1、考研数学三-224 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题 lilist-style-typ(总题数：8，分数：32.00)1.方程 2x-x2-1=0 的不同实根个数为 A.1； B.2； C.3； D.4（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 （分数：4.00）A.B.C.D.3.收敛半径 R=1 是幂级数 （分数：4.00）A.B.C.D.4.微分方程 y+y=2sinx 应有的特解形式为 A.acosx+bsinx； B.x(acosx+bsinx)； C.axcosx； D.bxsinx（分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A 是 n 阶可逆矩阵， 是
2、 A 的对应特征值 的特征向量，且存在 n 阶可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B，则AB -1有特征值 及对应的特征向量 P-1；BB -1有特征值 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 n 维向量组()： 1，a 2， m和()： 1， 2， m(mn)，记矩阵 A=( 1，a 2， m)和B=( 1， 2， m)，则下列命题不正确的是 A.当()与()等价时，()与()等秩； B.当()与()等秩时，()与()等价； C.当 A 与 B 等价时，A 与 B 等秩； D.当 A 与 B 等秩时，A 与 B 等价（分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X 的概率密度 记 Y=X2
3、和二维随机变量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)，则 F(1，4)等于（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 X1，X 2，X n是来自总体 XN(0， 2)的一个简单随机样本，则统计量 Y= 的数学期望与方差分别为（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 （分数：4.00）填空项 1:_10.设二元函数 f(u，v)可微，则 （分数：4.00）填空项 1:_11.级数 （分数：4.00）填空项 1:_12.设某商品的收益函数为 R(p)，收益弹性为 1+p+plnp，(其中 p 是价格)，且 R(1)=1，则 R(p)=_.（分数：4.00）
4、填空项 1:_13.设四阶矩阵（分数：4.00）填空项 1:_14.某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 p(0p1)，记 A 为“此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标”这一事件，又记 X 为服从参数为 P(A)的 0-1 分布的随机变量，则 E(X2)=_.（分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.求不定积分 （分数：10.00）_16.已知 fn(x)满足 ，且 ，记 （分数：10.00）_17.求二元函数 f(x，y)=2x 2+y2-2x2y2在闭区域 D=(x，y)|x 2+2y21，y0上的最大值与最小值（分数：10.
5、00）_18.设函数 其中 D1，D 2是OAB 被曲线 xy+x+y=1 划分成的两部分(见图)，求二重积分 .（分数：10.00）_19.设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，且 （分数：10.00）_20.设向量组 1=(1，0，a) T， 2=(0，1，1) T， 3=(b，3，5) T不能由向量组 1(1，1，1)T， 2=(1，2，3) T， 3=(3，4，b) T线性表示，但 1， 2， 3可由向量组 1，a 1+ 2， 1+ 2+ 3线性表示，求常数 a，b.（分数：11.00）_21.设二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 在正交变换 x=Qy(其中
6、 x=(x1，x 2，x 3)T，y=(y 1，y 2，y 3)T以及 Q 是三阶正交矩阵)下的标准形为 ，且 Q 的第 3 列为 （分数：11.00）_22.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为（分数：11.00）_23.设总体 X 的概率密度为 （分数：11.00）_考研数学三-224 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题 lilist-style-typ(总题数：8，分数：32.00)1.方程 2x-x2-1=0 的不同实根个数为 A.1； B.2； C.3； D.4（分数：4.00）A.B.C. D.解析：显然 x=0，1 都是方程的实根记 f(x)=2x-x
