1、考研数学三-226 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题 lilist-style-typ(总题数：8，分数：32.00)1.函数 f(x)=x|(ex-1)(x-1)|的不可导点个数为 A.0； B.1； C.2； D.3（分数：4.00）A.B.C.D.2.，则 （分数：4.00）A.B.C.D.3.已知幂级数 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 y1=ex-e-xsinx，y 2=ex+e-xcosx 是二阶常系数非齐次线性微分方程 y+py+qy=f(x)的两个解，则f(x)为 A.e5x； B.e3x； C.ex； D.e-x（分数：4.00）A.B
2、.C.D.5.设 A，B 都是 n 阶实对称矩阵，且齐次线性方程组 Ax=0 与 Bx=0 有相同的基础解系 1， 2，则方程组(A+B)x=0，A TAx=0，B *x=0 以及 （分数：4.00）A.B.C.D.6.矩阵 （分数：4.00）A.B.C.D.7.袋内有 7 个球，其中 4 个红球，3 个白球现不放回地取球，每次取 1 个记 A=第二次取球才取到白球，B=第二次取球取到的是白球，则它们的概率为 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设总体 X 的概率密度为 ，X 1，X 2，X n为来自 X 的简单随机样本，记其均值为 ，方差为，则 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题
3、(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 （分数：4.00）填空项 1:_10.设函数 （分数：4.00）填空项 1:_11.设二元函数 z=z(x，y)由方程 lnz+sin(xy)+xz=0 确定，且 xz+10，则 （分数：4.00）填空项 1:_12.设某产品的需求函数为 Q=Q(P)，其对价格 P 的弹性 P=0.2，则当需求量为 100000 件时，价格增加 1元会使产品收益增加_元（分数：4.00）填空项 1:_13.设 A，B 分别为二阶与四阶矩阵，且 r(A)=1，r(B)=2，A *，B *分别是 A 与 B 的伴随矩阵，则（分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量
4、 X 与 Y 相互独立，都服从参数为 1 的指数分布，即它们的概率密度为 （分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.求不定积分 （分数：10.00）_16.求函数 （分数：10.00）_17.求函数 f(x，y)=x 2+y2在圆域 D=(x，y)|(x-1) 2+(y-1)22上的最大值与最小值.（分数：10.00）_18.设 ，求级数 （分数：10.00）_19.设函数 其中 D1，D 2是 D=(x，y)|x 2+y24，x0，y0被圆(x-1) 2+y2=1 划分成的两部分，如图所示求二重积分（分数：10.00）_20.已知线性方程组 有无穷
5、多解， ()求常数 a(a0)的值； ()对上述算得的 a 值，求方程组(A)与(B)： （分数：11.00）_21.设 A 是三阶实对称矩阵，A *是它的伴随矩阵，其满足且二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 在正交变换 x=Qy(其中，x=(x 1，x 2，x 3)T，y=(y 1，y 2，y 3)T，Q 是正交矩阵)下的标准形为 （分数：11.00）_22.设二维随机变量(U，V)的概率密度为 又设 X 与 Y 都是离散型随机变量，其中 X 只取-1，0，1 三个值，Y 只取-1，1 两个值，且 EX=0.2，EY=0.4，P(X=-1，Y=1)=P(X=1，Y=-1)=P(X=
6、0，Y=1)= （分数：11.00）_23.设二维随机变量(X，y)的概率密度为其中 是未知参数设 X1，X 2，X n是来自总体 X 的简单随机样本求 的矩估计量 和它的方差 D( （分数：11.00）_考研数学三-226 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题 lilist-style-typ(总题数：8，分数：32.00)1.函数 f(x)=x|(ex-1)(x-1)|的不可导点个数为 A.0； B.1； C.2； D.3（分数：4.00）A.B. C.D.解析：f(x)=x|e x-1|x-1|的可能不可导点为 x=0，1由于在点 x=0 的某个去心邻域内，*，
