1、考研数学三-225 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题 lilist-style-typ(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)=(x-2)|x(x-2)|，则 A.f(x)在点 x=0，2 处都不可导； B.f(x)在点 x=0，2 处都可导； C.f(x)在点 x=0 处可导，而在点 x=2 处不可导； D.f(x)在点 x=0 处不可导，而在点 x=2 处可导（分数：4.00）A.B.C.D.2.下列等式中不正确的是 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设二元函数 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设a n是单调减少收敛于零的正项数列，则当
2、级数 发散时，下列结论正确的是A级数 收敛，而级数 发散；B级数 发散，而级数 收敛；C级数 收敛；D级数 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设向量组 ， 线性无关，向量组 ， 线性相关，则 A. 不可由 ， 线性表示； B. 可由 ， 线性表示； C. 不可由 ， 线性表示； D. 不可由 ， 线性表示（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 A 是 n 阶矩阵且有以下命题：A 有 n 个不同的特征值；A 有 n 个线性无关的特征向量；A 是实对称矩阵；A 的每个 ni重特征值 i的特征矩阵 AiE-A 都满足 r(AiE-A)=n-ni(其中 E 是 n 阶单位矩阵)则 A 可相似对角
3、化的充分必要条件有两类，它们是 A.； B.； C.； D.（分数：4.00）A.B.C.D.7.下列命题不正确的是A设二维随机变量(X，Y)在矩形区域(x，y)|axb，cyd上服从均匀分布，则 X 与 Y 相互独立；B设二维随机变量(X，Y)的概率密度（分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机变量 t-t(n)，对 (0，1)，t (n)为满足 P(tt (n)= 的实数，则满足 P(|t|b)= 的b 等于（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.函数 y=y(x)由微分方程 （分数：4.00）填空项 1:_10.设 a 是常数，则 （分数：4.0
4、0）填空项 1:_11.设函数 f(x，y)在点(0，0)处可微，且 则极限 （分数：4.00）填空项 1:_12.函数 （分数：4.00）填空项 1:_13.已知三阶矩阵 ，记它的伴随矩阵为 A*，则三阶行列式 （分数：4.00）填空项 1:_14.设 X 是离散型随机变量，其分布函数为 又设 Y 是连续型随机变量，其概率密度为 （分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_16.设 （分数：10.00）_17.计算二次积分 （分数：10.00）_18.求微分方程 y+2y+y=e -x+sin2xcosx 的通解（分数：
5、10.00）_19.求幂级数 （分数：10.00）_20.设方程组 Ax= 有解(1，2，2，1) T和(1，-2，4，0) T，其中矩阵 A=( 1， 2， 3， 4)的秩为 3，且 1， 2，a 3， 4， 都是 4 维列向量，求方程组 By= 1+2 2的通解，其中矩阵B=( 3， 2， 1，- 4)（分数：11.00）_21.设 f(x1，x 2，x 3)=xTAx，其中 x=(x1，x 2，x 3)T，（分数：11.00）_22.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：11.00）_23.设总体 X 的概率分布为 X0 1 2 3P 22(1-) 21-2()试用总体 X 的简
6、单随机样本值 3，1，3，0，3，1，2，3，求 的矩估计值 ()设 X1，X 2，X n是来自 X(其未知参数 为()中确定的 （分数：11.00）_考研数学三-225 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题 lilist-style-typ(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)=(x-2)|x(x-2)|，则 A.f(x)在点 x=0，2 处都不可导； B.f(x)在点 x=0，2 处都可导； C.f(x)在点 x=0 处可导，而在点 x=2 处不可导； D.f(x)在点 x=0 处不可导，而在点 x=2 处可导（分数：4.00）A.B.C.D. 解析
