1、考研数学三-237 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x)在 x=x0的某领域内存在二阶导数，且 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 x=rcos，y=rsin，则极坐标系(r，)中的累次积分 f(rcos，rsin)dr 可化为直角坐标系(x，y)中的累次积分_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 p(x)，q(x)，f(x)均是 x的连续函数，y 1(x)，y 2(x)，y 3(x)是 y“+p(x)y+q(x)y=f(x)的 3个线性无关
2、的解，C 1与 C2是两个任意常数，则该非齐次方程对应的齐次方程的通解是_ A.C1y1+(C2+C1)y2+(1-C2)y3 B.(C1-C2)y1+(C2-1)y2+(1-C1)y3 C.(C1+C2)y1+(C1-C2)y2+(1-C1)y3 D.C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3（分数：4.00）A.B.C.D.5.设 n维列向量 1， 2， 3线性无关，向量 1可由 1， 2， 3线性表示，向量 2不可由 1， 2， 3线性表示，则对任意常数 k，必有_ A. 1， 2， 3，k 1+ 2线性无关 B. 1， 2， 3，k 1+ 2线性相关 C. 1， 2， 3， 1+k 2
3、线性无关 D. 1， 2， 3， 1+k 2线性相关（分数：4.00）A.B.C.D.6.下列各组矩阵相似的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 A，B 为随机事件，已知 P(A)= ，P(B|A)= ，P(A|B)= ，则 P(AB)=_ AB C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 X1，X 2，X n，为独立同分布的随机变量序列，且均服从参数为 (1)的指数分布，记 (x)为标准正态分布函数，则_A BC D （分数：4.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.=_ （分数：4.00）填空项 1:_10.设 f(x)是
4、连续函数，满足 f(x)= （分数：4.00）填空项 1:_11.设函数 f(t)有二阶连续的导数， ，则 （分数：4.00）填空项 1:_12.设 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 （分数：4.00）填空项 1:_14.设总体 XN(，2 2)，X 1，X 2，X n为取自总体的一个样本， 为样本均值，要使 E( （分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.已知 f(0)存在，求满足 （分数：10.00）_16.求由方程 2x2+2y2+z2+8xz-z+8=0所确定的函数 z(x，y)的极值，并指出是极大值还是极小值。（分数：10.00）_
5、17.设 f(x)，g(x)在a，b上二阶可导，g“(x)0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，证明： ()g(x)0，任意 x(a，b)； ()存在 (a，b)，使 （分数：10.00）_18.设 f(x)连续，F(x)= （分数：10.00）_19.求幂级数 的收敛域及和函数，并求级数 （分数：10.00）_20.设方程组 （分数：11.00）_21.设二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1-x2)2+(x1-x3)2+(x3-x2)2，()求二次型 f的秩；()求正交变换 Q，使二次型 f化为标准形（分数：11.00）_22.设(X，Y)的概率密度为 （分数：11.00）_
6、23.设(X，Y)的分布律为F(x，y)为(X，Y)的分布函数，若已知 Cov(X，Y)= （分数：11.00）_考研数学三-237 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 曲线的渐近线 解析 利用水平铅直、斜渐近线的定义分别计算即可 解：当 x时，*，故不存在水平渐近线 当 x=0时，*无定义，且* 则 x=0为曲线*的铅直渐近线 又因为* 所以有斜渐近线 y=x，则曲线*既有铅直渐近线，又有斜渐近线 故应选 D2.设 f(x)在 x=x0的某领域内存在二阶导数，且 （分数：
