1、考研数学三-228 及答案解析(总分：149.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知 =(1，3，2) T，=(1，-1，-2) T，又 A=E- T，k 是非 0 常数，则矩阵 A 的最大特征值所对应的特征向量是（分数：4.00）A.k(1，1，0) TB.k(1，-1，-2) TC.k(1，3，2) TD.k(1，5，1) T2.设 y0(x)是微分方程 y“+4y+5y=0 满足条件 y(0)=-3 与 y(0)=2 的特解，则 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 y=y(x)是由方程 y2+xy+x2-x=0 确定的满足 y(1)=-1 的
2、连续函数，则 （分数：4.00）A.B.C.D.4.在考核中，若学员中靶两次，则认定合格而停止射击，但限定每人最多只能射击三次，设事件 A=“考核合格”，B=“最多中靶一次”，C=“射击三次”，已知学员中靶率为 p(0P1)，则（分数：4.00）A.AB 与 C 独立B.BC 与 A 独立C.AC 与 B 独立D.A，B，C 相互独立5.设随机变量序列 相互独立且都服从参数为 1 的泊松分布，令（分数：4.00）A.B.C.D.6.已知 （分数：4.00）A.B.C.D.7.下列命题中正确的是（分数：4.00）A.设(x 0，f(x 0)是 y=f(x)的拐点，则 x=x0不是 f(x)的极值
3、点B.设 x=x0是 f(x)的极小值点，f(x)在 x=x0处二阶可导，则 f(x0)=0，f“(x 0)0C.若 f(x)在(a，b)只有一个驻点 x0，且 x0是 f(x)的极小值点，则 f(x0)是 f(x)在(a，b)的最小值D.若 f-(b)0，则 f(b)不是 f(x)在a，b上的最大值8.设函数 F(u，v)具有一阶连续偏导数，且 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设常数 a 与 b 满足 （分数：4.00）填空项 1:_10.反常积分 （分数：4.00）填空项 1:_11.由于折旧等因素，某机器转售价格 P(t)是时间 t(周)的
4、减函数 ，其中 A 是机器的最初价格，在任何时间 t，机器开动就能产生 （分数：4.00）填空项 1:_12.设 x=rcos，y=rsin，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.已知 1=(1，2，-1) T， 2=(1，-3，2) T， 3=(4，11，-6) T，若 A 1=(0，2) T，A 2=(5，2)T，A 3=(-3，7) T，则 A=_。（分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，Y=X 2，则(X，Y)的联合分布函数 F(x，y)= -|_|-。（分数：4.00）_三、解答题(总题数：9，分数：93.00)设 （分数：10.00）(1)
5、.求 (x)；（分数：5.00）_(2).证明 (x)处处连续。 （分数：5.00）_15.设常数 a0，证明当 x0 时不等式 e-x(x2-ax+1)1 成立。（分数：9.00）_16.求二元函数 z(x，y)=x 2+48xy+32y2在区域 D=(x，y)|x2+4y 225 上的最大值与最小值。（分数：10.00）_17.计算二重积分 ，其中积分区域 D 是由曲线 （分数：10.00）_18.设 讨论级数 （分数：10.00）_设 （分数：12.00）(1).求矩阵 A 的特征值与特征向量；（分数：4.00）_(2).当 （分数：4.00）_(3).求 A100。 （分数：4.00）
6、_设 A 为三阶方阵， 为三维列向量，已知向量组 ，A，A 2 线性无关，且 A3=3A-2A 2。证明：（分数：10.00）(1).矩阵 B=(，A，A 4)可逆；（分数：5.00）_(2).BTB 是正定矩阵。 （分数：5.00）_设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2)，0，F(x)是 X 的分布函数，随机变量 Y=F(X)，试求：（分数：11.01）(1).Y 的概率密度；（分数：3.67）_(2).E(X+Y)；（分数：3.67）_(3).E(X2+Y2)（分数：3.67）_设总体 X 的概率分布为 其中参数 未知且 （分数：11.01）(1). 的矩估计值 （分数：3.67）_(
