1、考研数学三-200 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B填空题/B(总题数：6，分数：21.00)1.设随机变量 x1，x 2，x 12独立同分布且方差存在，则随机变量 U=X1+X2+X7，V=X 6+X7+X12的相关系数 PUV=_（分数：4.00）填空项 1:_2.设 f(x)为连续函数，且 （分数：4.00）填空项 1:_3.极限 （分数：4.00）填空项 1:_4. （分数：1.00）填空项 1:_5.若方程组 （分数：4.00）填空项 1:_6. （分数：4.00）填空项 1:_二、B选择题/B(总题数：8，分数：23.00)7.设 f(x)在 x=0的某
2、邻域内连续，且当 x0 时 f(x)与,x m 为同阶无穷小，又设 x0 时， （分数：4.00）A.B.C.D.8.已知 （分数：4.00）A.B.C.D.9. （分数：1.00）A.B.C.D.10.累次积分 （分数：4.00）A.B.C.D.11. （分数：1.00）A.B.C.D.12. （分数：4.00）A.B.C.D.13. （分数：1.00）A.B.C.D.14. （分数：4.00）A.B.C.D.三、B解答题/B(总题数：9，分数：56.00)15.证明：当 x0 时，有不等式(1+x)ln(1+x)arctanx（分数：10.00）_16.设 1abe，证明：函数 f(x)=
3、xln2x满足不等式（分数：11.00）_17. （分数：1.00）_18. （分数：1.00）_19. （分数：1.00）_20.已知 F(x)是 f(x)的一个原函数，而 F(x)是微分方程 xy+y-ex满足初始条件 的解，试将 f(x)展开成 x的幂级数，并求 （分数：10.00）_21. （分数：10.00）_22. （分数：1.00）_23. （分数：11.00）_考研数学三-200 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B填空题/B(总题数：6，分数：21.00)1.设随机变量 x1，x 2，x 12独立同分布且方差存在，则随机变量 U=X1+X2+X7，V=X
4、 6+X7+X12的相关系数 PUV=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 设 DXi= 2，由于随机变量 X1，X 2，X 12独立同分布，故有DU=DV=7 2，*=DX6+DX7=2 2(因为 ij 时，cov(X i，X j)=0)于是*2.设 f(x)为连续函数，且 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-(x+y)+f(y)-f(x)）解析：令 x+y-t=u，得*等式两端分别对 x，y 求偏导，得 * 所以*3.极限 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析 令*，因为*，故 *4. （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答
5、案：-16）解析：*5.若方程组 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 将方程组求导可得 y与 z满足如下方程组 * 利用 y(1)=1与 z(1)=0即得 y(1)与 z(1)满足方程组 * 不难得出* 故*6. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*二、B选择题/B(总题数：8，分数：23.00)7.设 f(x)在 x=0的某邻域内连续，且当 x0 时 f(x)与,x m 为同阶无穷小，又设 x0 时， （分数：4.00）A. B.C.D.解析：由 x0 时 f(x)与 xm 为同阶无穷小，从而知存在常数 A0，当 x0 时，f(x)Ax m 从
6、而 f(xn )Ax nm 于是* 按题意，上式为不等于零的常数，故 k=mn+n8.已知 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 按定义考察函数*在点(0，0)处的偏导数的存在性问题由*，因|x|在 x=0不可导*f(x，0)=e |x|在 x=0不可导(否则，由复合函数可导性的有关结论得到|x|=lne|x|在 x=0可导，矛盾了)因此 fx(0，0)不存在又*在 y=0可导，*f y(0，0)存在应选(B)9. （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：*10.累次积分 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 直接计算可得 * 分析二 交换积分次序 * 其中 D=(x，y
7、)|0x1，arcsinxy-arcsinx =(x，y)|0y，0xsiny， 故* *11. （分数：1.00）A.B. C.D.解析：*12. （分数：4.00）A. B.C.D.解析：*13. （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：*14. （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：*三、B解答题/B(总题数：9，分数：56.00)15.证明：当 x0 时，有不等式(1+x)ln(1+x)arctanx（分数：10.00）_正确答案：(构造辅助函数 f(x)=(1+x)ln(1+x)-arctanx 显然，f(x)在 x0 时连续，且 f(x)=0，又 * 因为*，故一阶导函数 f
8、(x)在 x0 时严格单调增加，则有 f(x)f(0)=0，进而知函数 f(x)在x0 时严格单调增加，所以当 x0 时，有 f(x)f(0)=0，即原不等式成立)解析：16.设 1abe，证明：函数 f(x)=xln2x满足不等式（分数：11.00）_正确答案：(*由于 f(x)=ln2x+2lnx，f“(x)=*(1+lnx)0(xa1)，从而当 xa1 时，g(x)0，即当 xa1时 g(x)单调增加，再由 g(a)=0，则有 g(b)0，从而左端不等号得证*因此 h(x)为单调增加的函数，从而有 h(b)h(a)=0，即右端不等号得证)解析：17. （分数：1.00）_正确答案：(*)
9、解析：18. （分数：1.00）_正确答案：(*)解析：19. （分数：1.00）_正确答案：(* *)解析：20.已知 F(x)是 f(x)的一个原函数，而 F(x)是微分方程 xy+y-ex满足初始条件 的解，试将 f(x)展开成 x的幂级数，并求 （分数：10.00）_正确答案：(由 xy+y=ex知(xy)=e x，积分得 xy=ex+c，当 x0 时，*根据*有 c=-1故*于是*而*故*于是*)解析：解析 求函数的幂级数展开式一般考虑用间接展开法即可，即通过恒等变形、逐项求导、逐项积分等达到求函数幂级数展开式的目的，本题先解一简单微分方程，找出满足条件*的 F(x)，再利用*求幂级数展开式即可。21. （分数：10.00）_正确答案：(*)解析：22. （分数：1.00）_正确答案：(* *)解析：23. （分数：11.00）_正确答案：(* * * *)解析：
