，即*g(0)=0，又*所以 f(x)在x=0 处连续，排除(C)。又*故 f(x)在 x=0 处可导即可微，且 df(x)|x=0=0，可见应选(D)。评注 本题也可取 g(x)=x2，符合条件 g(0)=g(0
8、)=0，然后直接代入验算，即可找到正确选项。4.设有无穷级数 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 *绝对收敛，*条件收敛，然后利用收敛级数的运算性质讨论即可。详解 由于*绝对收敛，而*条件收敛，因此*必收敛，且为条件收敛，故应选(B)。评注 若*绝对收敛，*条件收敛，则*必条件收敛。5.已知 f(x)具有二阶连续导数，g(x)为连续函数，且 则( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 先计算出 f(0)，f“(0)，f“(0)等，然后再确定是极值点还是拐点。详解 由*有*于是*进而可推出*可见(0，f(0)为曲线 y=f(x)的拐点。评注 若 f(x0)=0，f(x 0
9、)0，则点 x=x0为 y=f(x)的极值点；若 f“(x0)=0，f“(x 0)0，则点(x 0，f(x 0)为曲线 y=-f(x)的拐点。6.将一枚硬币抛 n 次，X 表示正面向上的次数，Y 表示反面向上的次数的相反数，则 X 与 Y 的相关系数为( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：详解 因为 X-Y=n，即 Y=X-n，故 X 与 Y 的相关系数等于 1。7.设 A，B 为 n 阶矩阵，现有以下命题：A 与 B 等价；A 与 B 相似；A 与 B 合同；A 与 B 为正定矩阵，用“P Q”表示命题 P 可推出命题 Q，则( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解 若
10、 A，B 为正定矩阵，则 A，B 均合同于单位矩阵，从而 A，B 为合同矩阵，而合同的矩阵的秩相同，从而有 A 与 B 等价，故(C)成立，其余三个选项均可构造反例说明其不成立，8.设 A 是一个 nn 矩阵，交换 A 的第 i 行、第 j 行，然后再交换其第 i 列、第 j 列，所得矩阵应为 B，现有以下命题：|A|=|B|；r（分数：4.00）A.=rB.；A，B 的行向量C.3 个 D.4 个解析：详解 由题设，存在初等矩阵 Eij交换单位矩阵 E 的第 i 行、第 j 行或第 i 列、第 j 列后所得矩阵)，使得EijAEij=B于是 |B|=|E ij|A|Eij|=(-1)|A|(
11、-1)=|A|；r(A)=r(B)，且 B=EijAEij=*AEij，即 AB，可见命题成立。令*显然 A，B 的行向量组不等价，命题不成立，故应选(C)。二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：详解 *10.曲线 在点 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 *又*故过点*处的切线方程为*11.设函数 z=f(x，y)的二阶偏导数存在， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：z=y 2+xy+1）解析：详解 由*知，*由 fy(x，0)=x，得 C1(x)=x，于是有*=2y+x，从而 z=y2+
12、xy+C2(x)，又f(x，0)=1，C 2(x)=1，故 z=y2+xy+112.设 f(x)在1，+)上具有连续导数，f(1)=1，g(x)为 f(x)的反函数，且满足 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 等式*两边对 x 求导，得*即*又 f(1)=1，所以 C=0，故*13.设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2， 3为 3 维线性无关的列向量，且 A 1= 3，A 2= 2，A 3= 1，则秩r(A-E)=_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：详解 由 A 1， 2， 2= 3， 2， 1= 1， 2， 3*知，若令 P= 1， 2， 3，
13、则P 可逆，且 p-1AP=*=B，即 AB，从而 A-EB-E，于是*14.已知随机变量 X 和 Y 的分布律为而且 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 由 P(X=Y)=P(X=1，Y=1)=*易得 X 和 Y 的联合分布律为*故*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知 且 f(0)=g(0)=0，试求 （分数：10.00）_正确答案：(由*知*又 f(0)=0，代入 f(x)表达式有 C=0，故*由*及 g(0)=0 知 g(x)=In(1+x)于是*因为*即*故*)解析：分析 先积分，求出 f(x)和 g(x)的表达式，再求极限注意在求极限时应尽