7、4.00）A.B. C.D.解析：考点 曲线的凹凸性解析 判定二阶导数 f“(x)的符号，再由凹凸性的判定方法即得结论解：由极限的保号性，因为*，知存在 x0的去心邻域*，使当*，于是，当 x*且 xx 0时，f“(x)0，曲线 y=f(x)是凸的当 x*且 xx 0时，f“(x)0，曲线 y=f(x)是凹的故应选 B3.设 x=rcos，y=rsin，则极坐标系(r，)中的累次积分 f(rcos，rsin)dr 可化为直角坐标系(x，y)中的累次积分_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 直角坐标系和极坐标系下累次积分的转换 解析 先写出直角坐标系下的二重积分形式
8、，再展开为累次积分 解：由题意知* 其中积分区域 D在极坐标系 F的不等式形式为* 在直角坐标系下的形式为(如下图所示)：* * 故应选 B * 部分同学可能没有注意到 f(rcos，rsin)drd应化为*，而错误化为 f(x，y)dxdy，导致错选 A应牢记 dxdy=rdrd4.设 p(x)，q(x)，f(x)均是 x的连续函数，y 1(x)，y 2(x)，y 3(x)是 y“+p(x)y+q(x)y=f(x)的 3个线性无关的解，C 1与 C2是两个任意常数，则该非齐次方程对应的齐次方程的通解是_ A.C1y1+(C2+C1)y2+(1-C2)y3 B.(C1-C2)y1+(C2-1)
9、y2+(1-C1)y3 C.(C1+C2)y1+(C1-C2)y2+(1-C1)y3 D.C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 二阶线性微分方程解的结构与性质 解析 利用二阶线性微分方程解的结构与性质结论即可得到答案 解：根据题意及线性微分方程解的性质与结构，只要判定选项 A、B、C、D 中的组合系数即可 若组合系数中有两个任意常数，且组合系数之和为零的表示式即为对应的齐次方程的通解，选项B即满足这两条，是对应的齐次方程的通解 故应选 B5.设 n维列向量 1， 2， 3线性无关，向量 1可由 1， 2， 3线性表示，向量 2不可由 1， 2
10、， 3线性表示，则对任意常数 k，必有_ A. 1， 2， 3，k 1+ 2线性无关 B. 1， 2， 3，k 1+ 2线性相关 C. 1， 2， 3， 1+k 2线性无关 D. 1， 2， 3， 1+k 2线性相关（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 向量组线性关系的判别解析 对于抽象的向量组可以用定义法，也可以用排除法解：设有一组数字 1， 2， 3， 4，满足 1 1+ 2 2+ 3 3+ 4(k 1+ 2)=0，若 4=0，则有条件 1= 2= 3=0，从而推出 1， 2， 3，k 1+ 2线性无关若 40，则 k 1+ 2可由 1， 2， 3线性表示，而 1可由 1， 2，
11、 3线性表示，故 2也可由 1， 2， 3线性表示，矛盾，所以， 4=0，从而 A正确对于其余三个选项，也可用排除法当 k=0时，可排除 B、C；当是 k=1时，可排除 D故应选 A6.下列各组矩阵相似的是_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 矩阵的相似判定 解析 利用相似的传递性直接证明 B中矩阵相似，或者利用相似的必要条件排除错误选项 解：因为相似矩阵的秩相等，由*的秩为 1，而*的秩为 2，故 A中的矩阵不能相似 因为相似矩阵的行列式的值相等，由于*，故 C中的矩阵不相似 因为相似矩阵的特征值相同，所以它们的迹相等由于*的对角线元素之和为 6，而*的对角元素
12、之和为 4，故 D中的矩阵不相似因此只能选 B 事实上，*都与对角矩阵*相似，因而*相似 故应选 B7.设 A，B 为随机事件，已知 P(A)= ，P(B|A)= ，P(A|B)= ，则 P(AB)=_ AB C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 考查概率公式 解析 利用条件概率公式及广义加法求概率 解：P(AB)=P(A)P(B|A)=*， 由* 则 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=* 故应选 D8.设 X1，X 2，X n，为独立同分布的随机变量序列，且均服从参数为 (1)的指数分布，记 (x)为标准正态分布函数，则_A BC D （分数：4.00）A.B.C
