1、考研数学三-238 及答案解析(总分：149.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 0 的常数，则 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设函数 f(x)在(-，+)内有定义，x 00 是函数 f(x)的极大值点，则（分数：4.00）A.x0必是 f(x)的驻点B.-x0必是-f(x)的极小值点C.-x0必是-f(-x)的极小值点D.对一切 x均有 f(x)f(x 0)3.设 f(x)是奇函数，且 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 A为 n阶矩阵，秩（分数：4.00）A.=n-3，且 1， 2， 3是 Ax=0的三个线性无关的解向量，则下列各组中
2、为 Ax=0的基础解系的是(A) 1- 2， 2- 3， 3- 1B. 1+ 2， 2+ 3， 1+2 2+ 3C. 1+2 2，2 2+3 3，3 3+ 1D. 1- 2，3 2+ 3，- 1-2 2- 35.设 D：x 2+y21，y0；D 1：x 2+y21，x0，y0，则（分数：4.00）A.B.C.D.6.设随机变量 X，Y 同分布，概率密度为且 ，则 a的值为（分数：4.00）A.B.C.D.7.设连续型随机变量 X的概率密度函数 f(x)是一个偶函数，F(x)为 X的分布函数，则对任意实数 xR，有 F(-x)+F(x)等于（分数：4.00）A.0B.1C.2D.-18.设若 （
3、分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_10.差分方程 （分数：4.00）填空项 1:_11. （分数：4.00）填空项 1:_12.设 z=z(x，y)是由方程 确定的隐函数，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.已知 A、B 为三阶矩阵， （分数：4.00）填空项 1:_14.已知二次型 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：93.00)15.计算 ，其中 （分数：10.00）_16.设 f(x)=e -x+x2-x，若对一切 x0，常数 最小应取什么值时，恒有 f(x)1（分数：1
4、0.00）_17.证明：当 x0 时，有不等式(1+x)ln(1+x)arctanx（分数：10.00）_18.设函数 f(x)在0，1上连续，并设 ，试求 （分数：10.00）_设 P(x)=x3+ax2+bx+c，设方程 P(x)=0有三个相异的实根 x1，x 2，x 3，且 x1x 2x 3，试证：（分数：10.00）(1).P(x1)0，P(x 2)0，P(x 3)0；（分数：5.00）_(2).若 ，则存在点 (x 1，x 2)，使 （分数：5.00）_19.设 ， 为三维单位列向量，并且 T=0，若设 A= T+ T，则必有非零列向量 x，使得 Ax=0，并且 A与 （分数：10.
5、00）_已知三阶矩阵 B0，且 B的每一个列向量都是以下方程组的解（分数：11.00）(1).求 的值；（分数：5.50）_(2).证明：|B|=0（分数：5.50）_20.向直线上掷随机点，已知随机点落入 H1=(-，0)，H 2=(0，1和 H3=(1，+)的概率分别等于0.2，0.5 和 0.3，并且随机点在(0，1上分布是均匀的，假设随机点落入(-，0)得 0分，落入(1，+)得 1分，落在区间(0，1的 x点得 x分，以 X表示得分，试求 X的分布函数（分数：11.00）_设随机变量 Y服从参数为 =1 的泊松分布，随机变量 （分数：11.00）(1).X0与 X1的联合分布律；（分
6、数：5.50）_(2).E(X0+X1)（分数：5.50）_考研数学三-238 答案解析(总分：149.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 0 的常数，则 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：*因此*条件收敛，即选(B)2.设函数 f(x)在(-，+)内有定义，x 00 是函数 f(x)的极大值点，则（分数：4.00）A.x0必是 f(x)的驻点B.-x0必是-f(x)的极小值点C.-x0必是-f(-x)的极小值点 D.对一切 x均有 f(x)f(x 0)解析：由于 f(x)在 x0处未必可导，故(A)不可取；显然(D)项不合极大值点的定义；又由
