1、考研数学三-184 及答案解析(总分：157.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)=|x(1-x)|，则（分数：4.00）A.x=0是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点B.x=0不是 f(x)的极值点，但(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点C.x=0是 f(x)的极值点，且(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点D.x=0不是 f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线 y=f(x)的拐点2.设随机变量 X服从正态分布 ，随机变量 Y服从正态分布 （分数：4.00）_3.设 A为 4阶实对称矩阵，且 A2+A=0若 A的秩为
2、3，则 A相似于（分数：4.00）A.B.C.D.4.如图，正方形(x，y)|x1，|y|1 被其对角对线分为四个区域 Dk(k=1，2，3，4)，I k=（分数：4.00）A.B.C.D.5.n阶矩阵 A具有 n个不同的特征值是 A与对角矩阵相似的（分数：4.00）A.充分必要条件B.充分而非必要条件C.必要而非充分条件D.既非充分也非必要条件6.当 a取下列哪个值时，函数 f(x)=2x3-9x2+12x-a恰有两个不同的零点（分数：4.00）A.2B.4C.6D.87.设随机变量 X和 Y都服从标准正态分布，则（分数：4.00）A.X+Y服从正态分布B.X2+Y2服从 2分布C.X2和
3、Y2都服从 2分布D.X2/Y2服从 F分布8.以下四个命题中，正确的是（分数：4.00）A.若 f(x)在(0，1)内连续，则 f(x)在(0，1)内有界B.若 f(x)在(0，1)内连续，则 f(x)在(0，1)内有界C.若 f(x)在(0，1)内有界，则 f(x)在(0，1)内有界D.若 f(x)在(0，1)内有界，则 f(x)在(0，1)内有界二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 0ab，则 （分数：4.00）填空项 1:_10.设位于曲线 （分数：4.00）填空项 1:_11.设 f(x)连续，则 （分数：4.00）填空项 1:_12.设二元函数 z=xex+y+(x+1
4、)ln(1+y)，则 dz|(1，0) =_（分数：4.00）填空项 1:_13.二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2的秩为_（分数：4.00）填空项 1:_14.在区间(0，1)中随机地取两个数，则两数之差的绝对值小于 （分数：4.00）_三、解答题(总题数：9，分数：101.00)15.求二元函数 f(x，y)=x 2(2+y2)+ylny的极值（分数：9.00）_16.设函数 f(t)在0，+)上连续，且满足方程（分数：10.00）_设 D1是由抛物线 y=2x2和直线 x=a，x=2 及 y=0所围成的平面区域；D 2是由抛物线 y=
5、2x2和直线 y=0，x=a所围成的平面区域，其中 0a2（分数：10.00）(1).试求 D1绕 x轴旋转而成的旋转体体积 V1和 D2绕 y轴旋转而成的旋转体体积 V2；（分数：5.00）_(2).问当 a为何值时，V 1+V2取得最大值，试求此最大值（分数：5.00）_17.设 f(x)，g(x)在0，1的导数连续，且 f(0)=0，f(x)0，g(x)0，证明：对 a0，1，有（分数：10.00）_18.求幂级数 （分数：11.00）_设四元齐次线性方程组()为（分数：11.00）(1).的一个基础解系；（分数：5.50）_(2).当 a为何值时，方程组()与()有非零公共解?在有非零
6、公共解时，求出全部非零公共解（分数：5.50）_19.设 A为 m阶实对称矩阵且正定，B 为 mn阶实矩阵，B T为 B的转置矩阵，试证 BTAB为正定矩阵的充分必要条件是矩阵 B的秩 r(B)=n（分数：11.00）_设随机变量 X的概率密度为（分数：18.00）_(2).cov(X，Y)；（分数：6.00）_(3). （分数：6.00）_设二维随机变量(X，Y)服从区域 G上的均匀分布，其中 G是由 x-y=0，x+y=2 与 y=0所围成的三角形区域（分数：11.00）(1).求 X的概率密度 fX(x)；（分数：5.50）_(2).求条件概率密度 fX|Y(x|y)（分数：5.50）_
