1、考研数学三-212 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设随机变量 X 的密度函数为 (x)，且 (-x)=(x)F(x)为 X 的分布函数，则对任意实数 a，有_（分数：4.00）A.B.C.D.2.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A 1=掷第一次出现正面，A 2=掷第二次出现正面)，A 3=正、反面各出现一次)，A 4=正面出现两次)，则事件_（分数：4.00）_3.设 n 阶矩阵 A 与 B 等价，则必有_（分数：4.00）A.当|A|=a(a0)时，|B|=aB.当|A|=a(a0)时，|B|=-aC.当|A|0 时，|
2、B|=0D.当|A|=0 时，|B|=04.设二维随机变量 X 和 Y 相互独立，其概率分布为则下列式子正确的是_（分数：4.00）_5.设可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处取得极小值，则下列结论正确的是_（分数：4.00）A.f(x0，y)在 y=y0处的导数等于零B.f(x0，y)在 y=y0处的导数大于零C.f(x0，y)在 y=y0处的导数小于零D.f(x0，y)在 y=y0处的导数不存在6.两次积分 可以写成_（分数：4.00）A.B.C.D.7.设函数 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 n 阶矩阵 A 非奇异(n2)，A *是矩阵 A 的伴随矩阵，则_（分数：4
3、.00）A.（A *） *=|A|n-1AB.（A *） *=|A|n+1AC.（A *） *=|A|n-2AD.（A *） *=|A|n+2A二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.极限 （分数：4.00）填空项 1:_10.设 z=esinxy，则 dz=_（分数：4.00）填空项 1:_11.设 n 维向量 =(a，0，0，a) T，a0；E 为 n 阶单位矩阵，矩阵（分数：4.00）填空项 1:_12.二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2的秩为_（分数：4.00）填空项 1:_13.从数 1，2，3，4 中任取一个数，记为 x，
4、再从 1，X 中任取一个数，记为 Y则 PY=2=_.（分数：4.00）_14.设总体 X 服从正态分布 N( 1， 2)，总体 Y 服从正态分布 N( 2， 2)，X 1，X 2， 和Y1，Y 2， 分别是来自总体 X 和 Y 的简单随机样本，则 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：9.00）_16.曲线 （分数：9.00）_17.设 f(x)在闭区间0，c上连续，其导数 f(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)=0试应用拉格朗日中值定理证明不等式：f(a+b)f(a)+f(b)，其中常数 a，b 满足条件 0aba+b
5、C（分数：11.00）_18.设 ，x0，y0求：() () （分数：11.00）_19.k 为何值时，线性方程组（分数：10.00）_20.设矩阵 （分数：11.00）_21.设随机变量 X 的概率密度为（分数：11.00）_22.假设随机变量 X 和 Y 同分布，X 的概率密度为(1) 已知事件 A=xa 和 B=ya)独立，且 ，求常数 a；(2) 求 （分数：11.00）_23.设总体 X 的概率密度为（分数：11.00）_考研数学三-212 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设随机变量 X 的密度函数为 (x)，且 (-
6、x)=(x)F(x)为 X 的分布函数，则对任意实数 a，有_（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点提示 利用连续型随机变量分布函数的定义即可解题分析 因为随机变量 X 的密度函数为 (x)，且 (-x)=(x)，所以*故应选 B评注 本题也可取 (x)为标准正态密度函数，此时由几何图形立即可得到正确答案2.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A 1=掷第一次出现正面，A 2=掷第二次出现正面)，A 3=正、反面各出现一次)，A 4=正面出现两次)，则事件_（分数：4.00）_解析：考点提示 独立性解题分析 定义事件组=(正正，)，(正，反)，(反，正)，(反，反)3.设 n 阶矩阵 A
7、 与 B 等价，则必有_（分数：4.00）A.当|A|=a(a0)时，|B|=aB.当|A|=a(a0)时，|B|=-aC.当|A|0 时，|B|=0D.当|A|=0 时，|B|=0 解析：考点提示 矩阵等价解题分析 由题设，若 B=A，则 A 与 B 等价，因此|A|=|B|，显然 B，C 不正确其次，当|A|0 时，若对 A 施以一定的初等变换得 B，则|B|可以变为任何不为 0 的实数，可见 A 亦不正确，所以只有 D 正确事实上，由于初等变换不改变矩阵的秩，直接可判断出只有 D 正确，综上，选 D4.设二维随机变量 X 和 Y 相互独立，其概率分布为则下列式子正确的是_（分数：4.00
8、）_解析：考点提示 关键是正确分解事件X=Y解题分析 由 X 与 Y 相互独立知*故应选 C评注 1 本题考查二维离散型随机变量的概率计算评注 2 X 与 Y 同分布时，不一定有 X=Y 或 PX=Y5.设可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处取得极小值，则下列结论正确的是_（分数：4.00）A.f(x0，y)在 y=y0处的导数等于零 B.f(x0，y)在 y=y0处的导数大于零C.f(x0，y)在 y=y0处的导数小于零D.f(x0，y)在 y=y0处的导数不存在解析：考点提示 二元函数的极值点、偏导数的定义解题分析 由题设 f(x，y)可微则在点(x 0，y 0)处有偏导数，从而