7、2-1，则 f(x)连续，且*，所以由零点定理(推广形式)知方程 f(x)=0 在(2，+)上有实根，记为 x0.如果 f(x)=0 还有不同实根 x1，不妨设 x1x 0。，则由 f(x)三阶可导，且 f(0)=f(1)=f(x0)=f(x1)及罗尔定理(高阶导数形式)知，存在 (0，x)，使得f(3)()=0. (1)另一方面，计算 f(x)的三阶导数得f(3)()=2 (ln2)30， (2)由式(1)与式(2)矛盾知，方程 f(x)=0，即 2x-x2-1=0 除 0，1，x 0外，别无其他实根，因此选 C.()零点定理的一种推广形式设函数 f(x)在a，+)上连续，且*，则存在 (a
8、，+)，使得 f()=0()罗尔定理的一种高阶导数形式设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内三阶可导，且存在 x1，x 2(a，b)(其中 x1x 2)，使得 f(a)=f(x1)=f(x2)=f(b)，则存在 (a，b)，使得 f(3)()=0.2.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：利用对称区间上定积分性质可得*(由于被积函数是奇函数)，*(由于 sin3x 是奇函数，cos 4x 是偶函数，在*，且仅在点*处取等号)，*(由于 x2sin3x 是奇函数，cos 7x 是偶函数，在*，且仅在点*处取等号)，所以，PMN因此选 C应记住对称区间上定积分的性质：设 f(x)在
9、-a，a上连续，则*此外，当 f(x)是非奇非偶函数时，有*3.收敛半径 R=1 是幂级数 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：当*的收敛半径为 1 时，它在点 x=-1 处可能是条件收敛(如*)，也可能不是条件收敛(如*或*)，但当*在点 x=-1 处条件收敛时，它的收敛半径必为 1. 于是收敛半径为 1 是*在点 x=-1 处条件收敛的必要而非充分条件，因此选 B.对于幂级数*，当其收敛半径为 R(正数)时，必在(-R，R)内绝对收敛，但在端点 x=-R，R 处可能收敛(条件收敛或绝对收敛)，也可能发散，应视a n而定4.微分方程 y+y=2sinx 应有的特解形式为 A.acosx
10、+bsinx； B.x(acosx+bsinx)； C.axcosx； D.bxsinx（分数：4.00）A.B. C.D.解析：由于所给的微分方程右端函数2sinx=ex (0cosx+2sinx)(其中 =0，=1)，而 +i=i 是对应的齐次线性微分方程 y+y=0的特征方程之根，所以 y+y=2sinx 应有的特解形式为 x(acosx+bsinx)因此选 B.对于常系数非齐次线性微分方程*(式中 Pl(x)，Q m(x)分别是 l 与 m 次多项式)应有如下形式的特解：*(式中*都是 n 次多项式，n=maxl，m，k=0，1，视 +i 是否为 y+py+qy=0 的特征方程r2+p
11、r+q=0 的根而定)5.设 A 是 n 阶可逆矩阵， 是 A 的对应特征值 的特征向量，且存在 n 阶可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B，则AB -1有特征值 及对应的特征向量 P-1；BB -1有特征值 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：当 A 可逆时，0，且 A-1有特征值*及对应的特征向量 ，B=P -1AP 有特征值 及对应的特征向量 P-1从而 B-1有特征值*及对应的特征向量 P-1因此选 A.设 A 是 n 阶矩阵，有特征值 及对应的特征向量 ，则 B=P-1AP(P 是 n 阶可逆矩阵)有特征值 及对应的特征向量 P-1. 此外，当 A 可逆时，A -1与 A*分别有
12、特征值*与*以及对应的特征向量 6.设 n 维向量组()： 1，a 2， m和()： 1， 2， m(mn)，记矩阵 A=( 1，a 2， m)和B=( 1， 2， m)，则下列命题不正确的是 A.当()与()等价时，()与()等秩； B.当()与()等秩时，()与()等价； C.当 A 与 B 等价时，A 与 B 等秩； D.当 A 与 B 等秩时，A 与 B 等价（分数：4.00）A.B. C.D.解析：由于当()与()等价时，()与()等秩；当 A 与 B 等价时，A 与 B 等秩，反之也对. 所以选项A、C、D 都正确。因此选 B.当()与()等秩时，未必等价例如， 1=(1，0，0)
13、 T， 2=(0，1，0) T， 1=(1，0，0)T， 2=(0，0，1) T显然 r( 1， 2)=r( 1， 2)，但是 2不能由 1， 2线性表示，即 1， 2与 1， 2不等价，由本题可知，题中的()、()等价与 A、B 等价是有区别的，应注意这一点7.设随机变量 X 的概率密度 记 Y=X2和二维随机变量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)，则 F(1，4)等于（分数：4.00）A.B.C. D.解析：F(1，4)=P(X1，Y4)=P(X1，X 24) =P(-2X1)*因此选 C.顺便计算 X 的分布函数 G(x)=P(Xx)：当 x-1 时，*；当-1x0 时，*；当 0x2
