1、考研数学三-232 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.下列各式中正确的是_ （分数：4.00）A.B.C.D.2.函数 f(x)在 x=0 处可导，且 f(0)=0，f(0)=1，设 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 ，则 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 y=y(x)是二阶常系数微分方程 y+Py+qy=e 2x满足初始条件 y(0)=y(0)=0 的特解，则当 x0 时，函数 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设向量组 1， 2， 3线性无关，若存在常数 l，m，使得 l 2- 1，m 3- 2，
2、1- 3线性无关，则_ A.lm=1 B.lm1 C.lm=2 D.lm2（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 A，B 为 n 阶矩阵，考虑以下命题：若 A，B 为等价矩阵，A，B 的行向量组等价若行列式|A|=|B|，则 A，B 为等价矩阵若 Ax=0 与 Bx=0 都只有零解，则 A，B 为等价矩阵若 A，B 为相似矩阵，则 Ax=0 与 Bx=0 的解空间的维数相同以上命题中正确的是_ A. B. C. D.（分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 XN(1，2)，YN(2，2)，ZN(3，7)，记 a=PXY，b=PYZ，则有_ A.ab B.ab
3、 C.a=b D.a，b 的大小关系不能确定（分数：4.00）A.B.C.D.8.设总体 XN(，4)，X i(i=1，2，n)(n2)是取自总体 X 的一个样本， 是样本均值，则有_（分数：4.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.已知 （分数：4.00）填空项 1:_10.z=f(u，x，y)，u=x 2ey，其中 f 具有连续的二阶偏导数，则 （分数：4.00）填空项 1:_11.如果曲线 y=ax6+bx4+cx2在拐点(1，1)处有水平切线，则 a=_，b=_，c=_（分数：4.00）填空项 1:_12.设 n 阶矩阵 A 满足 AAT=E(E 是
4、 n 阶单位矩阵，A T是 A 的转置)，若|A|0，则|A+E|= 1.（分数：4.00）填空项 1:_13.同时掷两颗骰子，观察它们出现的点数，设 X 表示两颗骰子出现的最大点数，则 E(X)=_.（分数：4.00）填空项 1:_14.设总体 X 的方差为 1，根据来自 X 的容量为 100 的简单随机样本，测得样本均值为 5，则 X 的数学期望的置信度等于 0.95 的置信区间为 1(1.96)=0.95)（分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 f(x)在0，+)上连续，且 f(0)0，已知它在0，x上的平均值等于 f(0)与 f(x
5、)的几何平均值，求 f(x)（分数：10.00）_16.设平面区域 D=(x，y)|x 3y1，-1x1，f(x)是定义在-a，a(a1)上的任意连续函数，试求（分数：10.00）_17.计算： ，其中 D：x 2+y2ax(a0)(1)求 I(a)；(2)求 （分数：10.00）_18.某厂家生产的一种产品同时在 A，B 两个市场销售，售价分别为 p1和 p2；销售量分别为 q1和 q2；需求函数分别为 q1=3-0.5p1和 q2=2-3p2；总成本函数为 C=5+ （分数：10.00）_19.设 a0=1，a 1=-2， ， (1)证明：当|x|1 时，幂级数 （分数：10.00）_20
6、.已知矩阵 有零特征值，又矩阵 （分数：11.00）_21.设 A，B，C 都是 n 阶矩阵，A，B 各有 n 个不同的特征值，又 f()是 A 的特征多项式，且 f(B)为可逆阵求证： （分数：11.00）_22.设 A，B 为两个随机事件，且 ，令 （分数：11.00）_23.设总体 X 的概率密度为（分数：11.00）_考研数学三-232 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.下列各式中正确的是_ （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 * 因为* 所以*，故选 A2.函数 f(x)在 x=0 处可导，且 f(0)
7、=0，f(0)=1，设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 *，故选 B.3.设 ，则 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 *， 于是*，故 选 A4.设 y=y(x)是二阶常系数微分方程 y+Py+qy=e 2x满足初始条件 y(0)=y(0)=0 的特解，则当 x0 时，函数 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 *又由方程 y+py+qy=e 2x，将 x=0 代入，y(0)=1所以极限=1，故选 C.5.设向量组 1， 2， 3线性无关，若存在常数 l，m，使得 l 2- 1，m 3- 2， 1- 3线性无关，则_ A.lm=1 B.lm1 C.lm=
8、2 D.lm2（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 *，当 1， 2， 3线性无关时，若 l 2- 1，m 3- 2， 1- 3线性无关，则*，即lm1，故选 B.6.设 A，B 为 n 阶矩阵，考虑以下命题：若 A，B 为等价矩阵，A，B 的行向量组等价若行列式|A|=|B|，则 A，B 为等价矩阵若 Ax=0 与 Bx=0 都只有零解，则 A，B 为等价矩阵若 A，B 为相似矩阵，则 Ax=0 与 Bx=0 的解空间的维数相同以上命题中正确的是_ A. B. C. D.（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 A，B 等价推不出 A，B 的行向量组等价，如*，A，B 等价，
9、但 A，B 行向量组并不等价可排除 A. 若|A|=|B|，但 r(A)未必与 rB 相等可排除 B，C. 故选 D.7.设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 XN(1，2)，YN(2，2)，ZN(3，7)，记 a=PXY，b=PYZ，则有_ A.ab B.ab C.a=b D.a，b 的大小关系不能确定（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 X-YN(-1，4)，Y-ZN(-1，9)，于是 aPXY= * 而 (x)单调增加，所以ab故选 A.8.设总体 XN(，4)，X i(i=1，2，n)(n2)是取自总体 X 的一个样本， 是样本均值，则有_（分数：4.00）A. B.C.D.