7、2). 的最大似然估计值 （分数：3.67）_(3).经验分布函数 F8(x)。（分数：3.67）_考研数学三-228 答案解析(总分：149.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知 =(1，3，2) T，=(1，-1，-2) T，又 A=E- T，k 是非 0 常数，则矩阵 A 的最大特征值所对应的特征向量是（分数：4.00）A.k(1，1，0) TB.k(1，-1，-2) TC.k(1，3，2) T D.k(1，5，1) T解析：分析 令 B= T，由 T=-6，知矩阵 B 的特征值是-6，0，0，进而可知矩阵 A=E-B 的特征值是 7，1，1。又
8、B=( T)=( T)=-6，即 是矩阵曰对应于特征值 =-6 的特征向量，也就是矩阵 A 属于特征值 =7 的特征向量，故选(C)。*2.设 y0(x)是微分方程 y“+4y+5y=0 满足条件 y(0)=-3 与 y(0)=2 的特解，则 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 二阶常系数线性微分方程 y“+4y+5y=0 的特征方程与特征根分别是 2+4+5=0 与 1=-2+i， 2=-2-i，从而方程 y“+4y+5y=0 有两个线性无关的特解 y1=e-2xcosx 与 y2=e-2xsinx，且微分方程的通解为 y(x)=C1e-2xcosx+C2e-2xsinx，它的导
9、函数为 y(x)=-(C1+2C2)e-2xsinx+(C2-2C1)e-2xcosx，不难发现无论常数 C1与 C2取何值都有通解 y(x)及其导函数 y(x)满足*故*可见应选(A)。3.设 y=y(x)是由方程 y2+xy+x2-x=0 确定的满足 y(1)=-1 的连续函数，则 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析一 由隐函数存在定理知，由方程 y2+xy+x2-x=0 确定的满足 y(1)=-1 的连续函数在 x=1 邻域必有连续的导数，将方程对 x 求导得2yy+y+xy+2x-1=0，解出*于是 y(1)=0*故选(B)分析二 由隐函数存在定理知，由方程 y2+xy+x
10、2-x=0 确定的满足 y(1)=-1 的隐函数二次连续可导，且2yy+xy+y+2x-1=0， (*)在(*)式中令 x=1，y(1)=-1 可得 y(1)=0，将(*)式再对 x 求导一次，得2yy“+2y2+y+xy“+y+2=0 (*)在(*)式中令 x=1，y(1)=-1，y(1)=0 可得-y”(1)+2=0*y“(1)=2利用洛必达法则和 y(1)=-1，y(1)=0，y“(1)=2 可得*故选(B)分析三 如同分析二求出 y(1)=0，y“(2)=2 后，用泰勒公式得*即 y()+1=(x-1) 2+o(x-1)2)于是*故选(B)4.在考核中，若学员中靶两次，则认定合格而停止
11、射击，但限定每人最多只能射击三次，设事件 A=“考核合格”，B=“最多中靶一次”，C=“射击三次”，已知学员中靶率为 p(0P1)，则（分数：4.00）A.AB 与 C 独立 B.BC 与 A 独立C.AC 与 B 独立D.A，B，C 相互独立解析：分析 依题意 A 与 B 为对立事件，因此 AB=*，又 C*B，BC=B，而不可能事件与任何事件相互独立，故应选(A)。若进一步分析，P(ABC)=0，而 P(A)，P(B)，P(C)，P(AC)，P(BC)均不为 0，因此(B)、(C)、(D)均不正确。5.设随机变量序列 相互独立且都服从参数为 1 的泊松分布，令（分数：4.00）A. B.C
12、.D.解析：分析 依题意，Y 1，1，2，Y n，相互独立，其期望、方差都存在且 EYi=1，*，符合切比雪夫大数定律成立的三个条件，即 Y1，Y 2，Y n，相互独立；期望、方差都存在；对任何i=1，2，方差 DYi都小于一个共同常数，因此 Y1，Y 2，Y n，满足切比雪夫大数定律，故选(A)。由于 m1，m 2，不一定完全相同，因此不能确定 Y1，Y 2，Y m是否同分布，因而不能确定其是(要求m1=m2=mn=，此时 Y1，Y 2，Y n，同分布)否(m 1，m 2，不全相同，Y 1，Y 2，Y n，不同分布)一定满足辛钦大数定律。6.已知 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分
13、析 对行列式|A|按第 2 行展开，有2A21+2A22+A23+A24=9 构造行列式*则|A|和|B|第 2 行元素代数余子式相同，对|B|按第 2 行展开，又有A21+A22+2A23+2A24=|B|=0 联立，可得 A 21+A22=6，故选(B)7.下列命题中正确的是（分数：4.00）A.设(x 0，f(x 0)是 y=f(x)的拐点，则 x=x0不是 f(x)的极值点B.设 x=x0是 f(x)的极小值点，f(x)在 x=x0处二阶可导，则 f(x0)=0，f“(x 0)0C.若 f(x)在(a，b)只有一个驻点 x0，且 x0是 f(x)的极小值点，则 f(x0)是 f(x)在