13、. D.解析：考点 考查中心极限定理 解析 利用指数分布的期望、方差并结合中心极限定理计算 解：由题设，*，于是* 又因为*，根据中心极限定理，知其极限分布服从标准正态分布 故应选 C二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.=_ （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 未定式的极限 解析 利用有理化变换转化未定式，再利用无穷小等价代换或直接用洛必达法则即可 解：* 故应填*10.设 f(x)是连续函数，满足 f(x)= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 求函数表达式与定积分的计算解析 通过计算定积分求函数表达式解：设*f(x)dx=
14、a，则 f(x)=3x2-a-2，从而*即*，则 f(x)=*故应填*11.设函数 f(t)有二阶连续的导数， ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 多元函数的高阶偏导数 解析 先求一阶偏导数，再求二阶偏导数即可 解：因为*，则 * 利用对称性可得 * 于是有 * 故应填* 在对*对 x求偏导数时，不少同学没意识到*仍是 x，y 的函数，仍要用复合函数的链导法则来求，错误地求为*而正确求法为：*12.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：考点 分段函数的高阶导数解析 先求一阶导数 f(x)，再用导数定义计算 f“(0)解：当 x0 时，f(x
15、)=2e 2x；当 x0 时，f(x)=2ax+2；由于 f“(0)存在，则 f(x)在 x=0处连续，且*，则*则*故 f“+(0)=f“-(0)，即 a=2故应填 213.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：n!）解析：考点 行列式按一行(列)展开公式解析 利用公式Dn=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin，0=ai1Aj1+ai2Aj2+ainAin(ij)解：因第一行元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值，所以1A11+1A12+1A1n=Dn=n!因第一行元素与第 i行(i2)对应元素的代数余子式乘积之和等于零，所以1Ai1+1Ai2+1Ain=0故所有元素
16、代数余子式之和为 n!故应填 n!本题主要错误在于只求出第 1行元素代数余子式之和，而未能利用公式0=ai1Aj1+ai2Aj2+ainAin(ij)求得其他元素的代数余子式之和14.设总体 XN(，2 2)，X 1，X 2，X n为取自总体的一个样本， 为样本均值，要使 E( （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：40）解析：考点 考查样本容量 解析 求出统计量的期望并得到样本容量 n * 故 n40 故应填40三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.已知 f(0)存在，求满足 （分数：10.00）_正确答案：(解：因为*，令 x=y=0，得 f(0)=0 * 变形为*
17、，两边从 0到 x积分得 arctanf(x)=f(0)x，于是 f(x)=tanf(0)x)解析：考点 函数的表达式及导数定义、微分方程 解析 首先利用导数定义建立微分方程，然后解微分方程即可16.求由方程 2x2+2y2+z2+8xz-z+8=0所确定的函数 z(x，y)的极值，并指出是极大值还是极小值。（分数：10.00）_正确答案：(解：令 F(x，y，z)=2x 2+2y2+z2+8xz-z+8，则令*解得 y=0，4x+8z=0，代入 2x2+2y2+z2+8xz-z+8=0，联立解得两组解(x1，y 1，z 1)=(-2，0，1)；(x 2，y 2，z 2)=*再求二阶导数并以两