14、 时，*；当 x2 时，*所以，*8.设 X1，X 2，X n是来自总体 XN(0， 2)的一个简单随机样本，则统计量 Y= 的数学期望与方差分别为（分数：4.00）A.B.C. D.解析：由于*，所以*因此选 C应记住以下结论：设 X1，X 2，X n是来自总体 N(， 2)的简单随机样本，记*，则*此外，设 X- 2(n)，则 EX=n，DX=2n.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：由 f(x)在点 x=0 处连续知* (1)式中，* (2)将式(2)代入式(1)得 a=e2）解析：计算 00，1 ， 0型未定式极限 lim
15、f(x)g(x)时，应首先将函数指数化，即f(x) g(x)=eg(x)lnf(x)，于是*10.设二元函数 f(u，v)可微，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：* *）解析：计算多元复合函数的偏导数时，应先画出该函数与自变量之间的复合关系图，例如本题的关系图为 * 然后按关系图计算有关的偏导数11.级数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：由于* * 所以，* 附注应记住*. 顺便计算* *）解析：12.设某商品的收益函数为 R(p)，收益弹性为 1+p+plnp，(其中 p 是价格)，且 R(1)=1，则 R(p)=_.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案
16、：由题设知*即*所以，*将 R(1)=1 代入上式得R(p)=p1+p）解析：由于 R(p)是 p 的单调增加函数，所以 R(p)的弹性为*13.设四阶矩阵（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：由于 A*=|A|A-1，其中*此外，由*得*从而*）解析：如果记住以下公式，将快捷地算出 A*.设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则*14.某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 p(0p1)，记 A 为“此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标”这一事件，又记 X 为服从参数为 P(A)的 0-1 分布的随机变量，则 E(X2)=_.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案
17、：由于 P(A)=C13p(1-p)2p=3p2(1-p)2，则 X 的概率分布为 X0 1P1-3p2(1-P)23p2(1-p)2所以，E(X 2)=123p2(1-p)2=3p2(1-p)2）解析：服从参数为 的 0-1 分布的随机变量 X 的概率分布为 X0 1P1- (01)由此可算出 X 的数字特征，例如EX=E(X2)=，DX=(1-).三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.求不定积分 （分数：10.00）_正确答案：(* *)解析：当*不易计算时，有时可采用以下方法计算，即将不定积分*改写成两个不定积分之和： * 并且对其中一个，例如对*施行分部积分消去*本题的
18、*就是如此计算的16.已知 fn(x)满足 ，且 ，记 （分数：10.00）_正确答案：(由于 fn(x)满足*所以，*将*代入上式得 C=0，所以*从而 s(x)=*由于*即函数 y=s(x)有唯一零点 x=0，在(-，0)上 s(x)0，在(0，+)上 s(x)0；*即函数 y=s(x)在(-，-ln2上单调减少，在-ln2，+)上单调增加，s(-ln2)=*是极小值，无极大值；*即曲线 y=s(x)在(-，-2ln2上是凸的，在-2ln2，+)上是凹的，*是拐点；*，即曲线 y=s(x)有水平渐近线 y=0所以 y=s(x)的图形如图所示*)解析：作函数 y=f(x)的简图时，应确定 y
19、=f(x)取正值与负值的区间(零点)，单调增加与单调减少区间(极值)，曲线 y=f(x)的凹凸区间(拐点)以及渐近线本题一一计算了这些要素后，作出了简图17.求二元函数 f(x，y)=2x 2+y2-2x2y2在闭区域 D=(x，y)|x 2+2y21，y0上的最大值与最小值（分数：10.00）_正确答案：(由*知方程组*即*在 D 的内部无解，即 f(x，y)在 D 的内部无可能极值点D 的边界由 C1=x2+2y2=1(y0)与 C2：y=0(-1x1)组成*，且 (x)在点 x=0 处取最小值*，在 x=-1 或 1 处取最大值 2，即 f(x，y)在 C1上的最小值为*，最大值为 2*
20、，在点 x=0 处取到最小值 0，在点 x=-1，1 处取到最大值 2，即 f(x，y)在 C2上的最小值为 0，最大值为 2因此，f(x，y)在 D 上的最小值为 0，最大值为 2)解析：设函数 f(x，y)在有界闭区域 D 上连续，则它在 D 上必有最小值与最大值，它们可按以下步骤计算：()计算(x，y)在 D 的内部的所有可能极值点，记为(x1，y 1)，(x 2，y 2)，(x n，y n)；()计算 f(x，y)在 D 的边界上的最小值和最大值，记为 m1与 M1；()比较 f(x1，y 1)，f(x 2，y 2)，f(x n，y n)，m 1，M 1，其中最小者(最大者)即为 f(