7、：由于 f(x)=|x|(x-2)|x-2|，所以 f(x)在点 x=0 处不可导，在点 x=2 处可导，因此选 D. 应记住以下结论： 函数|x-a|在点 x=a 处不可导，而函数(x-a)|x-a|在点 x=a 处可导2.下列等式中不正确的是 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：由于 x2在0，1上连续，选项 A，B，C 的右边都是 x2在0，1的积分和式的极限，它们都等于*，即选项 A，B，C 都正确，因此选 D也可通过直接计算，确认选项 D 不正确：*3.设二元函数 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：由于* 同样，*因此选 C f(x，y)在点(0，0)连续但不可微，证明
8、如下： 由于* 所以，f(x，y)在点(0，0)处连续， 由于* *不存在， 所以，f(x，y)在点(0，0)处不可微4.设a n是单调减少收敛于零的正项数列，则当级数 发散时，下列结论正确的是A级数 收敛，而级数 发散；B级数 发散，而级数 收敛；C级数 收敛；D级数 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：由a n是单调减少收敛于零的正项数列知，*收敛，所以对它两项两项地加括号所得级数*收敛，因此选 D.本题获解的关键是，按莱布尼茨定理确定*收敛此外应记住以下的收敛级数性质：设*收敛，则对它任意加括号所得级数仍收敛，但反之未必正确，即当级数*任意加括号后所得的级数收敛时，*未必收敛5.设
9、向量组 ， 线性无关，向量组 ， 线性相关，则 A. 不可由 ， 线性表示； B. 可由 ， 线性表示； C. 不可由 ， 线性表示； D. 不可由 ， 线性表示（分数：4.00）A.B. C.D.解析：由 ， 线性无关知 ， 线性无关，由 ， 线性相关知 可由 ， 线性表示，即 可由 ， 线性表示，因此选 B关于向量组的线性相关性的以下结论应记住：()设向量组(A)： 1， 2， m，如果(A)线性无关，则它的任一部分组也线性无关；如果(A)的任一部分组线性相关，则(A)线性相关()设向量组(A)： 1， 2， m，如果(A)线性相关，则至少存在一个向量可由其余向量线性表示；如果(A)线性相
10、关，但 1， 2， m线性无关，则 可由 1， 2， m线性表示，且表示式是唯一的6.设 A 是 n 阶矩阵且有以下命题：A 有 n 个不同的特征值；A 有 n 个线性无关的特征向量；A 是实对称矩阵；A 的每个 ni重特征值 i的特征矩阵 AiE-A 都满足 r(AiE-A)=n-ni(其中 E 是 n 阶单位矩阵)则 A 可相似对角化的充分必要条件有两类，它们是 A.； B.； C.； D.（分数：4.00）A.B.C. D.解析：都是 A 可相似对角化的充分必要条件，而都是 A 可相似对角化的充分而非必要条件，因此选 C.应记住以下的结论：设 A 是 n 阶矩阵，则“A 有 n 个线性无
11、关的特征向量”，或“A 的每个 ni重特征值 i的特征矩阵 iE-A(E 是 n 阶单位矩阵)都满足 r( iE-A)=n-ni”，都是 A 可相似对角化的充分必要条件，而“A 有 n 个不同的特征值”，或“A 是实对称矩阵”，则是 A 可相似对角化的充分而非必要条件7.下列命题不正确的是A设二维随机变量(X，Y)在矩形区域(x，y)|axb，cyd上服从均匀分布，则 X 与 Y 相互独立；B设二维随机变量(X，Y)的概率密度（分数：4.00）A.B.C. D.解析：对于选项 C，(X，Y)的概率密度*它关于 X 与 Y 的边缘概率密度分别为*显然，f X(x)fY(y)=f(x，y)不是几乎
12、处处成立的，所以 X 与 Y 不相互独立因此选 C应记住选项 A，B，D 的结论8.设随机变量 t-t(n)，对 (0，1)，t (n)为满足 P(tt (n)= 的实数，则满足 P(|t|b)= 的b 等于（分数：4.00）A.B.C. D.解析：由于随机变量 t 的概率密度曲线关于纵轴对称，所以由 =P(|t|b)=1-P(|t|b)=1-P(tb)-P(t-b)=1-2P(tb)得*从而由 t (n)的定义得*因此选 C应当记住：当 XN(0，1)时，满足 P(|X|b)= 的*(其中 u 为满足 P(Xu )= 的实数)；当 Xt(n)时，满足 P(|X|b)=a 的*(其中 t (n