14、量利用无穷小量的等价代换简化计算过程。评注 本题为基本题型，综合考查了不定积分、无穷小量等价代换和洛必达法则等多个知识点。16.设 （分数：10.00）_正确答案：(因为 f_(0)=c，f +(0)=0，f(0)=c，又因为 f(x)在 x=0 连续，所以 c=0，又因为*所以 b=1，且*因为 f_(0)=1，f +(0)=1，f(0)=1，所以 b=1，c=0 时，f(x)在 x=0 处连续，又因为*所以 2a-1，即*时，f(x)在 x=0 处二阶不可导，综上所述，*b=1，c=0 为所求之值。)解析：17.设 具有连续二阶偏导数，且满足（分数：10.00）_正确答案：(令*则*同理*
15、代入原方程，即得*再解此二阶常系数线性非齐次微分方程，得其通解为u=C1cosr+C2sinr+r2-2故函数 u 的表达式为*其中 C1，C 2是任意常数。)解析：分析 先设*然后分别求出*代入原方程验证；最后再解微分方程。18.计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：(将正方形区域 D 用三条直线 x+y=1，x+y=2，x+y=3 分成四个区域：D 1，D 2，D 3，D 4如图 4 所示，即*于是*)解析：19.设 f(x)在区间-1，1上有三阶连续导数，证明存在实数 (-1，1)使得（分数：10.00）_正确答案：(将 f(x)在 x=0 处按泰勒公式展开，有*其中 在 0 与
16、 x 之间，令 x 分别为 1，-1，得*其中 1(-1，0)， 2(0，1)上述两式相减得*由 f(x)在 1， 2上连续，不妨设 f“(x)在 1， 2上的最大值、最小值分别为 M，m，则*根据介值定理，存在 1， 2*(-1，1)，使得*于是*f“()，即对于 (-1，1)，有*)解析：20.设 n 维列向量 1， 2， s线性无关，其中 s 是大于 2 的偶数，若矩阵A=( 1+ 2， 2+ 3， s-1+ s， s+ 1)，试求非齐次线性方程组 Ax= 1+ s的通解。（分数：11.00）_正确答案：(Ax= 1+ s ,记 x=(x1，x 2，x 3)T，则方程组化为x1( 1+
17、2)+x2( 2+ 3)+xs-1( 1+ s)+xs( s+ 1)= 1+ s整理得(x1+xs-1) 1+(x1+x2) 2+(xs-2+xs-1) s-1+(xs-1+xs-1) s=0由 1， 2， 3线性无关，得*显然与同解，下面求解：对的增广矩阵施以初等行变换得(注意 s 是偶数)*从而 r(B)=r(*)=s-1s，有无穷多解，易知特解为 0=(1，-1，1，-1，1，0) T，对应齐次方程组的基础解系为 1=(1，-1，1，-1，1，-1) T，从而的通解，即的通解为 x- 0+k，k 为任意常数。)解析：已知方程组 （分数：11.00）(1).求矩阵 A；（分数：5.50）_
18、正确答案：(*当 a=-1 及 a=0 时，方程组均有无穷多解；若 a=-1， 1=(1，-2，-1) T， 2=(-3，-1，0) T， 3=(-1，2，1) T线性相关，不合题意；当 a=0 时， 1=(1，0，-1) T， 2=(-2，-1，1) T， 3=(0，3，2) T线性无关，可作为三个不同特征值的特征向量。由 A 1， 2， 3= 1，- 2，0，知A= 1，- 2，0 1， 2， 3-1=*)解析：(2).求(E+A)x=0 的基础解系。（分数：5.50）_正确答案：(E+A)x=0*(-E-A)x 一 0，可见(E+A)x=0 的基础解系即为 2=-1 的特征向量 2=(-
19、3，-1，0) T。)解析：设二维随机变量(X，Y)的概率密度为（分数：11.01）(1).求 Z=2X+Y 的概率密度函数 fZ(z)；（分数：3.67）_正确答案：(由于*其中*如图 5 所示，故：*(1) 当 z0 或 z3 时，f Z(z)=0；(2) 当 0z1 时，有*(3) 当 1z2 时，有*(4) 当 2z3 时，有*即*)解析：(2).计算 E(X)，D(X)；（分数：3.67）_正确答案：(*又*故*)解析：(3).计算 X 与 Y 的相关系数。（分数：3.67）_正确答案：(由 x，y 在 f(x，y)中的对称性易知*而*于是*故 X 与 Y 的相关系数*)解析：评注 本题的第一问若用分布函数法计算，计算量较大，没有公式法简便。设总体 X 的分布律为（分数：11.00）(1).求 的矩估计量；（分数：5.50）_正确答案：(因为E(X)= 2+22(1-)+3(1-) 2=3-2，于是，令*为 的矩估计量。)解析：(2).求 的最大似然估计量 （分数：5.50）_正确答案：(总体 X 的分布律可以表示为*似然函数 L(x 1，x 2，x n；)=P(X=x 1)P(X=x2)P(X=xn)*于是*求导得*故由*即得 的最大似然估计量为*其中*)解析：
