1、考研数学三-207 及答案解析(总分：148.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设离散型随机变量(X，Y)的联合分布律为若 X与 Y独立，则 ， 的值为（分数：4.00）_2.设 f(x)与 g(x)在(-，+)上可导，且 f(x)g(x)，则下列结论正确的（分数：4.00）A.f(-x)g(-x)B.f(x)g(x)C.D.3.已知 f(x)在 x=0的某邻域内连续，且 （分数：4.00）A.B.C.D.4.二重积分 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设有二维随机变量(X，Y)，已知 X，Y 的方差分别为 9，4；X，Y 的相关系数 （分数：4.0
2、0）A.B.C.D.6.设线性无关的函数 y1(x)，y 2(x)，y 3(x)均是 2阶非齐次线性方程 y“+p(x)y+q(x)y=f(x)的解，C 1，C 2是任意常数，则该非齐次方程的通解为（分数：4.00）A.C1y1+C2y2+y3B.C1y1+C2y2-(C1+C2)y3C.C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3D.C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y37.设 fx(x0，y 0)存在，则 等于（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 A为 mn矩阵，B 为 nm矩阵，则当 mn 时，方阵 AB的秩（分数：4.00）_二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数
3、：4.00）填空项 1:_10.已知 f(x)为连续函数，且 （分数：4.00）填空项 1:_11.设 f(x)为连续函数，且 （分数：4.00）填空项 1:_12. （分数：4.00）填空项 1:_13.设 A，B 为三阶方阵，且 A的三个特征值分别为 1，2， ，则行列式 （分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 X服从参数为 1的指数分布；随机变量 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：92.00)15.设 f(x)连续，f(0)=0，f(0)0，求 （分数：10.00）_16.设某产品在生产过程中次品率 y依赖于日产量 x，已知 其中 x为正整数，又每生
4、产一个合格品可获利 a元，生产一个次品损失 （分数：10.00）_设 f(x)在(-1，+)上具有连续的一阶导数，且满足 f(0)=1及 f(x)+f(x)- （分数：10.00）(1).求 f(x)；（分数：5.00）_(2).证明：当 x0 时，e -xf(x)1（分数：5.00）_17.设变换 （分数：10.00）_18.求级数 （分数：10.00）_假设 1=(1+，1，1) T， 2=(1，1+，1) T， 3=(1，1，1+) T，=(0， 2)T，问 如何取值（分数：8.01）(1).可使 由 1， 2， 3线性表示，且表示式唯一?（分数：2.67）_(2).可使 由 1， 2，
5、 3不唯一线性表示?（分数：2.67）_(3). 不能被 1， 2， 3线性表示?（分数：2.67）_已知三阶方阵 A的特征值为 1，-1，2，设 B=A3-5A2，求：（分数：11.00）(1).B的特征值及其相似对角矩阵；（分数：5.50）_(2).|B*|及|A+5E|（分数：5.50）_假设某种商品一周的需要量 X是一随机变量，其概率密度函数为假设各周对该商品的需要是相互独立的（分数：15.00）_(2).以 Y表示三周中各周需要量的最大值，求 Y的概率密度 fY(x)（分数：7.50）_已知二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为（分数：8.01）(1).随机变量 X的边缘密度函数 f
6、X(x)；（分数：2.67）_(2).条件密度函数 fY|X(y|x)；（分数：2.67）_(3). （分数：2.67）_考研数学三-207 答案解析(总分：148.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设离散型随机变量(X，Y)的联合分布律为若 X与 Y独立，则 ， 的值为（分数：4.00）_解析：由题设*根据 X与 Y的独立性知PX=1，Y=2=PX=1PY=2，PX=1，Y=3=PX=1PY=32.设 f(x)与 g(x)在(-，+)上可导，且 f(x)g(x)，则下列结论正确的（分数：4.00）A.f(-x)g(-x)B.f(x)g(x)C. D.解
7、析：用举反例的方法，即可得出(C)入选不妨令 f(x)=2，g(x)=1，即可知(A)，(B)，(D)不入选3.已知 f(x)在 x=0的某邻域内连续，且 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：由题设*，且*知必有 f(0)=0从而*即 f(0)=0排除(A)、(B)又由保号性知，在 x=0的某邻域内有*，即 f(x)0=f(0)，根据极值的定义知，f(x)在 x=0处取到极大值故应选(C)4.二重积分 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：积分区域 D关于 x轴对称(或关于 y轴对称)，因此当被积函数关于 y(或关于 x)为奇函数时，积分值为零可见(D)项为正确答案5.设有二维随机变
8、量(X，Y)，已知 X，Y 的方差分别为 9，4；X，Y 的相关系数 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X，Y)*6.设线性无关的函数 y1(x)，y 2(x)，y 3(x)均是 2阶非齐次线性方程 y“+p(x)y+q(x)y=f(x)的解，C 1，C 2是任意常数，则该非齐次方程的通解为（分数：4.00）A.C1y1+C2y2+y3B.C1y1+C2y2-(C1+C2)y3C.C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3D.C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3 解析：因为 C1y1+C2y2不是对应齐次方程通解，所以(A)不入选因为