13、)为满足 P(Xt (n)= 的实数)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.函数 y=y(x)由微分方程 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：所给微分方程*可以改写成 * 它的通解为* 将 y(1)=0代入得 C=1所以*从而由 * 得曲线 y=y(x)的斜渐近线方程 y=-x，）解析：计算曲线 y=f(x)的斜渐近线方程时，总是要先计算 * 如果这两个极限中至少有一个不存在，则计算 *10.设 a 是常数，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：由于在0，+)上 * 且*收敛，所以，*是收敛的反常积分，从而有 * * 即* * 所以，*）解析：对收敛的反常积分，可
14、以与定积分那样施行变量代换法与分部积分法11.设函数 f(x，y)在点(0，0)处可微，且 则极限 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：由于* * * (1) 其中，* * 将它们代入式(1)得 *）解析：由于 f(x，y)仅在点(O，0)处可微，所以需用偏导数与全微分的定义计算本题的极限 由于f(x，y)在点(0，0)处可微，所以有 * 特别当 x=y=t 时，上式成为 * 计算*时就利用了上式12.函数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：由于*所以 f(x)有最小值*， 此外，* * 所以，由零点定理(推广形式)及 f(x)的单调性(即 f(x)在(-，-1)上单调减
15、少，在(-1，+)上单调增加)知，f(x)在(-，-1)与(-1，+)上各仅有一个零点，故 f(x)在(-，+)上的零点个数为 2）解析：当函数 f(x)在a，b上连续，且 f(a)f(b)0 时，f(x)在a，b上有零点；当函数 f(x)在a，b上连续、单调，且 f(a)(b)0 时，f(x)在a，b上有且仅有一个零点 上述的区间换为无穷区间，结论仍成立13.已知三阶矩阵 ，记它的伴随矩阵为 A*，则三阶行列式 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：显然|A|=2，此外，记三阶单位矩阵为 E，则 * 所以，* *）解析：计算矩阵的行列式时，以下结论是常用的：设 A、B 都是 n 阶矩
16、阵，则|AB|=|A|B|，|kA|=k n|A|(k 是常数)，|A*|=|A|n-1(n1)当 A 可逆时，*14.设 X 是离散型随机变量，其分布函数为 又设 Y 是连续型随机变量，其概率密度为 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：由于*，所以 *）解析：由于 F(x)有间断点 x=0，1，2，所以 X 的概率分布为 X 0 1 2PF(0)-F(0-)F(1)-F(1-)F(2)-F(2-)即*三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_正确答案：(* (1)其中，x0 时sinxln(ex+sinx)=sinxln1+(e x-1+s
17、inx)x(e x-1+sinx)，ln(1+x2)x 2所以*将它代入式(1)得*)解析：本题题解中有两点值得注意：()计算 00，1 ， 0型未定式极限 limf(x)g(x)时，应先指数化，即 limf(x)g(x)=elimg(x)ln(x)()计算*型未定式极限*时，应先进行化简，其中 f(x)，g(x)分别用它们的等价无穷小代替是化简的重要手段之一16.设 （分数：10.00）_正确答案：(D 如图的阴影部分所示，所以 * * 其中* * 所以，*)解析：应记住以下公式：设 f1(x)，f 2(x)都是连续函数，且 0f 1(x)f 2(x)(0axb)，设 D=(x，y)|0ax
18、b，f 1(x)yf 2(x)，则D 绕 x 轴旋转一周而成的旋转体体积*D 绕 y 轴旋转一周而成的旋转体体积*17.计算二次积分 （分数：10.00）_正确答案：(记 D1=|(x，y)|0y1，yx1=(x，y)|0yx，0x1*则 D1与 D2如图所示，于是由*得到*)解析：对*，只有改变积分次序才能算出其值，但是，对于*，不改变积分次序，同样可以算出其值具体如下： * * 显然，现在的计算比题解中的计算复杂得多18.求微分方程 y+2y+y=e -x+sin2xcosx 的通解（分数：10.00）_正确答案：(所给微分方程可以改写成* (1)式(1)的齐次线性微分方程y+2y+y=0