7、于-f(x)的图形与f(x)的图形关于 x轴对称，若-x 0是-f(x)的极小值点，则-x 0必是 f(x)的极大值点，但本题无此条件，故(B)项也不可取，因此，只能选 C项3.设 f(x)是奇函数，且 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：由题设有 f(0)=0，于是*可见 y=f(x)在 x=0的切线平行于 x轴，所以应选(C)4.设 A为 n阶矩阵，秩（分数：4.00）A.=n-3，且 1， 2， 3是 Ax=0的三个线性无关的解向量，则下列各组中为 Ax=0的基础解系的是(A) 1- 2， 2- 3， 3- 1B. 1+ 2， 2+ 3， 1+2 2+ 3C. 1+2 2，2 2+
8、3 3，3 3+ 1 D. 1- 2，3 2+ 3，- 1-2 2- 3解析：由题设，每组向量均为 Ax=0的解向量，只需找出一组线性无关的向量即可对于(A)、(B)、(D)三项有1( 1- 2)+1( 2- 3)+1( 3- 1)=0，1( 1+ 2)+1( 2+ 3)+(-1)( 1+2 2+ 3)=0，1( 1- 2)+1(3 2+ 3)+1(- 1-2 2- 3)=0，即(A)、(B)、(D)项中三组向量均线性相关，而由定义易证(C)项中向量组线性无关5.设 D：x 2+y21，y0；D 1：x 2+y21，x0，y0，则（分数：4.00）A.B.C. D.解析：积分区域 D关于 y轴
9、对称，而被积函数 y=|x|为偶函数，故*6.设随机变量 X，Y 同分布，概率密度为且 ，则 a的值为（分数：4.00）A. B.C.D.解析：由题设*于是*7.设连续型随机变量 X的概率密度函数 f(x)是一个偶函数，F(x)为 X的分布函数，则对任意实数 xR，有 F(-x)+F(x)等于（分数：4.00）A.0B.1 C.2D.-1解析：*8.设若 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：易验证当 =1，t=1 时，*二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2lnx）解析：*10.差分方程 （分数：4.00）填空项 1:_
10、（正确答案：*）解析：将原方程改写为*，用公式，该方程有特解*故原方程的通解为*11. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*12.设 z=z(x，y)是由方程 确定的隐函数，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：由已知 x=lnz-lny，两边对 x求偏导，得*13.已知 A、B 为三阶矩阵， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：等式(A *)-1B=ABA+2A2两边同时左乘 A*，得B=A*ABA+2A*A2=|A|BA+2A=-3BA-6A，即 BE+3A=-6A，从而*14.已知二次型 （分数：4.00）填空项 1:_ （
11、正确答案：*）解析： 的概率密度为*，二次型对应矩阵为*，由 A正定的充要条件是其所有顺序主子式全大于零，得 1- 20因此所求概率为*三、解答题(总题数：9，分数：93.00)15.计算 ，其中 （分数：10.00）_正确答案：(变换积分次序：*)解析：16.设 f(x)=e -x+x2-x，若对一切 x0，常数 最小应取什么值时，恒有 f(x)1（分数：10.00）_正确答案：(在(0，+)内若 f(x)=e -x+x2-x1，即 (1+x+x 2)ex记 g(x)=(1+x-x 2)ex，g(x)=(2-x-x 2)ex，令 g(x)=0，得 x=1是 g(x)在(0，+)内唯一驻点，且