10、解析：解析 因为*，所以 P|X-|*， * 由于*，所以*故选 A二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.已知 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-x+2）解析：解析 令 u=tx，则 du=xdt，当 t=0 时，u=0；当 t=1 时，u=x 所以*，即*上式两边求导对 x 得 f(x)=*，即*， 解上述一阶线性微分方程得 f(x)=Cx+2，因为 f(1)=1，所以 C=-1， 故 f(x)=-x+210.z=f(u，x，y)，u=x 2ey，其中 f 具有连续的二阶偏导数，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 *11.如果曲线 y
11、=ax6+bx4+cx2在拐点(1，1)处有水平切线，则 a=_，b=_，c=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1，-3，3）解析：解析 由题意可得 y(1)=a+b+c=1，y(1)=6a+4b+2c=0， y(1)=30a+12b+2=0， 解上述方程组可得 a=1，b=-3，c=312.设 n 阶矩阵 A 满足 AAT=E(E 是 n 阶单位矩阵，A T是 A 的转置)，若|A|0，则|A+E|= 1.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 因为|A+E|=|A+AA T|=|A|E+AT|=|A|(E+A)T|=|A|E+A|，所以(1-|A|)|A
12、+E|=0，又因为|A|0，即 1-|A|0，所以|A+E|=013.同时掷两颗骰子，观察它们出现的点数，设 X 表示两颗骰子出现的最大点数，则 E(X)=_.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 x 的可能取值为 1，2，3，4，5，6则* * 于是* *14.设总体 X 的方差为 1，根据来自 X 的容量为 100 的简单随机样本，测得样本均值为 5，则 X 的数学期望的置信度等于 0.95 的置信区间为 1(1.96)=0.95)（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(4.804，5.196)）解析：解析 因为 n=100 属大样本，由中心极限定理可知*近
13、似服从*，故*的置信度近似等于0.95 的置信区间为*三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 f(x)在0，+)上连续，且 f(0)0，已知它在0，x上的平均值等于 f(0)与 f(x)的几何平均值，求 f(x)（分数：10.00）_正确答案：(由题意得 *令*， 有*，两边求导，得 * 即*令*，得 * 可求得*，即*)解析：16.设平面区域 D=(x，y)|x 3y1，-1x1，f(x)是定义在-a，a(a1)上的任意连续函数，试求（分数：10.00）_正确答案：(*因为(x+1)f(x)+(x-1)f(-x)=xf(x)+f(-x)+f(x)-f(-x)，而 f(x
14、)+f(-x)在-1，1上是偶函数，则 xf(x)+f(-x)为奇函数；f(x)-f(-x)在-1，1上是奇函数，所以(x+1)f(x)+(x-1)f(-x)在-1，1上是奇函数，即(1-x6)(x+1)f(x)+(x-1)f(-x)在-1，1上是奇函数故*，即原积分为 0注：利用 y=-x3把 D 分成两部分 D1和 D2，计算更简洁)解析：17.计算： ，其中 D：x 2+y2ax(a0)(1)求 I(a)；(2)求 （分数：10.00）_正确答案：(D 关于 x 轴对称，设 D1为 D 在第一象限的部分，则(1)*(2)*)解析：18.某厂家生产的一种产品同时在 A，B 两个市场销售，售
15、价分别为 p1和 p2；销售量分别为 q1和 q2；需求函数分别为 q1=3-0.5p1和 q2=2-3p2；总成本函数为 C=5+ （分数：10.00）_正确答案：(*则收益为：R=p 1q1+p2q2，利润为：L=R-C*，问题转化为求 L 在条件*下的最大值考虑拉格朗日函数*，令*联合*解得 p1=3，p 2=4由于可能极值点唯一，且问题必存在最大值，因此当 p1=3，p 2=4 时，利润最大)解析：19.设 a0=1，a 1=-2， ， (1)证明：当|x|1 时，幂级数 （分数：10.00）_正确答案：(1)因为*，则收敛半径 r=1，所以当|x|1 时，幂级数*收敛 (2)由*可推
16、出*，则 *)解析：20.已知矩阵 有零特征值，又矩阵 （分数：11.00）_正确答案：(1)*，AX=B 有解*，由*(2)因为方程组 Ax= 1，Ax= 2，Ax= 3的通解依次为*，故矩阵方程的解为*)解析：21.设 A，B，C 都是 n 阶矩阵，A，B 各有 n 个不同的特征值，又 f()是 A 的特征多项式，且 f(B)为可逆阵求证： （分数：11.00）_正确答案：(下证 M 有 2n 个不同的特征值设 是 B 的任意特征值，则 f()是 f(B)的特征值因为f(B)为可逆阵，所以 f(B)没有零特征值，也就是说 f()不等于零，即 不是 A 的特征值，于是 A 和 B的特征值互不相同，又|M-E 2n|=*，因此，矩阵 M 有 2n 个不同的特征值，必相似于对角阵)解析：22.设 A，B 为两个随机事件，且 ，令 （分数：11.00）_正确答案：(1)*，于是* * 即* (2)由(1)可得 * 即 *)解析：23.设总体 X 的概率密度为（分数：11.00）_正确答案：(总体 x 的数学期望*，样本均值*，令*，解之，未知参数 的矩估计量为*设 x1，x 2，x n是相应于样本 X1，X 2，X n的观测值，则似然函数为*当 0x 11(i=1，2，n)时，L0，且*令*，得之 的最大似然估计值为*，从而 的最大似然估计量为*)解析：