9、C1y1+C2y2-(C1+C2)y3=C1(y1-y3)+C2(y2-y3)是对应齐次方程的通解，但没有非齐次方程的一个特解所以(B)不入选由非齐次方程解的结构定理，可知(D)入选7.设 fx(x0，y 0)存在，则 等于（分数：4.00）A.B.C. D.解析：*8.设 A为 mn矩阵，B 为 nm矩阵，则当 mn 时，方阵 AB的秩（分数：4.00）_解析：由于秩(AB)min秩(A)，秩(B)，又秩(A)minm，n二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*10.已知 f(x)为连续函数，且 （分数：4.00）填空项 1:
10、_ （正确答案：）解析：因为*11.设 f(x)为连续函数，且 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-(x+y)+f(y)-f(x)）解析：令 x+y-t=u，得*等式两端分别对 x，y 求偏导，得*所以*12. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：利用对称性知*13.设 A，B 为三阶方阵，且 A的三个特征值分别为 1，2， ，则行列式 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2 15）解析：由题设*的三个特征值分别为*即 4，2，8，故|(2A) *|=428=64，从而有*14.设随机变量 X服从参数为 1的指数分布；随机变量 （分数：4.00）填空项
11、 1:_ （正确答案：e -1-e-2）解析：因为*故 DY=pq=(1-e-1)e-1=e-1-e-2三、解答题(总题数：9，分数：92.00)15.设 f(x)连续，f(0)=0，f(0)0，求 （分数：10.00）_正确答案：(这是“*”型未定式，用洛毕达法则*最后一个极限虽是“*”型，但因 f“(x)未必存在，故不能再用洛毕达法则，而须改用其他方法*)解析：16.设某产品在生产过程中次品率 y依赖于日产量 x，已知 其中 x为正整数，又每生产一个合格品可获利 a元，生产一个次品损失 （分数：10.00）_正确答案：(设该厂生产的某产品的日产量为 x，由题设所获利润为*将 x看做连续变量
12、，于是*令*取 x=89，L(89)=79.1a 取 x=90，L(90)=79.09a，可知，该厂的日产量该定为 89件)解析：设 f(x)在(-1，+)上具有连续的一阶导数，且满足 f(0)=1及 f(x)+f(x)- （分数：10.00）(1).求 f(x)；（分数：5.00）_正确答案：(由题设可知 f(0)+f(0)=0*f(0)=-f(0)=-1(因为 f(0)=1)原方程*上式两端对 z求导并整理，得(x+1)f“(x)+(x+2)f(x)=0对 f(x)而言是可分离变量方程*故*)解析：(2).证明：当 x0 时，e -xf(x)1（分数：5.00）_正确答案：(对 f(x)在
13、0，x上，应用拉格朗日中值定理*所以 f(x)f(0)=1(x0)再证 f(x)e -x，令 F(x)=f(x)-e-x，因为*，所以 F(x)“”，x0，+)，故当 x0 时，F(x)F(0)=0，即 f(x)e -x综上所述，当 x0 时，e -xf(x)1)解析：17.设变换 （分数：10.00）_正确答案：(函数的复合关系*将以上各式代入原方程，经整理后得*)解析：18.求级数 （分数：10.00）_正确答案：(*当 x(-1，1)时，令*因 S(0)=0，故*)解析：假设 1=(1+，1，1) T， 2=(1，1+，1) T， 3=(1，1，1+) T，=(0， 2)T，问 如何取值
14、（分数：8.01）(1).可使 由 1， 2， 3线性表示，且表示式唯一?（分数：2.67）_正确答案：(设 k1 1+k2 2+k3 3=，则得线性方程组*其系数行列式为*当 0 且 -3 时，|A|0， 可由 1， 2， 3唯一线性表示；)解析：(2).可使 由 1， 2， 3不唯一线性表示?（分数：2.67）_正确答案：(当 =0 时，|A|=0，齐次方程有无穷多组解，此时 可由 1， 2， 3线性表示，但表达式不唯一；)解析：(3). 不能被 1， 2， 3线性表示?（分数：2.67）_正确答案：(当 =-3 时，这时秩 r(A)=2r(A)=3，故方程组无解，即 不能由 1， 2，
15、3线性表示)解析：已知三阶方阵 A的特征值为 1，-1，2，设 B=A3-5A2，求：（分数：11.00）(1).B的特征值及其相似对角矩阵；（分数：5.50）_正确答案：(因为 A的特征值为 1，-1，2所以存在可逆矩阵 P，使*)解析：(2).|B*|及|A+5E|（分数：5.50）_正确答案：(|B|=(-4)(-6)(-12)=-288，|B*|=|B|n-1=|B|2=(-288)2=(288)2A+5E的特征值分别为 6，4，7故|A+5E|=647=168)解析：假设某种商品一周的需要量 X是一随机变量，其概率密度函数为假设各周对该商品的需要是相互独立的（分数：15.00）_解析：(2).以 Y表示三周中各周需要量的最大值，求 Y的概率密度 fY(x)（分数：7.50）_正确答案：(F Y(x)-F(x)3，其中*fY(x)=FY(x)=3F3(x)f(x)解析：已知二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为（分数：8.01）(1).随机变量 X的边缘密度函数 fX(x)；（分数：2.67）_正确答案：(当 0x1 时，*因此，X 的边缘密度函数为*)解析：(2).条件密度函数 fY|X(y|x)；（分数：2.67）_正确答案：(当 0x2 时，*)解析：(3). （分数：2.67）_正确答案：(*)解析：
