1、考研数学三-227 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题 lilist-style-typ(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 ，则 y(n)为（分数：4.00）A.B.C.D.2.设二元函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处的三个二阶偏导数 存在，则必有A ； B 在点(x 0，y 0)处可微；C 在点(x 0，y 0)处连续； D 在点 x0处可微 （分数：4.00）A.B.C.D.3.级数 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 y1，y 2是一阶非齐次线性微分方程 y+p(x)y=g(x)的两个特解，若常数 ， 使 y 1+y 2是该方程的解，y
2、 1-y 2是该方程对应的齐次方程的解，则（分数：4.00）A.B.C.D.5.设矩阵方程 AX=B(其中 A 是 mn 矩阵，B 是 ml 矩阵，X 是 nl 未知矩阵)，则该方程有无穷多解的充分必要条件为 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 A，B 都是 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充分必要条件为 A.r(A)=r(B)； B.|A|=|B|； C.A，B 的特征值相同； D.分别以 A，B 为矩阵的二次型有相同的规范形（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 X，Y 是随机变量，其中 XN(1，1)，概率密度为 f1(x)，y 的概率密度为 记 则当 f(x)是概率密度
3、时，a，b 应满足（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 X1，X 2，X n；是来自总体 X 的简单随机样本，其中 X 服从参数 的指数分布记样本均值为，方差为 S2，则当 为 的无偏估计量时，常数 a 为（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9._. （分数：4.00）填空项 1:_10._. （分数：4.00）填空项 1:_11.设二元函数 f(u，v)可微，则 （分数：4.00）填空项 1:_12.幂级数 （分数：4.00）填空项 1:_13.设矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_14.设 A，B，C 是相互独立事件，且 P(A)=0.4，P(
4、B)=P(C)=0.5，则概率 P(A-C|ABC)=_.（分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 ，其中 求 （分数：10.00）_16.已知二元连续函数 f(x，y)满足 ，求二重积分 （分数：10.00）_17.某厂家生产的一种产品同时在 A，B 两个市场销售，每件产品售价分别为 p1和 p2，需求函数分别为q1=3-0.5p1和 q2=2-3p2，总成本函数为 如果 A 市场的价格对 B 市场的价格弹性为 2，且 p2=1 时，（分数：10.00）_18.设 f(x)是0，1上的非负、单调减少的连续函数，证明： （分数：10.00）_
5、19.设幂级数 求 ()该幂级数的和函数 S(x)及其定义域； ()方程 （分数：10.00）_20.设 A 是三阶矩阵， 1， 2， 3是线性无关的三维列向量组，已知A 1= 2+ 3，A 2= 1+ 3，A 3= 1+ 2，问：a 为何值时，A 不能相似对角化？（分数：11.00）_21.设二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx(其中 x=(x1，x 2，x 3)T，A 是三阶实对称矩阵)经正交变换 x=Qy(其中y=(y1，y 2，y 3)T，Q 是三阶正交矩阵)化为标准形 （分数：11.00）_22.设随机变量 X 是连续型的，它的概率密度为 随机变量 y 是离散型的，它的概率分
6、布为（分数：11.00）_23.设 X1，X 2，X n是来自总体 XN(0，1)的简单随机样本， ，S 2分别是它的均值与方差，求() ；() （分数：11.00）_考研数学三-227 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题 lilist-style-typ(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 ，则 y(n)为（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：* * 所以选 D. 应记住公式 *2.设二元函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处的三个二阶偏导数 存在，则必有A ； B 在点(x 0，y 0)处可微；C 在点(x 0，y 0)处连续； D 在点 x0处可