18、组解分别代入对于(x 1，y 1，z 1)=(-2，0，1)点：*故 z=1为极小值对于(x 2，y 2，z 2)=*：*故*为极大值)解析：考点 多元函数的极值 解析 利用多元函数求极值的方法即可 此题为二元隐函数求极值，不少同学会在求二元隐函数一阶和二阶偏导数时出现错误因此，本题解题的关键是求对一阶、二阶偏导数，记牢、记准判定结论17.设 f(x)，g(x)在a，b上二阶可导，g“(x)0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，证明： ()g(x)0，任意 x(a，b)； ()存在 (a，b)，使 （分数：10.00）_正确答案：(证：()反证法若不然，则在(a，b)内至少存在一点
19、c，使 g(c)=0，于是由已知条件知，g(x)在a，c与c，b上满足罗尔定理条件分别应用罗尔定理，得 1(a，c)， 2(c，b)，使 g( 1)=0，g( 2)=0，于是 g(x)在 1， 2上满足罗尔定理条件，进一步应用罗尔定理，存在 ( 1， 2)*(a，b)，使g“()=0，这与条件 g“(x)0，x(a，b)矛盾故 g(x)0，x(a，b)()令 F(x)=f(x)g(x)-f(x)g(x)，则 F(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 F(a)=F(b)=0，满足罗尔定理条件对 F(x)应用罗尔定理，于是存在 (a，b)，使 F()=0，即F()=f(x)g(x)+f(x)
20、g“(x)-f(x)g(x)-f“(x)g(x)*=f()g“()-f“()g()=0，由于 g()0，g“()0，所以*)解析：考点 微分中值定理的应用 解析 ()可采用反证法；()构造辅助函数 F(x)=f(x)g(x)-f(x)g(x)，应用罗尔定理即可得证18.设 f(x)连续，F(x)= （分数：10.00）_正确答案：(证：* 令 2a-t=y，则* 故*)解析：考点 定积分等式的证明 解析 利用定积分的可加性以及换元积分法和分部积分法由左端推导右端即可19.求幂级数 的收敛域及和函数，并求级数 （分数：10.00）_正确答案：(解：*，则 *，幂级数绝对收敛； *，幂级数发散；
21、*，幂级数为*发散 所以，幂级数的收敛域为* 令*，则* 上式两端求导得* 即* 当*，即*)解析：考点 幂级数的收敛域及和函数 解析 先求收敛域，然后利用幂级数和函数逐项积分性质，即可求得和函数 有的同学如下求解：因为*，即得收敛半径为 R=2，又因当 x=2时幂级数发散，得收敛域为(-2，2)这种做法是错误的，因为缺项幂级数收敛域的求法应按函数项级数的方法求解，否则容易出错20.设方程组 （分数：11.00）_正确答案：(解：由题意知*即*记*，则有 AB=C又因为*，矩阵 B可逆，从而*对上式两边同时右乘 B-1，得*)解析：考点 已知线性方程组的解，反求系数矩阵 解析 将方程组的解代入
22、矩阵表达式，从而得到矩阵方程21.设二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1-x2)2+(x1-x3)2+(x3-x2)2，()求二次型 f的秩；()求正交变换 Q，使二次型 f化为标准形（分数：11.00）_正确答案：(由于 f=2x12+2x22+2x32-2x1x2-2x2x3-2x1x3，二次型对应的矩阵为 A，则有*所以矩阵 A的秩为 2()记二次型 f的矩阵为 A，则*可知 1=0， 2= 3=3又 1=0,特征向量 1(1，1，1，) T，将 1单位化后得* 2= 3=3时，特征向量 2=(-1，1，0) T， 3=(-1，0，1) T，对 2， 3施行施密特正交化得 2= 2
23、=(-1，1，0) T，*再将 2， 3单位化，得*故正交变换矩阵*)解析：考点 二次型的标准化解析 先写出二次型的矩阵，进而求矩阵的秩、特征值和单位正交的特征向量本题有以下错误解法：令*，则 f=y12+y22+y32，故秩为 3错误原因：变量替换*不可逆22.设(X，Y)的概率密度为 （分数：11.00）_正确答案：(解：()由题可得，*因为 f(x，y)=f X(x)fY(y)，故 X，Y 相互独立()*()*)解析：考点 考查二维连续型随机变量的概率密度 f(x，y)解析 利用联合分布与边缘分布的关系判断独立性，用一般方法或公式求 fZ(z)及 PZ3)23.设(X，Y)的分布律为F(x，y)为(X，Y)的分布函数，若已知 Cov(X，Y)= （分数：11.00）_正确答案：(解：()*因为*，所以 a+b=*，从而 c=*Cov(X，Y)=E(XY)=E(X)E(Y)=*而已知 Cov(X，Y)=*()E(X 2+Y2)=*)解析：考点 考查二维离散型随机变量解析 由分布律性质及已知条件求出 a，b，c，然后利用分布律求 E(X2+Y2)