12、 g(1)=e，又*故 g(1)=e是 g(x)在(0，+)内最大值，即 e(1+x-x 2)ex，x(0，+)于是当 e 时，有(1+x-x 2)ex，x(0，+)即 最小取 e时，在(0，+)内恒有 2e-x+x2-x1)解析：17.证明：当 x0 时，有不等式(1+x)ln(1+x)arctanx（分数：10.00）_正确答案：(构造辅助函数 f(x)=(1+x)ln(1+x)-arctanx显然，f(x)在 x0 时连续，且 f(x)=0，又*因为*，故一阶导函数 f(x)在 x0 时严格单调增加，则有 f(x)f(0)=0，进而知函数 f(x)在 x0时严格单调增加，所以当 x0 时
13、，有 f(x)f(0)=0，即原不等式成立)解析：18.设函数 f(x)在0，1上连续，并设 ，试求 （分数：10.00）_正确答案：(所求积分中，*无法计算，可考虑更换积分次序，但改变积分次序后，*仍无法计算，再考虑利用定积分对积分变量的无关性，将积分向已知积分*转化*于是*故*)解析：设 P(x)=x3+ax2+bx+c，设方程 P(x)=0有三个相异的实根 x1，x 2，x 3，且 x1x 2x 3，试证：（分数：10.00）(1).P(x1)0，P(x 2)0，P(x 3)0；（分数：5.00）_正确答案：(由题设 P(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)，P(x)=(x-x2)
14、(x-x3)+(x-x1)(x-x3)+(x-x2)(x-x2)，P(x1)=(x1-x2)(x1-x3)0，P(x2)=(x2-x1)(x2-x3)0，P(x3)=(x3-x1)(x3-x2)0)解析：(2).若 ，则存在点 (x 1，x 2)，使 （分数：5.00）_正确答案：(令*(因在(x 2，x 3)内 P(x)0)，(x)连续，由介值定理，存在 (x 1，x 2)，使*)解析：19.设 ， 为三维单位列向量，并且 T=0，若设 A= T+ T，则必有非零列向量 x，使得 Ax=0，并且 A与 （分数：10.00）_正确答案：(考虑线性方程组*其系数矩阵秩为 2，故必有非零解 x，使
15、 Tx=0， Tx=0这样可使 Ax=( T+ T)x=0事实上，A=，A=，Ax=0X，故 =1，1，0 是 A的特征值相应有线性无关的特征向量，x 从而有可逆矩阵 P=，x使 p-1AP=A，其中*)解析：已知三阶矩阵 B0，且 B的每一个列向量都是以下方程组的解（分数：11.00）(1).求 的值；（分数：5.50）_正确答案：(因为 B0，故 B中至少有一个非零列向量，于是，推出所给齐次线性方程组有非零解，故其系数矩阵的秩 r(A)3，于是有子式*)解析：(2).证明：|B|=0（分数：5.50）_正确答案：(因为 B的每一列向量都是方程组的解，故有 AB=0，由 A0，必有|B|=0
16、事实上，若|B|0，则B 可逆，在 AB=0两边右乘 B-1，得 ABB-1=0B-1，即有 A=0，这与 A0 的事实矛盾，故|B|=0)解析：20.向直线上掷随机点，已知随机点落入 H1=(-，0)，H 2=(0，1和 H3=(1，+)的概率分别等于0.2，0.5 和 0.3，并且随机点在(0，1上分布是均匀的，假设随机点落入(-，0)得 0分，落入(1，+)得 1分，落在区间(0，1的 x点得 x分，以 X表示得分，试求 X的分布函数（分数：11.00）_正确答案：(以 Hi(i=1，23)表示事件“随机点落入区域 Hi上”，那么P(H1)=0.2，P(H 2)=0.5，P(H 3)=0
17、.3，*由全概率公式，得*)解析：设随机变量 Y服从参数为 =1 的泊松分布，随机变量 （分数：11.00）(1).X0与 X1的联合分布律；（分数：5.50）_正确答案：(P(X 0=0，X 1=0)=P(Y0，Y1)=P(Y0)=P(Y=0)=e -1，P(X0=1，X1=0)=P(Y0，Y1)=P(Y=1)=e -1P(X0=0，X 1=1)=P(Y0，Y1)=0，P(X0=1，X 1=1)=P(Y0，Y1)=P(Y1)=1-P(Y=0)=P(Y=1)=1-2e-1所以联合分布律为*)解析：(2).E(X0+X1)（分数：5.50）_正确答案：(E(X 0+X1)=E(X0)+E(X1)=1-e-1+1-2e-1=2-3e-1)解析：