14、(a，b)的最小值D.若 f-(b)0，则 f(b)不是 f(x)在a，b上的最大值 解析：分析一 由举例易知(A)，(B)，(C)不正确。如图(1)所示，(x 0，f(x 0)是 y=f(x)的拐点且 x=x0是 f(x)的极小值点，(A)是错的，极小值点 x0 处可以有 f“(x0)=0，如 f(x)=(x-x0)4，x=x 0是 f(x)的极小值点，f“(x 0)=0，(B)是错误的。若 f(x)不连续，命题(C)不正确，如图(2)中 f(x)在(a，b)有唯一驻点 x0，是 f(x)的极小值点，但 f(x0)不是 f(x)在(a，b)的最小值。因此，选(D)*分析二 由最值点处导数性质
15、可知(D)正确，因为当 f(b)是 f(x)在a，b上的最大值且 f-(b)存在时必有*于是当 f-(b)0 时，f(b)不可能是 f(x)在a，b的最大值，因此，选(D)。8.设函数 F(u，v)具有一阶连续偏导数，且 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 由题设知 F(u，v)及隐函数 z=z(x，y)可微，用一阶全微分形式不变性可得*于是有 *从而 *由此可得*故应选(B)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设常数 a 与 b 满足 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：分析 由题设同时可得*与*比较两个结果即知 a=3。为求常数 b 可作变换*于是
16、用洛必达法则计算就有*故|a+3b=0。10.反常积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 由于*在积分中作换元，则 x：1+对应于 t：10，且*故*11.由于折旧等因素，某机器转售价格 P(t)是时间 t(周)的减函数 ，其中 A 是机器的最初价格，在任何时间 t，机器开动就能产生 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：333）解析：分析 假设机器使用了 t 周后出售，在时间t，t+dt内机器开动产生的利润为*于是总收益为*由*令 f(t)=0，得 t=96ln32333，当 t96ln32 时，f(t)0；当 t96ln32 时，f(t)0，故机器使用了
17、 333 周后转售出去总利润最大。12.设 x=rcos，y=rsin，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 令*则积分区域 D=(x，y)|0y1，*如图，由于在满足 x=rcos，y=rsin 的极坐标系(r，)中，y=1*故在(r，)中积分区域 D 可表示为*且 d=rdrd，于是*13.已知 1=(1，2，-1) T， 2=(1，-3，2) T， 3=(4，11，-6) T，若 A 1=(0，2) T，A 2=(5，2)T，A 3=(-3，7) T，则 A=_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 用分块矩阵把已知条件组合起来，有*因
18、为| 1， 2， 3|=*所以矩阵( 1， 2， 3)可逆，于是*14.设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，Y=X 2，则(X，Y)的联合分布函数 F(x，y)= -|_|-。（分数：4.00）_解析：分析 依题意 X 的分布函数为*(X，Y)的联合分布函数 F(x，y)=PXx，Yy=PXx，X 2y三、解答题(总题数：9，分数：93.00)设 （分数：10.00）(1).求 (x)；（分数：5.00）_正确答案：(这里 (x)由积分式定义，不仅积分限含参变量 x，被积函数中也含参变量 x，首先作变量替换，把积分式变成只有积分限含参变量 x 即变成纯变限积分。*又 (0)=0，下面求 (
19、x)，当 x0 时，由变限积分求导法得*当 x=0 时，由于*即 (x)在 x=0 处连续，又*因此*)解析：(2).证明 (x)处处连续。 （分数：5.00）_正确答案：(由变限积分的连续性及连续性的运算法则知，x0 时 (x)连续，前面已证明在 x=0 时(x)的连续性成立，即*因此，(x)处处连续。)解析：*15.设常数 a0，证明当 x0 时不等式 e-x(x2-ax+1)1 成立。（分数：9.00）_正确答案：(证明一 注意不等式*引入函数 f(x)=ex-x2+ax-1，则 f(x)当 x0 时任意次可导，且*由此可见 f(x)在 x=ln2 处取得它在0，+)上的最小值，从而*故
