1、考研数学三-229 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题 lilist-style-typ(总题数：8，分数：32.00)1.已知函数 f(x)在(-，+)上二阶可导，且 f(x)0， （分数：4.00）A.B.C.D.2.设二元函数 z=z(x，y)满足 ，且 z(x，0)=x 2，z(0，y)=y，则 z(x，y)为（分数：4.00）A.B.C.D.3.设 (x)是0，1上的正值连续函数，a，b 为常数，则当区域 D=(x，y)|x 2+y21时，Aa； Bb； C(a+b)； D （分数：4.00）A.B.C.D.4.设级数 和 则 A如果 ，则 和 中至少有
2、一收敛； B如果 ，则和 中至少有一发散； C如果 ，则由 收敛可推得 收敛； D如果 ，则由 发散可推得 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A 是 n 阶实矩阵，则方程组 Ax=0 有解是方程组 ATAx =0 有解的 A.必要而非充分条件； B.充分而非必要条件； C.充分必要条件； D.既非充分又非必要条件.（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 A=( 1， 2， 3， 4)是四阶实对称矩阵，A *是它的伴随矩阵如果(1，1，0，0) T，(1，0，1，0)T和(0，0，1，1) T是方程组 A*z=0 的一个基础解系，则二次型 f(x1，x 2，x 3，x 4)=xTAx(
3、其中x=(x1，x 2，x 3，x 4)T的标准形应形如（分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X 与 Y 相互独立，都在(0，a)上服从均匀分布，则随机变量 Z=maxX，Y的概率密度为 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 XN(a， 2)，YN(b， 2)，且相互独立，现分别从总体 X 和 Y 中各抽取容量为 9 和 11 的简单随机样本，记它们的方差为 和 ，并记 ，则上述四个统计量 和 中方差最小者为（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知 f(x)是连续函数，且满足 （分数：4.00）填空项 1:_10.设二元可微函数 z=
4、z(x，y)由方程 确定，则 （分数：4.00）填空项 1:_11._. （分数：4.00）填空项 1:_12.设二阶常系数齐次线性微分方程 y+py+qy=0 有特解 y1=excosx，y 2=exsinx，则二阶常系数非齐次线性微分方程 y+py+qy=cosx 的通解为_.（分数：4.00）填空项 1:_13.设 n 阶矩阵 A 满足 AAT=E(E 是 n 阶单位矩阵)，|A|0，则|A+E|=_.（分数：4.00）填空项 1:_14.设存在常数 a，b(b0)，使得 P(Y=a+bX)=1，则随机变量 X 与 Y 的相关系数 =_.（分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(
5、总题数：9，分数：94.00)15.设函数 y=f(x)在0，+)上有连续的导数，且满足（分数：10.00）_16.设二元函数 求二重积分 （分数：10.00）_17.设 a0=1，a 1=-2， ，求幂级数 （分数：10.00）_18.设函数 f(x)在0，1上连续，证明： ()存在 (0，1)，使得 （分数：10.00）_19.某厂制造某种电器，固定成本为 400 万元，每生产一件产品成本增加 0.8 万元，总收益 R(单元：万元)是月产量 x(单位：件)的函数 并且总纳税金 T(单位：万元)是 x 的函数 （分数：10.00）_20.设 1， 2， 3， 4为四维列向量组，其中 1， 2
6、， 3线性无关， 4= 1+ 2+2 3. 已知方程组( 1- 2， 2+ 3，- 1+ 2+ 3)x=a4有无穷多解()求常数 a 的值；()对()中求得的 a 值，计算方程组的通解（分数：11.00）_21.已知矩阵 （分数：11.00）_22.设二维随机变量(x，y)的概率密度为（分数：11.00）_23.设总体 X 的概率密度为 （分数：11.00）_考研数学三-229 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题 lilist-style-typ(总题数：8，分数：32.00)1.已知函数 f(x)在(-，+)上二阶可导，且 f(x)0， （分数：4.00）A.B.