7、微 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：由于*，所以由*在点(x 0，y 0)处存在知，*在点 x0处可微因此选 D.当题中所给的三个二阶偏导数在点(x 0，y 0)处连续时，选项 A，B，C 都正确，但仅假定这三个二阶偏导数在点(x 0，y 0)处存在，未必能推出这三个选项正确3.级数 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：记*，则 an0(n=1，2，)，且a n单调减少并且收敛于零，所以所给级数收敛但是由于-1a0 时，由*2，及*发散，知*发散，从而所给级数条件收敛因此选 B.由莱布尼茨定理判定交错级数*(其中a n是正项数列)为收敛时，其可能是绝对收敛，也可能是条件收敛为了
8、确定它们，必须考虑正项级数*的收敛性4.设 y1，y 2是一阶非齐次线性微分方程 y+p(x)y=g(x)的两个特解，若常数 ， 使 y 1+y 2是该方程的解，y 1-y 2是该方程对应的齐次方程的解，则（分数：4.00）A. B.C.D.解析：欲使 y 1+y 2是 y+p(x)y=q(x)的解，必须(y 1+y 2)+p(x)(y 2+y 2)=q(x)，即*由此得到(+)q(x)=q(x)(这里利用 y1，y 2是 y+p(x)y=q(x)的两个特解)，即+=1(由于 q(x)不恒为零) (1)此外，欲使 y 1-y 2是 y+p(x)y=0 的解，与上同样可得-=0. (2)由式(1
9、)，式(2)得*，因此选 A应记住一阶线性微分方程 y+p(x)y=g(x)的通解公式：*其中，不定积分都表示被积函数的一个原函数5.设矩阵方程 AX=B(其中 A 是 mn 矩阵，B 是 ml 矩阵，X 是 nl 未知矩阵)，则该方程有无穷多解的充分必要条件为 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：矩阵方程 AX=B 有无穷多解的充分必要条件为 * 因此选 B 应记住：对矩阵方程 AX =B 来说，*以及*分别是该矩阵方程有唯一解，有无穷多解，以及无解的充分必要条件6.设 A，B 都是 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充分必要条件为 A.r(A)=r(B)； B.|A|=|B|；
10、 C.A，B 的特征值相同； D.分别以 A，B 为矩阵的二次型有相同的规范形（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：实对称矩阵 A，B 合同的充分必要条件是分别以 A，B 为矩阵的二次型有相同的规范形因此选 D. ()选项 A 是 A 与 B 合同的必要条件而不是充分条件，而选项 B，C 既不是必要条件，也不是充分条件 ()两个 n 阶实对称矩阵 A，B 合同的充分必要条件有两种： (i)A，B 的正、负特征值分别相等(当某个特征值有 k 重时，按 k 个计算)； (ii)以 A，B 为矩阵的二次型有相同的规范形.7.设 X，Y 是随机变量，其中 XN(1，1)，概率密度为 f1(x)，y
11、 的概率密度为 记 则当 f(x)是概率密度时，a，b 应满足（分数：4.00）A.B. C.D.解析：由于 f(x)是概率密度，所以*，即* (1)由 f1(x)是 XN(1，1)的概率密度知，*由 f2(x)是 Y 的概率密度知*将它们代入式(1)得*因此选 B.题解中利用了以下结论：()设 XN(a， 2)，则它的概率密度 f(x)满足*()设 X 的概率密度为*，则*8.设 X1，X 2，X n；是来自总体 X 的简单随机样本，其中 X 服从参数 的指数分布记样本均值为，方差为 S2，则当 为 的无偏估计量时，常数 a 为（分数：4.00）A.B.C. D.解析：由于*，所以，当*为*
12、的无偏估计量时，a 必须满足*其中，* (2)将式(2)代入式(1)得*即*因此选 C要记住以下的结论，设 X1，X 2，X n(n1)是来自总体 X(数学期望 EX 与方差 DX 都存在)的简单随机样本，记其均值为*，方差为 S2，即*，则*二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9._. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：* (1) 此外，由* 其中，* 所以 * (2) 于是由式(1)，式(2)得 *）解析：由于极限*与 x 取值有关，所以应分 x0，x=0 以及 x0 三种情况计算这个极限10._. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：本题是无理函数积