7、考研数学三-184 答案解析(总分：157.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)=|x(1-x)|，则（分数：4.00）A.x=0是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点B.x=0不是 f(x)的极值点，但(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点C.x=0是 f(x)的极值点，且(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点 D.x=0不是 f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：分析 这是极值点与拐点的判别问题分析一 y=|x(1-x)|的图形易画出，从几何直观就可选择正确答案*易知，y=x(1-x)的图形，它
8、是凸的y=|x(1-x)|的图形0，1部分不变，其余部分关于 x轴对称，凹凸性相反，由图中看出应选(C)分析二 用极值点与拐点的判别法先写出分段函数表达式(只需写出 x=0附近)*f(x)在*连续，再求*于是 x=0是 f(x)的极小值点，(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点，故应选(C)2.设随机变量 X服从正态分布 ，随机变量 Y服从正态分布 （分数：4.00）_解析：分析 通过计算确定正确选项已知*，所以*同理*又 P|X- 1|1P|Y- 2|3.设 A为 4阶实对称矩阵，且 A2+A=0若 A的秩为 3，则 A相似于（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 设 A=，0，则 A
9、2= 2，那么由 A2+A=0有( 2+)=0，进而知 2+=O所以矩阵 A的特征值只能是 0或-1因为 A是实对称矩阵，必有 A 且 A的主对角元素是 A的特征值，又因 r(A)=r()=3故应选(D)4.如图，正方形(x，y)|x1，|y|1 被其对角对线分为四个区域 Dk(k=1，2，3，4)，I k=（分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 这是重积分值的比较问题D2，D 4关于 x轴对称，且被积函数 ycosx对 y为奇函数*(x，y)D k(k=1，3)时 ycosx连续，且*5.n阶矩阵 A具有 n个不同的特征值是 A与对角矩阵相似的（分数：4.00）A.充分必要条件B.充
10、分而非必要条件 C.必要而非充分条件D.既非充分也非必要条件解析：分析 *有 n个线性无关的特征向量当 1 2时， 1与 2的特征向量必线性无关因此，若 A有 n个不同的特征值，则矩阵 A必有 n个线性无关的特征向量那么矩阵 A必可相似对角化由于矩阵 A的特征值有重根时，矩阵 A仍有可能相似对角化，所以特征值不同是 A能相似对角化的充分条件，并不必要故应选(B)6.当 a取下列哪个值时，函数 f(x)=2x3-9x2+12x-a恰有两个不同的零点（分数：4.00）A.2B.4 C.6D.8解析：分析 用单调性分析方法先考察 f(x)的单调性区间及极值点求导得f(x)=6x2-18x+12=6(
11、x-1)(x-2)*于是 f(x)的单调性与极值点可列下表：*f(x)恰有两个极值点，四个选项中，仅当 a=4时有一个极值取值为零(极小值)即 f(2)=0，而 f(1)0*当 a=4时，f(x)在(-，1恰有一个零点，x(1，+)，x2 时 f(x)f(1)=0，而 f(2)=0因此 a=4时 f(x)恰有两个不同的零点选(B)7.设随机变量 X和 Y都服从标准正态分布，则（分数：4.00）A.X+Y服从正态分布B.X2+Y2服从 2分布C.X2和 Y2都服从 2分布 D.X2/Y2服从 F分布解析：分析 解法一 由于 X和 Y均服从 N(0，1)，故 X2和 Y2都服从 2(1)分布解法二
12、 题设条件只有 X和 Y服从 N(0，1)，没有 X与 Y的相互独立条件因此 X2与 Y2的独立条件不存在选项(B)，(D)均不正确题中条件即没有 X与 Y独立，也没有(X，Y)正态，这样就不能推出 X+Y服从正态分布的选项(A)根据排除法，正确选项必为(C)8.以下四个命题中，正确的是（分数：4.00）A.若 f(x)在(0，1)内连续，则 f(x)在(0，1)内有界B.若 f(x)在(0，1)内连续，则 f(x)在(0，1)内有界C.若 f(x)在(0，1)内有界，则 f(x)在(0，1)内有界 D.若 f(x)在(0，1)内有界，则 f(x)在(0，1)内有界解析：分析 方法一 举例否定
