1、考研数学三-211 及答案解析(总分：93.00，做题时间：90 分钟)一、B填空题/B(总题数：6，分数：12.00)1. （分数：4.00）填空项 1:_2. （分数：1.00）填空项 1:_3. （分数：1.00）填空项 1:_4. （分数：1.00）填空项 1:_5.一阶常系数差分方程 yt+1-4yt=16(t+1)4t满足初值)y 0=3 的特解是 yt=_（分数：4.00）填空项 1:_6. （分数：1.00）填空项 1:_二、B选择题/B(总题数：8，分数：17.00)7. （分数：4.00）A.B.C.D.8. （分数：1.00）A.B.C.D.9.设二元函数 f(x，y)在
2、点(x 0，y 0)处的两个偏导数 fx(x0，y 0)与 fy(x0，y 0)都存在，则(A) 极限 与极限 都存在(B) 极限 （分数：4.00）A.B.C.D.10. （分数：4.00）A.B.C.D.11. （分数：1.00）A.B.C.D.12. （分数：1.00）A.B.C.D.13. （分数：1.00）A.B.C.D.14. （分数：1.00）A.B.C.D.三、B解答题/B(总题数：9，分数：64.00)15.设积分区域 D=(x，y)|0x2，0y1，计算二重积分 （分数：10.00）_16. （分数：1.00）_17.设 f(x)在(0，+)内二阶可导，在0，+)有连续的导
3、数，且 f“(x)0(x0)，求证：F(x)（分数：9.00）_18. （分数：1.00）_19.已知随机变量(X，Y)的概率密度为（分数：11.00）_20. （分数：10.00）_21. （分数：11.00）_22. （分数：1.00）_23.设 f(x)连续，f(0)=0，f(0)0，求 （分数：10.00）_考研数学三-211 答案解析(总分：93.00，做题时间：90 分钟)一、B填空题/B(总题数：6，分数：12.00)1. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*2. （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*3. （分数：1.00）填空项 1:
4、_ （正确答案：应填 2）解析：*4. （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：A=2）解析：*5.一阶常系数差分方程 yt+1-4yt=16(t+1)4t满足初值)y 0=3 的特解是 yt=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(2t 2+2t+3)4t）解析：解析 应设特解为 yt=(At2+Bt+C)4t，其中 A，B，C 为待定常数令 t=0 可得 y0=C，利用初值 y0=3即可确定常数 C=3于是待求特解为 yt=(At2+Bt+3)4t把 yt+1=A(t+1)2+B(t+1)+34t+1=4At2+(2A+B)t+A+B+34t与 yt代入方程可得yt+1-4
5、yt=4(2At+A+B)4t，由此可见待定常数 A 与 B 应满足恒等式4(2At+A+B)=16(t+1)*A=B=2故特解为 y t=(2t2+2t+3)4t6. （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*二、B选择题/B(总题数：8，分数：17.00)7. （分数：4.00）A.B. C.D.解析：*8. （分数：1.00）A.B.C. D.解析：*9.设二元函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数 fx(x0，y 0)与 fy(x0，y 0)都存在，则(A) 极限 与极限 都存在(B) 极限 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 按照偏导数的定
6、义，二元函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处对 x 的偏导数是一元函数 f(x，y 0)在点 x=x0处的导数，即*再由一元函数在某点处可导是该函数在此点处连续的充分条件即知，若二元函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处对 x 的偏导数 fx(x0，y 0)存在，则一元函数 f(x，y 0)在点 x=x0处连续，从而极限*存在，且*与此类似，由二元函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处对 y 的偏导数存在，可得一元函数 f(x0，y)在点 y=y0处连续，从而极限*存在，且*=f(x 0，y 0)评注 读者可用函数*为例验证结论(A)成立，而结论(B)，(C)，(D)皆不成立10
7、. （分数：4.00）A.B.C. D.解析：*11. （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：*12. （分数：1.00）A. B.C.D.解析：*13. （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：*14. （分数：1.00）A.B.C. D.解析：*三、B解答题/B(总题数：9，分数：64.00)15.设积分区域 D=(x，y)|0x2，0y1，计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：(用 x2+y2=1 把积分区域 D 分成 D1与 D2两个区域，如图，则*因 D 2=(x，y)0y1，故*令 y=sin，可分别得*代入就有*于是所求的二重积分*)解析：16. （分数：1.00）
8、_正确答案：(* *)解析：17.设 f(x)在(0，+)内二阶可导，在0，+)有连续的导数，且 f“(x)0(x0)，求证：F(x)（分数：9.00）_正确答案：(分析与证明 由题设条件可求得 * 下证* 由于*连续* 单调增加* g(x)g(0)=0 (x0)*因此 F(x)在(0，+)是凹函数。)解析：18. （分数：1.00）_正确答案：(* *)解析：19.已知随机变量(X，Y)的概率密度为（分数：11.00）_正确答案：(常数 A 可以通过性质*来求得*所以 A=1()*，且 fX(x)0而*fX(x)0 等价于 x0，所以当 x0 时，*即 x0 时，*评注 从上面的解法中不难发
9、现，求解的关键在于找出 fX(x)，求*时，即使 A 不知道也没关系，分子、分母的 A 相约了找出了 fX(x)后再根据 fX(x)为密度的性质也很容易求出 A基于上述想法，下面的解法更简单些：*()不难看出 fX(x)为参数为 1 的指数分布，故 A=1()当 fX(x)0，即 X0 时，*所以，当 x0 时，*)解析：20. （分数：10.00）_正确答案：(*)解析：21. （分数：11.00）_正确答案：(* *)解析：22. （分数：1.00）_正确答案：(* *)解析：23.设 f(x)连续，f(0)=0，f(0)0，求 （分数：10.00）_正确答案：(这是“*”型未定式，用洛毕达法则 * 最后一个极限虽是“*”型，但因 f“(x)未必存在，故不能再用洛毕达法则，而须改用其他方法 *)解析：