7、C. D.解析：由 f(x)在点 x=1 处连续及*知 f(1)=f(1)=0于是，由 f(x)0 知 f(x)f(1)=0(x1)，且 f(x)f(1)=0(x1)从而，当 x1 时，f(x)单调增加且大于零因此选 C应记住以下结论：设函数，(x)在点 x0处连续，且*则f(x0)=0，f(x 0)=A2.设二元函数 z=z(x，y)满足 ，且 z(x，0)=x 2，z(0，y)=y，则 z(x，y)为（分数：4.00）A. B.C.D.解析：对*两边关于 y 积分得* (1)特别有* (2)对 z(x，0)=x 2两边关于 x 求导得* (3)于是，由式(2)，式(3)得 (x)=2x，将
8、它代入式(1)得*从而，上式两边关于 x 积分得* (4)特别有*，故由题设 z(0，y)=)，得*将它代入式(4)得 z(x，y)=*因此选 A在不定积分中，对 f(x)的原函数 F(x)有*(其中 C 是任意常数)对 g(x，y)关于 x 的原函数 G1(x，y)有*(其中 (y)是 y 的任意函数)，同样，对 g(x，y)关于 y 的原函数 G2(x，y)有*(其中*是 x 的任意函数)3.设 (x)是0，1上的正值连续函数，a，b 为常数，则当区域 D=(x，y)|x 2+y21时，Aa； Bb； C(a+b)； D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：由于 D 关于直线 y=x
9、 对称，所以 * (1) 即* * 所以*因此本题选 D 式(1)证明如下： 由于 D 关于直线 y=x 对称，函数*在对称点(x，y)与(y，x)处的值互为相反数，所以 * 从而*4.设级数 和 则 A如果 ，则 和 中至少有一收敛； B如果 ，则和 中至少有一发散； C如果 ，则由 收敛可推得 收敛； D如果 ，则由 发散可推得 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考虑选项 B. 如果*与*都收敛，则 * 这与*矛盾，故*与*中至少有一发散，因此选B 可用例子说明选项 A、C 及 D 都不能选 设*，则*，但*都发散，所以 A 不能选， 设*，则*，但*收敛，而*发散，所以 C 不能
10、选 设*，则*，但*发散，而*收敛，所以 D 不能选5.设 A 是 n 阶实矩阵，则方程组 Ax=0 有解是方程组 ATAx =0 有解的 A.必要而非充分条件； B.充分而非必要条件； C.充分必要条件； D.既非充分又非必要条件.（分数：4.00）A.B.C. D.解析：显然，Ax=0 的解 x0可使 ATAx0=0，即 x0也是方程组 ATAx=0 的解反之，设 ATAx =0 有解 ，则 TATA=0，即(A) T(A)=0 (1)设 A=(b 1，b 2，b n)T，则由 A 是实矩阵， 是实向量知 b1，b 2，b n都是实数于是由式(1)得*，从而 b1=b2=bn=0，即 A=
11、0由此可知， 也是方程 Ax=0 的解，因此选 C.题解中，在实数范围里证明了以下结论：设 A 是 n 阶矩阵，则 Ax=0 与 ATAx=0 是同解方程，由此也推得 r(ATA)=r(A)这结论可推广为：设 A 是 mn 矩阵，B 是 nl 矩阵，则 Bx=0 与 ABx=0 是同解方程组的充分必要条件是 r(AB)=r(B)6.设 A=( 1， 2， 3， 4)是四阶实对称矩阵，A *是它的伴随矩阵如果(1，1，0，0) T，(1，0，1，0)T和(0，0，1，1) T是方程组 A*z=0 的一个基础解系，则二次型 f(x1，x 2，x 3，x 4)=xTAx(其中x=(x1，x 2，x
12、3，x 4)T的标准形应形如（分数：4.00）A. B.C.D.解析：由题 r(A*)=4-3=1，从而 r(A)=4-1 =3. 所以 A 的特征值中有且仅有三个不为零，由此推得(x1，x 2，x 3，x 4)的标准形应形如*(a 1，a 2，a 3全不为零)因此选 A.题解中利用了以下两个结论：()设 A 是 n 阶矩阵，A *是它的伴随矩阵，则*()设 A 是实对称矩阵，则 A 可正交相似对角化，且对角矩阵的对角线上元素都是 A 的特征值7.设随机变量 X 与 Y 相互独立，都在(0，a)上服从均匀分布，则随机变量 Z=maxX，Y的概率密度为 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：
13、记 X 的分布函数为 G(x)，则* 记 Z 的分布函数为 F(z)，则F(z)=P(Zz)=P(maxX，Yz)=P(Xz，Yz)=P(Xz)P(Yz)(由于 X 与 Y 相互独立)=G2(z)(由于 X 与 Y 有相同的分布函数 G(z)*所以 Z 的概率密度*因此选 A.顺便指出，选项 B，D 分别是随机变量 minX，Y的概率密度与分布函数8.设 XN(a， 2)，YN(b， 2)，且相互独立，现分别从总体 X 和 Y 中各抽取容量为 9 和 11 的简单随机样本，记它们的方差为 和 ，并记 ，则上述四个统计量 和 中方差最小者为（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：由于*，所以*