13、分，也可以令 2x=sect 进行计算： *11.设二元函数 f(u，v)可微，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：计算多元复合函数的偏导数时，应先画出该函数与自变量之间的复合关系图，例如本题的关系图为 *12.幂级数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：记*，则*所以，所给幂级数的收敛区间为x|x 21=(-1，1)当 x=-1，1 时，所给幂级数成为级数*由于*，而*发散，所以*发散从而所给幂级数的收敛域为(-1，1)）解析：所给幂级数是缺项幂级数对于缺项幂级数*的收敛域可按以下步骤计算： ()计算*，设其值为 R(x)，则*的收敛区间为*(-a，a) (
14、)确定*在点 x=-a，a 处的收敛性，即判定级数*和*的收敛性，则*的收敛域为(-a，a)及收敛的点 x=-a 或 x=a.13.设矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：由 r(A)+r(B)-3r(AB)得 r(A)2，所以 * 因此 =3. 附注；应记住关于矩阵秩的以下两个不等式： ()设 A、B 都是 mn 矩阵，则 r(A+B)r(A)+r(B) ()设 A、B 分别是 mn 和 nl 矩阵，则 r(A)+r(B)-nr(AB)minr(A)，r(B).）解析：14.设 A，B，C 是相互独立事件，且 P(A)=0.4，P(B)=P(C)=0.5，则概率 P(A-C|A
15、BC)=_.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：* 其中，* * P(ABC)=P(AB)+P(C)-P(ABC) =P(A)P(B)+P(C)-P(A)P(B)P(C)=0.6. 所以*）解析：对于比较复杂的随机事件概率，总是利用简单随机事件概率和概率计算公式计算，概率计算公式主要有：设 A，B 都是事件，则*；(逆概公式)P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB).(加法公式)特别当 A，B 互不相容时，P(AB)=P(A)+P(B)；*(乘法公式)设 A1，A 2，A n是一个完全事件组，则当 P(Ai)0(i=1，2，n)时，对任意随机事件 B 有*(全概率公式)三、B解答题
16、/B(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 ，其中 求 （分数：10.00）_正确答案：(由于* 且* * 所以，* * *(这里利用以上的计算结果* 由于* * 所以，*)解析：题解中，以下两点值得注意： ()(x)与*都是分段函数，但现在仅计算在点 x=0 处的复合函数的导数，所以不必写出复合函数的具体表达式 ()*与*是两个不同的概念，应予以区分16.已知二元连续函数 f(x，y)满足 ，求二重积分 （分数：10.00）_正确答案：(由于*(其中 u=x-t)，所以所给等式成为*由此可得 f(0，y)=y，*，所以 f(x，y)=ye x于是*)解析：我们多次求解过方程*(其中，g
17、，h 都是已知的连续函数)，题中所给的 * 也是同种类型的方程(但其中的未知函数是二元函数 f(x，y)，因此可用同样的方法求解， 只需用求偏导数代替求导数即可17.某厂家生产的一种产品同时在 A，B 两个市场销售，每件产品售价分别为 p1和 p2，需求函数分别为q1=3-0.5p1和 q2=2-3p2，总成本函数为 如果 A 市场的价格对 B 市场的价格弹性为 2，且 p2=1 时，（分数：10.00）_正确答案：(由题设“A 市场的价格对曰市场的价格弹性为 2”得*，即*将*代入上式得*，所以*总利润函数为L(p1，p 2)=q1p1+q2p2-C*于是本题即为在约束条件*下，计算 L(p
18、1，p 2)的最大值问题，故采用拉格朗日乘数法作拉格朗日函数*且令*即*由式(1)，式(3)得*，代入式(2)得*即*，或*，所以 p2=4，代入式(3)得 p1=3由以上计算，L(p 1，p 2)在约束条件*下有唯一的可能极值点，而根据问题的实际意义知，在约束条件*下，L(p1，p 2)必有最大值，因此，A 市场产品售价为 3，B 市场产品售价为 4 时，总利润最大)解析：要弄清一个变量 y 对另一个变量 x 的弹性 的概念： * ()要熟练掌握计算多元函数条件极值的拉格朗日乘数法18.设 f(x)是0，1上的非负、单调减少的连续函数，证明： （分数：10.00）_正确答案：(记*，则 F(
19、x)在0，b上连续，在(0，b)内可导，且 * (由于 f(u)单调减少，所以 f(x)-f(t)0，且仅在 t=x 处取等号，所以*0，此外*，即函数 F(x)在0，b上单调增加，所以 F(a)F(0)=0，即*)解析：以下是证明定积分不等式的常用方法： 将某个定积分的上限及与此上限相同的字母都换成 x，转化为函数不等式，然后用导数方法证明这个函数不等式，由此推得所给的定积分不等式19.设幂级数 求 ()该幂级数的和函数 S(x)及其定义域； ()方程 （分数：10.00）_正确答案：()由于*，所以*且其成立范围为-1，1.由此可知，和函数 S(x)=xln(1+x2)，它的定义域为-1，
