1、考研数学三-239 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 (x，y)在点(0，0)处连续，且 (0，0)=0，又 f(x，y)=|x-y|(x，y)，则 f(x，y)在点(0，0)处（分数：4.00）A.不连续B.连续，但偏导数不存在C.偏导数存在，但不可微D.可微2.下列各式中正确的是（分数：4.00）A.B.C.D.3.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则（分数：4.00）A.E-A=E-BB.A 与 B 有相同的特征值和特征向量C.A 与 B 都相似于一个对角矩阵D.对任意常数 t，
2、tE-A 与 tE-B 相似4.设 则必有（分数：4.00）A.B.C.D.5.设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内有三阶连续导数，且当 x0 时，f(x)f(-x)是 x 的 3 阶无穷小则（分数：4.00）A.x=0 不是 f(x)的驻点B.x=0 是 f(x)的驻点，但不一定是拐点C.x=0 是 f(x)的极值点D.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点6.设总体 XN(，4)，X i(i=1，2，n)(n2)是取自总体 X 的一个样本， 是样本均值，则有（分数：4.00）A.B.C.D.7.对于任意两个互不相容的事件 A 与 B，以下等式中只有一个不正确，它是（分数：4.00）A.
3、B.C.D.8.设（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.若 （分数：4.00）填空项 1:_10.已知 （分数：4.00）填空项 1:_11.如果曲线 y=ax6+bx4+cx2在拐点(1，1)处有水平切线，则 a=_，b=_.（分数：4.00）填空项 1:_12.设函数 f，g 都具有一阶连续偏导数，且 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 n 阶矩阵 A 满足 AAT=E(E 是 n 阶单位矩阵，A T是 A 的转置)，若|A|0，则|A+E|= 1（分数：4.00）填空项 1:_14.同时掷两颗骰子，观察它们出现的点数，设 X 表示两颗骰子出
4、现的最大点数，则 EX=_.（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知函数 f(x)在 x=0 的某个邻域内有连续导数，且 （分数：10.00）_16.设平面区域 D=(x，y)|x 3y1，-1x1，f(x)是定义在-a，a(a1)上的任意连续函数，试求：（分数：10.00）_17.设函数 f(x)在区间0，+上可导，且 证明：存在 0，使 （分数：10.00）_18.某工厂制造某种电器，固定成本为 400 万元，每生产一件产品的成本增加 0.8 万元，交纳税金 0.2 万元如果总收益 R 是月产量 x 的函数()该厂月产量为多少时，总利润最大?最大
5、利润是多少?()如果当月产量大于 60 件时，纳税额改为总收益的 1%再加上月产量的 （分数：10.00）_19.()证明：当|x|1 时，幂级数 （分数：10.00）_20.()设 1， 2， 1， 2均是 3 维列向量，且 1， 2线性无关， 1， 2线性无关，证明存在非零向量 ，使得 既可由 1， 2线性表出，又可由 1， 2线性表出；()当 （分数：10.00）_21.设矩阵 （分数：10.00）_22.甲、乙、丙 3 个人作一次射击比赛，赛前发现只带了两发子弹，因此，将比赛改为 1 人作射击表演，并且由抽签确定表演者设每次射击的命中率甲为 0.9，乙为 0.5，丙为 0.2，且已知射
6、击结果为一次中靶一次未中，问表演者为甲、乙、丙的概率各为多少?（分数：10.00）_23.设总体 x 的概率密度函数为 其中 0 是未知参数，(X 1，X 2，X n)为取自总体 X 的简单随机样本()试求 的最大似然估计量 量；()试证 是 的无偏估计；()试求 D( （分数：14.00）_考研数学三-239 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 (x，y)在点(0，0)处连续，且 (0，0)=0，又 f(x，y)=|x-y|(x，y)，则 f(x，y)在点(0，0)处（分数：4.00）A.不连续B.连续，但偏导数不存在C.偏导