20、函数 f(x)在0，+)上单调增加，于是*即要证明的不等式成立。证明二 利用函数 ex的带拉格朗日余项的麦克劳林公式*可得不等式*于是，为了证明题设的不等式，只需证明当 x0 时对于任何常数 a0 有*令 A=(a+1)x，*，并利用当 A0，B0 时的不等式*就有*即要证明的不等式成立。)解析：16.求二元函数 z(x，y)=x 2+48xy+32y2在区域 D=(x，y)|x2+4y 225 上的最大值与最小值。（分数：10.00）_解析：17.计算二重积分 ，其中积分区域 D 是由曲线 （分数：10.00）_解析：18.设 讨论级数 （分数：10.00）_正确答案：(解法一 首先用换元积
21、分法求 un的值，令 1-x=t，于是 x=1-t，且 x:01*t:10，dx=-dt，代入即得*故*其次，用定义讨论它的敛散性，因为*故 S n=u1+u2+un*由此可见*这表明级数*收敛，且其和为*解法二 用分部积分法求 un的值，即*由于*且级数*收敛，因此，根据正项级数的比较判别法知级数*收敛，注意*于是*的前 n 项部分和Sn=u1+u2+un*故*)解析：设 （分数：12.00）(1).求矩阵 A 的特征值与特征向量；（分数：4.00）_正确答案：(由矩阵 A 的特征多项式*得矩阵 A 的特征值 1= 2=1， 3=-3。由齐次线性方程组(E-A)x=0，*得基础解系 1=(-
22、4，1，2) T由齐次方程组(-3E-A)x=0，*得基础解系 2=(-2，1，1) T因此，矩阵 A 关于特征值 1= 2=1 的特征向量为 k1(-4，1，2) T，k 10；而关于特征值 =-3 的特征向量为 k2(-2，1，1) T，k 20)解析：(2).当 （分数：4.00）_正确答案：(*)解析：(3).求 A100。 （分数：4.00）_正确答案：(由 P-1AP=B 有 P-1A100P=B100，故 A100=PB100P-1，又*于是 *)解析：*设 A 为三阶方阵， 为三维列向量，已知向量组 ，A，A 2 线性无关，且 A3=3A-2A 2。证明：（分数：10.00）(
23、1).矩阵 B=(，A，A 4)可逆；（分数：5.00）_正确答案：(由于 A3=3A-2A 2，故A4=3A 2-2A 2=3 2-2(3A-2A 2)=7A 2-6A若 k 1+k 2A+k 3A4=0，即 k1+k 2A+k 3(7A2-6A)=0，亦即 k 1+(k 2-6k3)A+7k 3A2=0，因为 ，A，A 2 线性无关，故*所以，A，A 4 线性无关，因而矩阵曰可逆。)解析：(2).BTB 是正定矩阵。 （分数：5.00）_正确答案：(因为(B TB)T=BT(BT)T=BTB，故 BTB 是对称矩阵，又*，由于矩阵 B 可逆，恒有 Bx0，那么恒有 xT(BTB)x=(Bx
24、)T(Bx)0，故二次型 xT(BTB)x 是正定二次型，从而矩阵 BTB 是正定矩阵。)解析：*设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2)，0，F(x)是 X 的分布函数，随机变量 Y=F(X)，试求：（分数：11.01）(1).Y 的概率密度；（分数：3.67）_正确答案：(记 X 的概率密度为 f(x)，则*由于 F(x)是 x 的严格单调增函数，其反函数 F-1(x)存在，又因 0F(x)1，因此 Y 的取值范围是0，1。当 0y1 时，*于是 Y 的分布函数 G(y)为*此即区间0，1上均匀分布的分布函数，故 Y 的概率密度 g(y)为*)解析：(2).E(X+Y)；（分数：3.67
25、）_正确答案：(EX=，*)解析：(3).E(X2+Y2)（分数：3.67）_正确答案：(EX 2=DX+(EX)2= 2+ 2，*)解析：设总体 X 的概率分布为 其中参数 未知且 （分数：11.01）(1). 的矩估计值 （分数：3.67）_正确答案：(*我们用样本均值作为总体期望的矩估计值，用样本均值的函数作为总体期望同一函数的矩估计值，而*因此 的矩估计值为*)解析：(2). 的最大似然估计值 （分数：3.67）_正确答案：(对于给定的样本值 x1，x n其似然函数为*，得方程 20 2-23+4=0，解得*于是 的最大似然估计值为*)解析：(3).经验分布函数 F8(x)。（分数：3.67）_正确答案：(由于经验分布函数*)解析：
