1、考研数学三-204 及答案解析(总分：78.00，做题时间：90 分钟)一、B填空题/B(总题数：6，分数：15.00)1.微分方程 xy+y=0 满足条件 y(1)=1 的解是 y=_（分数：4.00）填空项 1:_2. （分数：1.00）填空项 1:_3. （分数：1.00）填空项 1:_4. （分数：4.00）填空项 1:_5. （分数：4.00）填空项 1:_6. （分数：1.00）填空项 1:_二、B选择题/B(总题数：8，分数：26.00)7. （分数：4.00）A.B.C.D.8. （分数：4.00）A.B.C.D.9. （分数：4.00）A.B.C.D.10. （分数：4.00
2、）A.B.C.D.11.设 A、B、C 为事件，P(ABC)0，如果 P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)，则 A. P(C|AB)=P(C|A) B. P(C|AB)=P(C|B) C. P(B|AC)=P(B|A) D. P(B|AC)=P(B|C)（分数：4.00）A.B.C.D.12. （分数：4.00）A.B.C.D.13. （分数：1.00）A.B.C.D.14. （分数：1.00）A.B.C.D.三、B解答题/B(总题数：9，分数：37.00)15. （分数：1.00）_16. （分数：1.00）_17.设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1= 2=6 是 A 的二重特征
3、值若 1=(1，a，0) T， 2=(2，1，1)T， 3=(0，1，-1) T都是矩阵 A 属于特征值 6 的特征向量()求 a 的值；()求 A 的另一特征值和对应的特征向量；()若 =(-2，2，-1) T，求 An（分数：11.00）_18. （分数：1.00）_19. （分数：1.00）_20._21.已知矩阵 和 （分数：11.00）_22.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，又 ba0证明：在(a，b)内 使得 （分数：10.00）_23. （分数：1.00）_考研数学三-204 答案解析(总分：78.00，做题时间：90 分钟)一、B填空题/B(总题数：6，分数：1
4、5.00)1.微分方程 xy+y=0 满足条件 y(1)=1 的解是 y=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 分离变量，得*，两边积分有1n|y|=-1n|x|+C11n|xy|=C 1*xy=ec1=C，利用条件 y(1)=1 知 C=1，故满足条件的解为*评注 微分方程 xy+y=0 可改写为(xy)=0，再两边积分即可2. （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*3. （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*4. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*5. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-
5、1）解析：*6. （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*二、B选择题/B(总题数：8，分数：26.00)7. （分数：4.00）A. B.C.D.解析：*8. （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：*9. （分数：4.00）A.B. C.D.解析：*10. （分数：4.00）A.B.C. D.解析：*11.设 A、B、C 为事件，P(ABC)0，如果 P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)，则 A. P(C|AB)=P(C|A) B. P(C|AB)=P(C|B) C. P(B|AC)=P(B|A) D. P(B|AC)=P(B|C)（分数：4.00）A.B.C.D.
6、 解析：解析 已知 P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)意指“在 C 发生的条件下，A 与 B 独立”所以“在 C 发生的条件下，A 发生与否不影响 B 发生的概率”，即 P(B|AC)=P(B|C)，选择(D)我们也可以通过计算来确定选项事实上 P(AB|C)=P(A|C)P(B|C) *P(A|C)P(B|AC)=P(A|C)P(B|C) *P(B|AC)=P(B|C)，选择(D)选项(A)、(C)表示在 A 发生条件下，B 与 C 独立；选项(B)表示在 B 发生条件下，A 与 C 独立12. （分数：4.00）A.B.C. D.解析：*13. （分数：1.00）A.B.C. D.解
7、析：*14. （分数：1.00）A.B.C. D.解析：*三、B解答题/B(总题数：9，分数：37.00)15. （分数：1.00）_正确答案：(* *)解析：16. （分数：1.00）_正确答案：(* *)解析：17.设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1= 2=6 是 A 的二重特征值若 1=(1，a，0) T， 2=(2，1，1)T， 3=(0，1，-1) T都是矩阵 A 属于特征值 6 的特征向量()求 a 的值；()求 A 的另一特征值和对应的特征向量；()若 =(-2，2，-1) T，求 An（分数：11.00）_正确答案：(对于实对称矩阵 A，若 是矩阵 A 的 k 重特征值
8、，则矩阵 A 属于特征值 的特征向量有且只有 k 个是线性无关的因此 1， 2， 3必线性相关，那么*故 a=1()由秩 r(A)=2，知|A|=0，又*，所以 A 的另一个特征值是 3=0由题设 1=(1，1，0)T， 2=(2，1，1) T为 A 的属于特征值 6 的线性无关的特征向量设 A 属于特征值 0 的特征向量为=(x 1，x 2，x 3)T，于是 T1=0， T2=0 即*解得此方程组的基础解系为 =(-1，1，1) T那么矩阵A 属于特征值 3=0 的全部特征向量为 k=k(-1，1，1) T(k 为任意非零常数)()设 x1 1+x2 2+x3=，对( 1， 2，|)作初等行
9、变换，有*解出 x1=3，x 2=-2，x 3=1故=3 1-2 2+因为A 1=6 1，A 2=6 2，A=0所以An=3A n 1-2An 2+An=36 n 1-26n 2=(-6n，6 n，-26 n)T评注 本题考查实对称矩阵特征值、特征向量的性质如果 是矩阵 A 的 k 重特征值，那么 至多有k 个线性无关的特征向量，而作为实对称矩阵，则 k 重特征值必有 k 个线性无关的特征向量，从而保证本题中 1， 2， 3一定线性相关，可求出 a；要掌握实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交这一性质本题亦可由 A( 1， 2， 3)=(6 1，6 2，0)，先求出矩阵 A然后利用 AA=*而求
10、出 An=PAnP-1其中 P=( 1， 2，)再来计算 An)解析：18. （分数：1.00）_正确答案：(*)解析：19. （分数：1.00）_正确答案：(*)解析：20._正确答案：(*)解析：21.已知矩阵 和 （分数：11.00）_正确答案：(由矩阵 A 的特征多项式*得到矩阵 A 的特征值是 1=3， 2= 3=-1。由矩阵 B 的特征多项式*得到矩阵 B 的特征值也是 1=3， 2= 3=-1。当 =-1 时，由秩*知(-E-A)x=0 有 2 个线性无关的解，即 =-1 时矩阵 A 有 2 个线性无关的特征向量，矩阵 A 可以相似对角化。而(-E-B)x=0 只有 1 个线性无关的解，即 =-1 时矩阵 B 只有 1 个线性无关的特征向量，矩阵曰不能相似对角化，因此矩阵 A 和 B 不相似。)解析：*22.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，又 ba0证明：在(a，b)内 使得 （分数：10.00）_正确答案：(令*，因为 ba0，由题设知，f(x)，g(x)在a，b上满足柯西中值定理，于是*(a，b)，使得 * 又 f(x)在a，b上满足拉氏定理，于是*，使得 * 由，得 *)解析：23. （分数：1.00）_正确答案：(* * * * *)解析：