7、数存在，但不可微D.可微 解析：解析 *所以 f(x，y)在(0，0)点可微，故选 D2.下列各式中正确的是（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 *3.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则（分数：4.00）A.E-A=E-BB.A 与 B 有相同的特征值和特征向量C.A 与 B 都相似于一个对角矩阵D.对任意常数 t，tE-A 与 tE-B 相似 解析：解析 A 与 B 相似，但 A 与 B 不一定相等，可排除 A；A 与 B 相似，设存在可逆阵 P，使得 P-1AP=B，则若 A=，可推得 BP-1=p -1，显然 A 与 B 的特征向量一般
8、不相同，可排除 B；A 与 B 不一定可对角化，可排除 C；对任意常数 t，设存在可逆阵 P，使得 P-1AP=B，则 P-1(rE-A)P=tP-1P-P-1AP=tE-B即 tE-A 与 tE-B 相似故选 D4.设 则必有（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 根据矩阵作一次初等行(列)变换相当于矩阵左(右)乘相应类型的初等矩阵，故选 A5.设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内有三阶连续导数，且当 x0 时，f(x)f(-x)是 x 的 3 阶无穷小则（分数：4.00）A.x=0 不是 f(x)的驻点B.x=0 是 f(x)的驻点，但不一定是拐点 C.x=0 是 f(x)的极值
9、点D.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析 *6.设总体 XN(，4)，X i(i=1，2，n)(n2)是取自总体 X 的一个样本， 是样本均值，则有（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 *7.对于任意两个互不相容的事件 A 与 B，以下等式中只有一个不正确，它是（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 P(AB)=0，则 P(A-B)=PA-P(AB)=PA，所以 A 式正确；*8.设（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 *二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.若 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-4）解析：解析 *10.已
10、知 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-x+2）解析：解析 *解上述一阶线性微分方程得 f(x)=Cx+2，因为 f(1)=1，所以 C=-1，故 f(x)=-x+211.如果曲线 y=ax6+bx4+cx2在拐点(1，1)处有水平切线，则 a=_，b=_.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1，-3）解析：解析 由题意可得 y(1)=a+b+c=1，y(1)=6a+4b+2c=0。y“(1)=30a+12b+2=0，解上述方程组可得 a=1，b=-3，c=312.设函数 f，g 都具有一阶连续偏导数，且 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 *1
11、3.设 n 阶矩阵 A 满足 AAT=E(E 是 n 阶单位矩阵，A T是 A 的转置)，若|A|0，则|A+E|= 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 因为|A+E|=|A+AA T|=|A|E+AT|=|A|(E+A)T|=|A|E+A|，所以(1-|A|)|A+E|=0，又因为|A|0，即 1-|A|0，所以|A+E|=014.同时掷两颗骰子，观察它们出现的点数，设 X 表示两颗骰子出现的最大点数，则 EX=_.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 X 的可能取值为 1，2，3，4，5，6则*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)1