21、x，y)在 D 上的最小值(最大值)18.设函数 其中 D1，D 2是OAB 被曲线 xy+x+y=1 划分成的两部分(见图)，求二重积分 .（分数：10.00）_正确答案：(* 式中，* 于是* *)解析：计算分块函数的二重积分，必须根据函数的分块将积分区域分成若干小块，并逐一计算各小块上的二重积分后相加即得所求的二重积分19.设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，且 （分数：10.00）_正确答案：(c 将a，b分成两个小区间a，c与c，b由于*，所以存在 x1(a，c)，使得 f(x1)f(a)由于*，所以存在 x2(x 1，c)，使得 f(x2)f(c)因此 f(x)
22、在a，c上的最大值在(a，c)内取到，于是由费马定理知存在 1(a，c)，使得f( 1)=0此外，由 f(c)=f(b)知 f(x)在c，b上满足罗尔定理条件，所以存在 2(c，b)，使得 f( 2)=0由题设及以上证明知，f(x)在 1， 2上满足罗尔定理条件，所以存在 ( 1， 2)*(a，b)，使得 f()=0)解析：当函数 f(x)在a，c上有连续导数，且*，则容易知道，存在 (a，c)，使得 f()=0但是，从本题的证明可知，“当 f(x)在a，c上可导(未必有连续导数)，且*，则存在 (a，c)，使得f()=0，”记住这个结论，有助于快速解题20.设向量组 1=(1，0，a) T，
23、 2=(0，1，1) T， 3=(b，3，5) T不能由向量组 1(1，1，1)T， 2=(1，2，3) T， 3=(3，4，b) T线性表示，但 1， 2， 3可由向量组 1，a 1+ 2， 1+ 2+ 3线性表示，求常数 a，b.（分数：11.00）_正确答案：(由于 1， 2， 3不能由 1， 2， 3线性表示，所以矩阵方程( 1， 2， 3)X=( 1， 2， 3)无解，从而*由于*所以，b=5 时，*，即此时 1， 2， 3不能由 1， 2， 3线性表示由于 1， 2， 3可由 1， 1+ 2， 1+ 2+ 3线性表示，所以矩阵方程( 1， 1+ z， 1+ 2+ 3)Y=( 1，
24、2， 3)有解，从而*将 b=5 代入得*所以，*时，*(=3)，即此时 1， 2， 3可由 1， 1+ 2， 1+ 2+ 3线性表示)解析：题解中有两点值得注意：()矩阵方程 AX=B 有解的充分必要条件是*而无解的充分必要条件是*()没有两个 n 维向量组(A)： 1， 2， r，(B)： 1， 2， s，则向量组(A)可由向量组(B)线性表示，且表示式唯一的充分必要条件是矩阵方程( 1， 2， s)X=( 1， 2， r) (1)有唯一解；向量组(A)可由向量组(B)线性表示，但表示式不唯一的充分必要条件是矩阵方程(1)有无穷多解；向量组(A)不可由向量组(B)线性表示的充分必要条件是矩
25、阵方程(1)无解21.设二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 在正交变换 x=Qy(其中 x=(x1，x 2，x 3)T，y=(y 1，y 2，y 3)T以及 Q 是三阶正交矩阵)下的标准形为 ，且 Q 的第 3 列为 （分数：11.00）_正确答案：(由于 f(x1，x 2，x 3)在正交变换 x=Qy 下的标准形为*，所以，A 有特征值 1= 2=1， 3=-1，且对应 3=-1 的特征向量为*设对应 1= 2=1 的特征向量为 =(a 1，a 2，a 3)T，则由 A 是实对称矩阵知， 与 3正交，即a1+a3=0.它的基础解系为 1=(0，1，0) T， 2=(-1，0，1)
26、T，它们即为 A 的对应 1= 2=1 的特征向量 1， 2， 3是正交向量组，现将它们单位化： 1= 1=(0，1，0) T，*它们是 A 的分别对应特征值 1，1，-1 的特征向量，由此可知，A *的特征值为*它们对应的特征向量分别为 1， 2， 3，记 Q=( 1， 2， 3)(正交矩阵)，则*从而*)解析：题解中有两点值得注意：()设 A 是 n 阶可逆矩阵，有特征值 及对应的特征向量 ，则 A*有特征值*及对应的特征向量 .()设 A 是可逆实对称矩阵，正交矩阵 Q 使它正交相似对角化，则 Q 也使 A*正交相似对角化22.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为（分数：11.00）_正
27、确答案：()关于 X 的边缘概率密度*记 Z 的分布函数为 F(z)，则 F(z)=P(Zz)当 z0 时，P(Zz)=p(X 2z)=0；当 0z1 时，*当 z1 时，*所以，*，从而*()E(X-Y) 2=E(X2)+E(Y2)-2E(XY)，式中*同样可得*此外，*所以，*附注 E(X-Y)2也可按计算公式直接计算：*)解析：23.设总体 X 的概率密度为 （分数：11.00）_正确答案：(由于*，所以由矩估计法令*得*，即*，所以 的矩估计值*似然函数 L()=f(x 1)f(x2)f(xn)的最大值只能当 0x 1，x 2，x n1 时取到，所以取*取对数得*由*知*的解为*所以， 的最大似然估计值为*)解析：应熟练掌握总体未知参数的两种点估计法：矩估计法与最大似然估计法.