14、并且*所以，四个统计量中方差最小者为*，因此选 D记住以下结论：设 X1，X 2，X n是来自总体 XN(， 2)的简单随机样本，记*则*二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知 f(x)是连续函数，且满足 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：由*得f(0)=1，5f(x)-2=f(x)-5e 5x以及 f(0)=8，所以有*令 x0，由上式得f(0)=5f(0)+55=65.）解析：本题也可解答如下：由于5f(x)-2=f(x)-5e 5x，即 y-5y=-2+5e 5x(其中 y=f(x)，所以，*将*代入上式得*，所以*y=8e 5x+25xe5x，y=65e 5x+
15、125xe5x，由此得到*10.设二元可微函数 z=z(x，y)由方程 确定，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：显然，x=y=0 时，所给方程成为*，从而 z(0，0)=0此外，所给方程两边对 x 求偏导数得 *，即*，且* 从而* *）解析：*也可以由*对 y 求偏导数算出*，然后将 x=y=0 代入计算得到但 题解中由*按定义计算*更加快捷些11._. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：由于* * 并且，*，所以由数列极限存在准则知 *）解析：数列极限存在准则是：设数列x n，y n以及z n满足 ynx nz n(n=1，2，)，且*则有*12.设二阶常系数齐
16、次线性微分方程 y+py+qy=0 有特解 y1=excosx，y 2=exsinx，则二阶常系数非齐次线性微分方程 y+py+qy=cosx 的通解为_.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：由于 y1与 y2是 y+py+qy=0 的两个线性无关的特解，所以其通解为 Y=ex(C1cosx+C2sinx)此外，y+py+qy=0 对应的特征方程有根 1+i 与 1-i，从而p=-(1+i)+(1-i)=-2，q=(1+i)(1-i)=2.由于 y+py+qy=cosx，即 y-2y+2y=cosx 应有特解y*=Acosx+Bsinx，将它代入这个非齐次线性微分方程得(A-2B)c
17、osx+(2A+B)sinx=cosx，于是有*即*，因此*从而这个非齐次线性微分方程的通解为*）解析：本题获解的关键是，由 y+py+qy=0 的两个线性无关的特解确定其通解及方程中的系数 p，q 的值它们都是按二阶常系数齐次线性微分方程的解的性质得到的13.设 n 阶矩阵 A 满足 AAT=E(E 是 n 阶单位矩阵)，|A|0，则|A+E|=_.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：由 AAT=E 知 A 可逆，且 A-1=AT，此外对 AAT=E 的两边取行列式得|A| 2=1，所以由|A|0 得|A|=-1.由于 A+E=A(E+A-1)=A(E+AT)=A(E+A)T，所以
18、，|A+E|=|A|(E+A) T|=|A|E+A|=-|E+A|，即|A+E|=0.）解析：题中的 A 是 n 阶正交矩阵正交矩阵有以下性质：设 A，B 都是 n 阶正交矩阵，则|A|=1 或-1；A 是可逆矩阵，且 A-1=AT；A 的行向量组与列向量组都是正交单位向量组；A-1，A *都是正交矩阵；AB 是正交矩阵14.设存在常数 a，b(b0)，使得 P(Y=a+bX)=1，则随机变量 X 与 Y 的相关系数 =_.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：由于存在常数 a，b(b0)，使得 P(Y=a+bX)=1所以 *即*）解析：关于随机变量 X 与 Y 的相关系数 的性质：
19、()|1； ()|=1 的充分必要条件是，存在常数 a，b(b0)，使得 P(Y=a+bX)=1， 且当 b0 时 =1，b0 时 =-1三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 y=f(x)在0，+)上有连续的导数，且满足（分数：10.00）_正确答案：(y(0)=1，此处，由*得*所以*，从而*将 y(0)=1 代入得 C=1因此*从而 y(n)=*)解析：对*求导时，必须首先将被积函数中的 x 提到积分号之外，故将它改写成 *16.设二元函数 求二重积分 （分数：10.00）_正确答案：(由于*=*(D1+D2，如图阴影部分所示)* (1)*(这是由于 D1与 D2关
20、于 x 轴对称，在对称点处 x 的值彼此相等，而 2x2y 的值互为相反数，故*所以，*)解析：*也可计算如下： * 其中，S 是正方形 OABC=(x，y)|0xa，0ya， *所以 *17.设 a0=1，a 1=-2， ，求幂级数 （分数：10.00）_正确答案：(由于* * 所以，*即*的收敛半径为 1 由于 x=-1，1 时，*分别成为 * 它们都是发散的，因此*的收敛域为(-1，1)对任意 x(-1，1)有 *)解析：计算幂级数的和函数 S(x)时，应先算出该幂级数的收敛域，即确定 S(x)的定义域18.设函数 f(x)在0，1上连续，证明： ()存在 (0，1)，使得 （分数：10