9、由偏导数的定义，得*因此由 f(x，y)在点(x 0，y 0)处取极小值知 fy(x0，y 0)=0，从而*，因此选 A6.两次积分 可以写成_（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点提示 累次积分的计算解题分析 由原累次积分限知积分区域在直角坐标系中是*，Orcos 上半圆周的直角坐标方程为*故知如图所示*7.设函数 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点提示 极限、间断点解题分析 由已知*，当 x-1 时，f(x)=0；当-1x1 时，f(x)=l+x；当 x=1 时，f(x)=1；当 x1 时，f(x)=0所以*不难确定在点 x=1 处 f(x)间断，选 B8.设 n 阶矩
10、阵 A 非奇异(n2)，A *是矩阵 A 的伴随矩阵，则_（分数：4.00）A.（A *） *=|A|n-1AB.（A *） *=|A|n+1AC.（A *） *=|A|n-2A D.（A *） *=|A|n+2A解析：考点提示 利用伴随矩阵的性质和行列式的性质即可解题分析 涉及伴随矩阵 A*，首先联想到公式 AA*=A*A=|A|E由题设，矩阵 A 非奇异，故 A 可逆，所以由公式 AA*=A*A=|A|E 可得 A*=|A|A-1，于是*故应选 C二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.极限 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：考点提示 先有理化再求极限解题分析
11、*10.设 z=esinxy，则 dz=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e sinxycosxy(ydx+xdy)）解析：考点提示 全微分解题分析 详解 1 *所以*详解 2 利用一阶全微分形式的不变性：dz=esinxyd(sinxy)=esinxycosxyd(xy)=esinxycosxy(ydx+xdy)11.设 n 维向量 =(a，0，0，a) T，a0；E 为 n 阶单位矩阵，矩阵（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-1）解析：考点提示 矩阵运算、可逆矩阵解题分析 由题设，知 AB=E，从而*由已知 =(A，0，0，a) T，且 a0，则 T0，而 T=2
12、a 2，于是*0，解得 a=-1(正根舍去)12.二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2的秩为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：考点提示 二次型的秩解题分析 由题设，*则该二次型的矩阵为*，由初等行变换可将 A 化为*，则 r(A)=2，所以二次型的秩为 213.从数 1，2，3，4 中任取一个数，记为 x，再从 1，X 中任取一个数，记为 Y则 PY=2=_.（分数：4.00）_解析：考点提示 条件概率、全概率公式解题分析 因为事件X=1，X=2，X=3，X=414.设总体 X 服从正态分布 N( 1， 2)，总体 Y
13、 服从正态分布 N( 2， 2)，X 1，X 2， 和Y1，Y 2， 分别是来自总体 X 和 Y 的简单随机样本，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： 2）解析：考点提示 统计量的期望解题分析 由题设，根据样本方差是方差的无偏估计，知*即*所以*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：9.00）_正确答案：(*)解析：考点提示 求函数的极限16.曲线 （分数：9.00）_正确答案：(由*，从而切点*处的切线方程为*该切线与 x 轴和 y 轴的交点分别为(3a，0)和*，因此此切线与 x 轴和 y 轴所围成的平面图形的面积为*当切点沿曲线趋于无穷远时，分两种
14、情况：(1) 当切点沿 x 轴正向趋于无穷远时*(2) 当切点沿 y 轴正向趋于无穷远时，*)解析：考点提示 切线方程、平面图形的面积、极限17.设 f(x)在闭区间0，c上连续，其导数 f(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)=0试应用拉格朗日中值定理证明不等式：f(a+b)f(a)+f(b)，其中常数 a，b 满足条件 0aba+bC（分数：11.00）_正确答案：(当 a=0 时，f(0)=0，有 f(a+b)=f(b)=f(a)+f(b)；当 a0 时，在0，a和b，a+b上分别应用拉格朗日中值定理有*显然 0 1ab8 时F(x)=1；当 x1，8时*综上，*设 G(y)
15、为随机变量 Y 的分布函数当 y0 时，G(y)=0；当 y11 时，G(y)=1；当 y(0，1)时，*综上，Y=F(X)的分布函数为*)解析：考点提示 分布函数22.假设随机变量 X 和 Y 同分布，X 的概率密度为(1) 已知事件 A=xa 和 B=ya)独立，且 ，求常数 a；(2) 求 （分数：11.00）_解析：23.设总体 X 的概率密度为（分数：11.00）_正确答案：()本题中被估计参数 是总体期望 u 的线性函数，应用样本均值的同一线性函数作为 的矩估计*则*，所以 的矩估计为*() 求最大似然估计，先要写出其似然函数因为总体 X 是连续型随机变量，所以其似然函数是(X1，X 2，X n)的联合概率密度因为已知 N 为样本值 x1，x 2，x n中小于 1 的个数，即样本值 x1，x 2，x n中有 N 个小于 1，其余 n-N个大于或等于 1，所以似然函数为L= N(1-) n-N，从而有*令*所以 的最大似然估计为*)解析：考点提示 矩估计、最大似然估计