12、5.已知函数 f(x)在 x=0 的某个邻域内有连续导数，且 （分数：10.00）_正确答案：(在 x=0 的某个小邻域内，f(x)和 sinx 的一阶泰勒展开式为 f(x)=f(0)+f(0)x+o(x)，sinx=x+o(x2)*这说明分子 x1+f(0)+f(0)x2+o(x2)应是 x 的 2 阶无穷小所以有 1+f(0)=0，f(0)=2，即 f(0)=-1，f(0)=2)解析：16.设平面区域 D=(x，y)|x 3y1，-1x1，f(x)是定义在-a，a(a1)上的任意连续函数，试求：（分数：10.00）_正确答案：(*因为(x+1)f(x)+(x-1)f(-x)=xf(x)+f
13、(-x)+f(x)-f(-x)，而 f(x)+f(-x)在-1，1上是偶函数，则xf(x)+f(-x)为奇函数；f(x)-f(-x)在-1，1上是奇函数，所以(x+1)f(x)+(x-1)f(-x)在-1，1上是奇函数，即(1-x6)E(x+1)f(x)+(x-1)f(x)在-1，1上是奇函数*注：利用 y=-x3把 D 分成两部分 D1和 D2，计算更简洁)解析：17.设函数 f(x)在区间0，+上可导，且 证明：存在 0，使 （分数：10.00）_正确答案：(*(1)若 F(1)=0，则由罗尔定理必有 (0，1)，使 F()=0(2)若 F(1)0，则由*可知存在 x0(1+)使得 F(x
14、1)*从而由介值定理可知存在 x1(0，1)和x2(1，x 0)使得 F(x1)=*于是由罗尔定理可知存在 (x 1，x 2)使 F()=0)*)解析：18.某工厂制造某种电器，固定成本为 400 万元，每生产一件产品的成本增加 0.8 万元，交纳税金 0.2 万元如果总收益 R 是月产量 x 的函数()该厂月产量为多少时，总利润最大?最大利润是多少?()如果当月产量大于 60 件时，纳税额改为总收益的 1%再加上月产量的 （分数：10.00）_正确答案：(总成本函数为 C=C(x)=400+0.8x()总利润为 L=L(x)-R(x)-C(x)-0.2x*于是*令 L=0，可解得唯一驻点 x
15、=58*故当 x=58 时利润最大，最大利润为 L(58)=441(万元)()总税金为*总利润为*令 L=0，可解得唯一驻点 x=58则最大利润仍在 x=58 时取得，从而最大利润时的税金为0.258=11.6(万元)，产量为 80 件时的总税金为*)解析：19.()证明：当|x|1 时，幂级数 （分数：10.00）_正确答案：(因为*则收敛半径 r=1，所以当|x|1 时，幂级数*收敛*)解析：20.()设 1， 2， 1， 2均是 3 维列向量，且 1， 2线性无关， 1， 2线性无关，证明存在非零向量 ，使得 既可由 1， 2线性表出，又可由 1， 2线性表出；()当 （分数：10.00
16、）_正确答案：(四个 3 维向量 1， 2， 1， 2必线性相关，故知存在不全为零的常数 k1，k 2， 1， 2，使得 k1 1+k2 2+ 1 1+ 2 2=0，即 k1 1+k2 2=- 1 1- 2 2其中 k1，k 2不全为零(否则，由*这和 k1，k 2， 1， 2不全为零相矛盾)令 =k 1 1+k2 2=- 1 1- 2 20，则 即为所求()由(I)知，=k 1 1+k2 2=- 1 1- 2 2得 k1 1+k2 2+ 1 1+ 2 2=0解方程组可得方程的通解为(k 1，k 2， 1， 2)=k(1，0，-5，-3) T，故所求向量为*其中 k 为任意常数)解析：21.设
17、矩阵 （分数：10.00）_正确答案：()因为 3 为矩阵 A 的特征值， 所以|3E-A|=0， 即*是对称矩阵*)解析：22.甲、乙、丙 3 个人作一次射击比赛，赛前发现只带了两发子弹，因此，将比赛改为 1 人作射击表演，并且由抽签确定表演者设每次射击的命中率甲为 0.9，乙为 0.5，丙为 0.2，且已知射击结果为一次中靶一次未中，问表演者为甲、乙、丙的概率各为多少?（分数：10.00）_正确答案：(设 A1，A 2，A 3分别表示甲、乙、丙作射击表演的事件，B 表示一次中靶，一次未中的事件，则由题意可得*即已知射击结果为一次中靶一次未中，表演者为甲、乙、丙的概率为 0.18，0.5，0.32)解析：23.设总体 x 的概率密度函数为 其中 0 是未知参数，(X 1，X 2，X n)为取自总体 X 的简单随机样本()试求 的最大似然估计量 量；()试证 是 的无偏估计；()试求 D( （分数：14.00）_正确答案：(似然函数*两边取对数得*)解析：