7、而*，所以 f(x)在点 x=0 处可导由于在点 x=1 的某个邻域内，f(x)=x(e x-1)|x-1|，而*不存在，所以 f(x)在点 x=1 处不可导因此本题选 B.应记住函数|x-x 0|在点 x0处不可导，但函数(x-x 0)|x-x0|在点 x0处可导2.，则 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：由于*所以 * *因此选 A. 同样可以计算*，具体如下： 由于*所以 *3.已知幂级数 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：由*知，*的收敛域为 a-1xa+1，即*在点 x=a+1 处收敛，而 xa+1 发散 所以由题设得 a+1=0，即 a=-1. 因此选 B. 记住
8、ln(1+x)，ln(1-x)的麦克劳林展开式，即 * 对计算幂级数的收敛域与和函数等是十分有用的4.设 y1=ex-e-xsinx，y 2=ex+e-xcosx 是二阶常系数非齐次线性微分方程 y+py+qy=f(x)的两个解，则f(x)为 A.e5x； B.e3x； C.ex； D.e-x（分数：4.00）A. B.C.D.解析：容易看到 y2-y1=e-x(cosx+sinx)是 y+py+qy=0 的特解，从而，e -x(C1cosx+C2sinx)(C1，C 2是任意常数)是该微分方程的通解，所以p=-(-1+i)+(-1-i)=2，q=(-1+i)(-1-i)=2.此外，由题设知
9、ex是 y+py+qy=f(x)，即 y+2y+2y=f(x)的特解，所以f(x)=(ex)+2(e x)+2e x=5ex.因此选 A.题解中有两点值得注意：()由 e-x(cosx+sinx)是 y+py+qy=0 的特解知，e -xcosx，e -xsinx 都是该微分方程的特解且它们线性无关，所以通解为 e-x(C1cosx+C2sinx)(C1，C 2是任意常数)()由于微分方程 y+py+qy=f(x)有解 y2=ex+e-xcosx，其中，e -xcosx 是 y+py+qy=0 的特解，所以由线性微分方程解的构造知，e x是 y+py+qy=f(x)的解如果能够一下子看出以上两
10、点，本题必能快速获解5.设 A，B 都是 n 阶实对称矩阵，且齐次线性方程组 Ax=0 与 Bx=0 有相同的基础解系 1， 2，则方程组(A+B)x=0，A TAx=0，B *x=0 以及 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：由于 ATAx=0 与 Ax=0 是同解方程组，所以 1， 2必是 ATAx=0 的基础解系，即正确由于 Ax=0 与 Bx=0 都有基础解系 1， 2，所以 1， 2也是*的基础解系，即正确因此选 B. 1， 2未必是(A+B)x=0 的基础解系，例如*与*有相同的基础解系(0，1) T，但它不是*的基础解系，所以 A 与 D 都不能选 1， 2也未必是 B*的
11、基础解系，例如*有基础解系(0，1，0) T，(0，0，1) T，但它不是*的基础解系这是因为*的秩 13-1，所以*的秩为 0从而*无基础解系，因此 C 不能选6.矩阵 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：由于* * 所以，*(E 是三阶单位矩阵)有解 =-2，2，3，从而 A 的最小特征值为-2，因此选B. 题解中，由于注意到*和*都是初等矩阵，它们的三次方与四次方分别左乘、右乘于*表明，对 B施行三次“交换第一、二行”的初等变换后，再施行四次“交换第二、三列”的初等变换，所以很快获解7.袋内有 7 个球，其中 4 个红球，3 个白球现不放回地取球，每次取 1 个记 A=第二次取球才
12、取到白球，B=第二次取球取到的是白球，则它们的概率为 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：记 Ci=第 i 次取球取到的是白球(i=1，2)，则*所以，*因此选 B.本题有两点值得注意：()A 与 B 这两个随机事件是有区别的()随机事件第 i 次取球取到的是白球(i=1，2，3)的概率是相等的，都为*8.设总体 X 的概率密度为 ，X 1，X 2，X n为来自 X 的简单随机样本，记其均值为 ，方差为，则 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：* (1)其中*(由于 xf(x)是奇函数)，*=E(T2)(其中 T 是服从参数为 1 的指数分布，即它的概率密度为*=D(T)+(ET)