19、 (2)的特征方程之根为二重根-1，所以式(2)的通解为Y=(C1+C2X)e-x此外，式(1)有特解y*=Ax2e-x+(A1cosx+B1sinx)+(A2cos3x+B2sin3x). (3)将式(3)代入式(1)得*从而有*因此，所给方程的通解为y=Y+y*)解析：题解中有两点值得注意：()由于式(2)的特征方程的根为 r=-1(二重)，所以它的通解为(C 1+C2x)e-x()由于式(1)的右边有 ex =e-x的项，这里的 =-1 是式(2)的特征方程之二重根，所以式(1)的特解中有Ax2e-x的项19.求幂级数 （分数：10.00）_正确答案：(记*则*所以，所给幂级数的收敛区间
20、为x|x 21=(-1，1)当 x=-1，1 时，幂级数成为*它是收敛的，所以所给幂级数的收敛域为-1，1对 X-1，1得*所以所给幂级数的和函数s(x)=-ln(1+x2)+2xarctanx(x-1，1)解析：题解中以下两点值得注意： ()*是按公式 *得到的 ()由于*，所以*是定积分而不是反常积分.20.设方程组 Ax= 有解(1，2，2，1) T和(1，-2，4，0) T，其中矩阵 A=( 1， 2， 3， 4)的秩为 3，且 1， 2，a 3， 4， 都是 4 维列向量，求方程组 By= 1+2 2的通解，其中矩阵B=( 3， 2， 1，- 4)（分数：11.00）_正确答案：(由
21、题设知(1，2，2，1) T-(1，-2，4，0) T=(0，4，-2，1) T是方程组 Ax=0 的解，所以有4 2-2 3+ 4=0，即 4=-4 2+2 3.由题设(1，-2，4，0) T是方程组 Ax= 的解得= 1-2 2+4 3于是方程组 By= 1+2a2，即( 3， 2， 1，- 4)y= 1+2 2，成为( 3， 2， 1， 1+2 2+2 3)y= 1+2 2. (1)由 A=( 1， 2， 3， 4)的秩为 3 知 1， 2， 3线性无关，由此得到式(1)的系数矩阵的秩为 3，于是对应的齐次方程组的解(2，2，1，-1) T即为这个齐次方程组的基础解系，此外式(1)有特解
22、(-2，0，0，1) T所以，式(1)，即方程组 By= 1+2 2的通解为y=C(2，2，1，-1) T+(-2，0，0，1) T(C 为任意常数)解析：要记住：齐次线性方程 Ax=0(其中 A 是 mn 矩阵，x 是 n 维未知列向量)的基础解系中所包含的线性无关的解向量个数为 n-r(A)21.设 f(x1，x 2，x 3)=xTAx，其中 x=(x1，x 2，x 3)T，（分数：11.00）_正确答案：(由于*所以二次型 f(x1，x 2，x 3)的矩阵*由题设知*即*解此方程组得 a=3，b=1于是，*记*即*则*(规范形)解析：题解中的以下两点值得注意：()f(x 1，x 2，x
23、3)=xTAx 中的 A 不是实对称矩阵，所以它不是二次型 f(x1，x 2，x 3)的矩阵，只有写成f(x1，x 2，x 3)=xTBx(其中 B 是实对称矩阵)时，B 才是 f(x1，x 2，x 3)的矩阵()计算 f(x1，x 2，x 3)在可逆线性变换 x=Cy(其中 C 是可逆矩阵，x=(x 1，x 2，x 3)T，y=(y 1，y 2，y 3)T)下的规范形，总是对 f(x1，x 2，x 3)施行配平方方法22.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：11.00）_正确答案：()关于 X 的边缘概率密度 * 关于 Y 的边缘概率密度 * ()由于 EX=1，所以 * * 由于
24、* 其中，* *(其中是如图阴影部分所示的三角形) * *)解析：关于 fX(x)的以下计算是错误的：*这一点应注意，关于 fY(y)的计算也有同样说法23.设总体 X 的概率分布为 X 0 1 2 3P 22(1-) 2 1-2()试用总体 X 的简单随机样本值 3，1，3，0，3，1，2，3，求 的矩估计值 ()设 X1，X 2，X n是来自 X(其未知参数 为()中确定的 （分数：11.00）_正确答案：()由于 EX=0 2+12(1-)+2 2+3(1-2)=3-4，并且，样本值的平均值*所以，由矩估计法，令*，即 3-4=2 得 的矩估计值*()由题设知*当 n 充分大时，由中心极限定理(具体是棣莫弗-拉普拉斯定理)得*因此，所求的参数为*)解析：计算关于随机变量 XN(， 2)的概率问题时，总是引入标准化随机变量 Xo=*，则 XoN(0，1)【标准正态分布)于是 X 的分布函数*(其中 (u)是标准正态分布函数)，即*由此可知，当*时，XN(a，b 2)本题中的参数就是如此得到的