21、.00）_正确答案：()作辅助函数 * 显然它在0，1上可导，且 F(0)=F(1)(=0)，所以由罗尔定理知存在(0，1)，使得 F()=0，即* ()记*由()的证明知方程 G(x)=0 在(0，1)有实根 ，此外，由题设得 G(x)= f(x)(1-x)-2f(x)0(x(0，1)， 即函数 G(x)在(0，1)内单调增加，所以方程G(x)=0 在(0，1)内的实根是唯一的，即()中的 是唯一的)解析：的证明中，辅助函数 F(x)是按以下方法得到的： 首先将欲证等式中的 改为 x 得 * 记*则上式成为 (x)(1-x)-(x)=0，即* 解此微分方程得 * 即*所以所作辅助函数为*19
22、.某厂制造某种电器，固定成本为 400 万元，每生产一件产品成本增加 0.8 万元，总收益 R(单元：万元)是月产量 x(单位：件)的函数 并且总纳税金 T(单位：万元)是 x 的函数 （分数：10.00）_正确答案：(总成本函数 C(x)=0.8x+400，所以总利润函数为 L(x)=R(x)-C(x)-T(x) * 显然 L(x)在(0，+)上连续且 * 所以 L(x)的最大值，在0，+)上的唯一极值点 x= 58 处取到，值为 L(58)=441于是当该厂月产量 x=58 件时，总利润 L(x)最大，其值为 441 万元)解析：y=L(x)的图形如图所示 *20.设 1， 2， 3， 4
23、为四维列向量组，其中 1， 2， 3线性无关， 4= 1+ 2+2 3. 已知方程组( 1- 2， 2+ 3，- 1+ 2+ 3)x=a4有无穷多解()求常数 a 的值；()对()中求得的 a 值，计算方程组的通解（分数：11.00）_正确答案：()由于所给方程组( 1- 2， 2+ 3，- 1+ 2+ 3)x= 4即*于是，由 1， 2， 3线性无关，即( 1， 2， 3)是可逆矩阵得所给方程组的同解方程组* (1)对式(1)的增广矩阵*施行初等行变换：* (2)所以，当所给方程组有无穷多解时，r(A)=r(A)3(其中，A 是式(1)的系数矩阵)，于是由式(2)知 a-2=0，即 a=2.
24、()当 a=2 时，式(1)，即所给方程组与方程组* (3)同解，它对应的导出组通解为 C(1，-1，1) T，且式(3)有特解(1，2，0) T所以，式(3)，即所给方程组的通解为x=C(1，-1，1) T+(1，2，0) T(C 是任意常数)解析：本题获解的关键是，根据 1， 2， 3线性无关，将所给的方程组化简为同解方程组(1).21.已知矩阵 （分数：11.00）_正确答案：()记 E 为三阶单位矩阵，则由*知，A 有特征值 =-2，6(二重)，所以 A 可相似对角化时，必有r(6E-A)=3-2=1， (1)其中，*因此满足式(1)的 a=0，即 A 可相似对角化时，a=0()a=0
25、 时，*，所以*记*(实对称矩阵)，则*所以，B 有特征值 =-3，6，7设对应 =-3 的特征向量为 =(a 1，a 2，a 3)T，则 满足*即*于是取 为它的基础解系，即 =(-1，1，0) T设对应 =6 的特征向量为 =(b 1，b 2，b 3)T，则 满足*即*于是取 为它的基础解系，即 =(0，0，1) T设对应 =7 的特征向量为 y=(c1，c 2，c 3)T，则 与 ， 都正交，即*于是取 为它的基础解系，即 =(1，1，0) T， 为正交向量组，现将它们单位化：*记 Q=( 1， 2， 3)(正交矩阵)，则所求的正交变换为*它将二次型 f(x1，x 2，x 3)化为标准形
26、*)解析：用正交变换将二次型 f(x1，x 2，x 3)化为标准形，首先要将该二次型表示成 xTBx(其中 B 是实对称矩阵)，这是本题获解的关键此外应熟练掌握用正交变换化二次型 f(x1，x 2，x n)=xTBx(其中x=(x1，x 2，x n)T，B 是 n 阶实对称矩阵)为标准形的方法22.设二维随机变量(x，y)的概率密度为（分数：11.00）_正确答案：(*=3E(T2)(其中，随机变量 T 的概率密度为*=3DT+(ET)2=3(1+12)=6.)解析：由于在区域 D=(x，y)|0xy上，(minx，y) 2=x2，所以，用定义计算数学期望 E(Z2)这里顺便计算 EZ 与 DZ:*DZ=E(Z2)-(E2)2=6-22=2.23.设总体 X 的概率密度为 （分数：11.00）_正确答案：()X 的数学期望*根据矩估计法，令*，即*解此方程得 的矩估计量*()记 X1，X 2，X n的值为 x1，x 2，x n，则它的似然函数*显然 L()的最大值只能在 0x 1，x 2，x n1 内取到，所以可化简似然函数为L()=(1+) n(x1x2xn) ，0x 1，x 2，x n1取对数 lnL()=nln(1+)+ln(x 1，x 2，x n)，则由*得*所以， 的最大似然估计量为*)解析：应熟练掌握总体未知参数点估计的两种方法：矩估计法与最大似然估计法.