13、2=1+1=2将它们代入式(1)得*因此选 B应记住以下结论：设 X1，X 2，X n是来自总体 X 的简单随机样本，其平均值*方差 S2=*，则*二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：* * 由于 f(x)在点 x=0 处连续，所以 *）解析：题解中先计算*，这是为了确定*在 x0 时是无穷小的，从而可以利用 eu-1u(u0)化简 a 的计算10.设函数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：由于*，所以 * 从而*）解析：f (5)(0)也可以利用麦克劳林公式计算：由于*所以，*11.设二元函数 z=z(x，y)由方程
14、 lnz+sin(xy)+xz=0 确定，且 xz+10，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：方程两边对 x 求偏导数得 * 所以，*）解析：如果要同时计算*，则从对方程两边求全微分入手，具体如下： * 即* 所以*12.设某产品的需求函数为 Q=Q(P)，其对价格 P 的弹性 P=0.2，则当需求量为 100000 件时，价格增加 1元会使产品收益增加_元（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：由于*，所以由增益函数 R(P)=PQ(P)得 * =100000+1000000.2=120000. 即当需求量为 100000 件时，价格每增加 1 元会使产品收益增加 120
15、000 元.）解析：要记住函数弹性的定义，并理解它在经济学上的意义13.设 A，B 分别为二阶与四阶矩阵，且 r(A)=1，r(B)=2，A *，B *分别是 A 与 B 的伴随矩阵，则（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：由于* (1)其中，由 r(A)=1，即 r(A)等于 A 的阶数-1 知 r(A*)=1；由 r(B)=2，即 r(B)小于 B 的阶数-1 知 r(B*)=0将它们代入式(1)得*）解析：应记住以下公式：设 A 是 n 阶矩阵，A *是它的伴随矩阵，则*14.设随机变量 X 与 Y 相互独立，都服从参数为 1 的指数分布，即它们的概率密度为 （分数：4.00）填
16、空项 1:_ （正确答案：P(maxX，Y1)=P(X1，Y1) *）解析：应记住以下公式：设随机变量 X、Y 相互独立，它们的分布函数分别为 FX(x)与 FY(y)，则Z1=maxX，Y的分布函数 FZ1(z)=FX(z)FY(z)；Z2=minX，Y的分布函数 FZ2(z)=1-1-FX(z)1-FY(z)三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.求不定积分 （分数：10.00）_正确答案：(* *)解析：可考虑类似的不定积分*，解答如下： *16.求函数 （分数：10.00）_正确答案：(由于* * 即*，所以 f(x)在*内连续 由于*时， * *时， * 此外，由* *
17、 * 知 f(0)=0，因此*仅有极大值 f(0)=1，无极小值，)解析：17.求函数 f(x，y)=x 2+y2在圆域 D=(x，y)|(x-1) 2+(y-1)22上的最大值与最小值.（分数：10.00）_正确答案：(由*知方程组*在 D 的内部无解，即 f(x，y)在 D 的内部无可能极值点，下面计算 f(x，y)在 D 的边界 C：(x-1) 2+(y-1)2=2 上的最值记 F(x，y)=x 2+y2+(x-1) 2+(y-1)2-2，则*于是，由拉格朗日乘数法令*即*解此方程组得 x=y=0，x=y=2由于f(0，0)=0，f(2，2)=8，所以，f(x，y)在 C 上的最小值，即
18、在 D 上的最小值为 f(0，0) =0，在 C 上的最大值，即在D 上的最大值为 f(2，2)=8)解析：18.设 ，求级数 （分数：10.00）_正确答案：(由于 x0 时 * 所以，* 考虑幂级数*由于 * 所以上述幂级数的收敛半径为 1，从而收敛区间为(-1，1)，记其和函数为 S(x)，则 * 所以，* * =-xln(1-x)+x+ln(1-x)(-1x1)，即* 从而* *)解析：幂级数*的和函数 S(x)也可以用以下方法计算：在(-1，1)内有 * =-xln(1-x)+ln(1-x)+x19.设函数 其中 D1，D 2是 D=(x，y)|x 2+y24，x0，y0被圆(x-1
19、) 2+y2=1 划分成的两部分，如图所示求二重积分（分数：10.00）_正确答案：(* (1) 其中，* * (2) * * (3) 将式(2)、式(3)代入式(1)得 *)解析：*也可计算如下： * * (4) 其中，* * (5) * * (6) 将式(5)、式(6)代入式(4)得 *20.已知线性方程组 有无穷多解， ()求常数 a(a0)的值； ()对上述算得的 a 值，求方程组(A)与(B)： （分数：11.00）_正确答案：()方程组(A)的增广矩阵 * 由于方程组(A)有无穷多解，所以*(其中 A 是方程组(A)的系数矩阵)，从而有 a+1=0，即 a=-1 ()当 a=-1