20、1.()记*，则 F(x)在-1，1上连续，在(-1，1)内可导且*此外，*，所以方程 F(x)=0，即*在-1，1有且仅有一个实根，)解析：题解中有以下两点值得注意： ()题中利用公式*计算幂级数的和函数，并确定和函数的定义域，十分快捷 ()当函数 f(x)在a，b上连续，且 f(a)f(b)0，则方程 f(x)=0 在(a，b)内至少有一个实根； 当函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内单调，且 f(a)f(b)0 时，方程 f(x)=0 在(a，b)内有且只有一个实根20.设 A 是三阶矩阵， 1， 2， 3是线性无关的三维列向量组，已知A 1= 2+ 3，A 2= 1+ 3，A
21、3= 1+ 2，问：a 为何值时，A 不能相似对角化？（分数：11.00）_正确答案：()由 A( 1， 2， 3)=( 2+ 3， 1+ 3， 1+ 2)*记 P=( 1， 2， 3)，则 P 可逆，且*，即*由 f()=|E-B|(E 是三阶单位矩阵)*=(+1) 2-(1+a)知，方程 f()=0 不可能有三重根这是因为，如有三重根，则(+1) 2-(1+a)=(+1) 3，但 2 -(1+a)=(+1) 2是不可能的所以只需考虑方程 f()=0 有二重根的情形：(1)=-1 是方程 f()=0 的二重根，则 =-1 必是 2-(1+a)=0 的根，由此推出 a=1于是*的秩=1=3-2
22、(即矩阵 B 的阶数与 =-1 重数之差)，所以此时 B 可相似对角化，由于 AB，所以此时 A 可相似对角化(2)=-1 不是方程 f()=0 的二重根，则 2-(1+a)=0 有二重根由此推出 a*此时方程 f()=0的二重根为*于是*的秩=23-2(即矩阵 B 的阶数与*重数之差)，所以此时 B 不可相似对角化，由于 AB，所以此时 A 不可相似对角化综上所述，*时，A 不可相似对角化)解析：设 A 是 n 阶矩阵，则 A 可相似对角化的充分必要条件有下列两种：()A 有 n 个线性无关的特征向量；()A 的每个特征值 i(即特征方程|E-A|=0 的根)都满足 r( iE-A)=n-n
23、i(其中 ni是 i的重数，E 是n 阶单位矩阵)本题的求解，就是从利用()入手的21.设二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx(其中 x=(x1，x 2，x 3)T，A 是三阶实对称矩阵)经正交变换 x=Qy(其中y=(y1，y 2，y 3)T，Q 是三阶正交矩阵)化为标准形 （分数：11.00）_正确答案：()由题设知，A 有特征值 1=2， 2= 3=-1，从而与 1对应的 A*的特征值*，所以由A*= 知 1=1 对应的 A*的特征向量为 = (1，1，-1) T由此可知 A 的对应 1=2 的特征向量为 设 A 的对应 2= 3=-1 的特征向量为 =(b 1，b 2，b 3)
24、T，则由 A 是实对称矩阵知 与 正交，即b1+b2-b3=0故可取 为这个方程的基础解系，即 1=(-1，1，0) T， 2=(1，0，1) T将 ， 1， 2正交化： 1=(1，1，-1) T， 2= 1=(-1，1，0) T，*它们是 A 的分别对应 1=2， 2= 3=-1 的特征向量，于是所求的正交矩阵*由于*所以，*()f(x 1，x 2，x 3)在正交变换 x=Qy 下的标准形为*令*即*或*则*(规范形)从而，f(x 1，x 2，x 3)在可逆线性变换*下，化为规范形，即*)解析：()()设 A 是 n 阶可逆矩阵，有特征值 及对应的特征向量 ，则 A 的伴随矩阵 A*有特征值
25、*及对应的特征向量 ()要熟练掌握用正交变换化二次型为标准形的方法及由正交变换与标准形计算二次型矩阵的方法22.设随机变量 X 是连续型的，它的概率密度为 随机变量 y 是离散型的，它的概率分布为（分数：11.00）_正确答案：()由于 FZ(z)=P(Zz)，其中，P(Zz)=P(XYz)=P(Y=-1)P(XYz|Y=-1)+P(Y=0)P(XYz|Y=0)+P(Y=1)P(XYz|Y=1)*所以，*()Cov(X，X 2)=E(X3)-EXE(X2)，其中，EX=1，E(X 2)=D(X)+(EX)2=1+12=2，*所以，Cov(X，X 2)=3E(X2)-E(X2)=2E(X2)=4
26、.)解析：由于 Z=XY 是连续型随机变量与离散型随机变量之积，所以要计算它的分布函数应从定义出发，即从计算概率 P(Zz)=P(XYz)入手23.设 X1，X 2，X n是来自总体 XN(0，1)的简单随机样本， ，S 2分别是它的均值与方差，求() ；() （分数：11.00）_正确答案：()由于 X 与 S2相互独立，所以*与 S4相互独立，因此* (1)其中，由*得* (2)由(n-1)S 2- 2(n-1)知*，D(S 2)=*，所以* (3)将式(2)，式(3)代入式(1)得*()* (4)其中，由于*，所以* (5)将式(5)代入式(4)得*)解析：应记住以下结论：设 X1，X 2，X n是来自总体 XN(， 2)的简单随机样本，记*则*，并且*