20、时，方程组(A)与(B)组成的方程组化简后为 * 对方程组(C)的增广矩阵 C 施行初等行变换： * 由此可知，方程(A)与(B)有公共解，即方程组(C)有解时，*(其中 C 是方程组(C)的系数矩阵)，因此所求的*，并且此时的公共解*)解析：设方程组 A1x=b1，A 2x=b2，(其中 A1，A 2分别是 m1n 与 m2n 的矩阵，b 1，b 2，分别是 m1维与 m2维列向量)，则这两个方程组有公共解的充分必要条件为方程组*有解21.设 A 是三阶实对称矩阵，A *是它的伴随矩阵，其满足且二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 在正交变换 x=Qy(其中，x=(x 1，x 2，x
21、 3)T，y=(y 1，y 2，y 3)T，Q 是正交矩阵)下的标准形为 （分数：11.00）_正确答案：(由 A 是三阶实对称矩阵知，A *也是三阶实对称矩阵由题设知*，所以 A*有特征值 1=-1， 3=1，且它们对应的特征向量分别为 1=(1，0，-1) T， 3=(1，0，1) T.由于 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 在正交变换 x=Qy 下的标准形为*，所以 A 的特征值为 1= 2=1， 3=-1，|A|= 1 2 3=1，因此 A*的特征值除*-1，*外，还有*，记它对应的特征向量为 2=(a1，a 2，a 3)T，则它分别与 1， 3正交，于是有*其基础解系为(0，1，
22、0) T，故可取 2=(0，1，0) T由于 A 的对应 i的特征向量即为 A*的对应 i的特征向量(i=1，2，3)，所以 A 对应 1=1， 2=1， 3=-1 的特征向量分别为 1， 2， 3显然 1， 2， 3是正交向量组，现将它们单位化：*记*(正交矩阵)，则在正交变换 x=Qy 下*且*，所以*)解析：题解中有以下三点值得注意：()当用正交变换 x=Qy(其中 x=(x1，x 2，x n)T，y=(y 1，y 2，y n)T，Q 是正交矩阵)将二次型f(x1，x 2，x n)=xTAx(其中 A 是 n 阶实对称矩阵)化为标准形*时， 1， 2，A n必都为 A 的特征值，从而 1
23、+ 2+An=trA， 1 2- n=|A|.()设 A 是 n 阶可逆矩阵， 是 A 的对应特征值 的特征向量，则 A*有特征值 =*，且 是 A*的对应 的特征向量()A *也可计算如下：由于*，所以*因此，由 A*的定义可得*22.设二维随机变量(U，V)的概率密度为 又设 X 与 Y 都是离散型随机变量，其中 X 只取-1，0，1 三个值，Y 只取-1，1 两个值，且 EX=0.2，EY=0.4，P(X=-1，Y=1)=P(X=1，Y=-1)=P(X=0，Y=1)= （分数：11.00）_正确答案：()由于(U，V)关于 U 的边缘概率密度为*所以，* (1)其中，*(其中 如图所示的
24、带阴影梯形所示)*将它们代入式(1)得*于是，P(X=-1，Y=1)=P(X=1，Y=-1)=P(X=0，Y=1)=0.25记(X，Y)的概率分布为*则*即*解此方程组得 p1=0，p 2=0.05，p 3=0.2因此，(X，Y)的概率分布为*()Cov(X，Y)=E(XY)-EXEY，其中，E(XY)=(-1)(-1)0+(-1)10.25+0(-1)0.05+010.25+1(-1)0.25+110.2=-0.3所以，Cov(X，Y)=-0.3-0.20.4=-0.38.)解析：本题是连续型随机变量与离散型随机变量结合的综合题，需计算许多量值，因此对题目审视后应确定计算各个量值的先后顺序：
25、先计算*，为此需先算出关于 U 的边缘概率密度 fU(u)；然后确定(X，Y)的概率分布表，将已知的概率填入，对未知的概率用 p1，p 2，p 3等表示，并利用已知条件逐一确定这些未知概率；最后根据(X，Y)的概率分布算出 Cov(X，Y).23.设二维随机变量(X，y)的概率密度为其中 是未知参数设 X1，X 2，X n是来自总体 X 的简单随机样本求 的矩估计量 和它的方差 D( （分数：11.00）_正确答案：(由于关于 X 的边缘概率密度为 * 其中，* 所以，* 由于*，所以由矩估计法，令*即*由此得到 的矩估计量* 于是，* *)解析：要记住以下结论：设 X1，X 2，X n是来自总体 X(具有数学期望与方差)的简单随机样本，则它的均值*与方差*满足*，E(S2)=D(X)