13、错误的命题设 f(x)=lnx，它的导数*在(0，1)连续，但 f(x)在(0，1)无界，这表明(A)不正确同样 f(x)=lnx在(0，1)连续，但 f(x)在(0，1)无界这表明(B)不正确设*，它在(0，1)有界，但*在(0，1)无界，这表明(D)不正确因此应选(C)方法二 用拉格朗日中值定理证明命题(C)正确对*x(0，1)，给定 x0*，考察*因此*其中因 f(x)在(0，1)有界，存在正常数 M1，|f(x)|M 1(*x(0，1)这表明函数 f(x)在(0，1)有界二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 0ab，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析
14、：分析 方法一 转化为可直接用求极限的幂指数运算法则*方法二 用适当放大缩小法*由于*，按极限的夹逼准则即得*方法三 把求数列极限转化为求函数极限，为了用洛必达法则*10.设位于曲线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 所求旋转体的体积*11.设 f(x)连续，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：xf(x 2)）解析：分析 首先通过变量替换把被积函数中的参变量 x“解脱”出来：*由此得*12.设二元函数 z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则 dz|(1，0) =_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2edx+(e+2)dy）解析：分析
15、方法一 利用全微分的四则运算法则及一阶全微分形式不变性直接计算得*于是*方法二 先求出*于是*13.二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2的秩为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：分析 因为*二次型 f的矩阵是*易见秩 r(A)=2，故二次型 f的秩为 214.在区间(0，1)中随机地取两个数，则两数之差的绝对值小于 （分数：4.00）_解析：分析 若记在区间(0，1)中随机地取两个数分别为 X，Y，则所求的概率*为计算 p我们可以采用两种方法方法一 由题设知 X与 y相互独立且都在(0，1)上服从均匀分布其概率密度分别为
16、*所以(X，Y)的概率密度f(x，y)=f X(x)fY(y)*方法二 由题设知每次试验其结果为(X，Y)，其中 0X1，0Y1，它等价于在平面区域 =(x，y)，0x1，0y1中随意取一个点，取任何一点的可能性都一样，且取 中某一子区域 S中的点的可能性大小与 S的几何度量成正比而与 S的位置及形状无关由此可知我们的随机试验是几何概型事件A=|X-Y|*三、解答题(总题数：9，分数：101.00)15.求二元函数 f(x，y)=x 2(2+y2)+ylny的极值（分数：9.00）_正确答案：(这是二元初等函数求极值问题f(x，y)的定义域是：-x+，y0先求驻点，解方程组*得 f(x，y)的
17、唯一驻点：(x，y)=(0，e -1)再判断驻点是否极值点求出*而在(0，e -1)处*因 A0，AC-B 20，故 f(x，y)在(0，e -1)处取极小值 f(0，e -1)=-e-1)解析：16.设函数 f(t)在0，+)上连续，且满足方程（分数：10.00）_正确答案：(对方程中的二重积分作极坐标变换把含变动区域的二重积分的方程转换为含变限定积分的方程，然后求解由于*代入原方程得*将上式求导得*又在上式中令 t=0得 f(0)=1求解 f(t)等价于求解常微分方程的初值问题*这是关于 f(t)的一阶线性方程，解得*由 f(0)=1定出 C=1因此*)解析：设 D1是由抛物线 y=2x2
18、和直线 x=a，x=2 及 y=0所围成的平面区域；D 2是由抛物线 y=2x2和直线 y=0，x=a所围成的平面区域，其中 0a2（分数：10.00）(1).试求 D1绕 x轴旋转而成的旋转体体积 V1和 D2绕 y轴旋转而成的旋转体体积 V2；（分数：5.00）_正确答案：(D 1和 D2如图所示按旋转体体积计算公式可得*)解析：(2).问当 a为何值时，V 1+V2取得最大值，试求此最大值（分数：5.00）_正确答案：(*由于*因此 a=1时 V=V1+V2取得最大值*)解析：17.设 f(x)，g(x)在0，1的导数连续，且 f(0)=0，f(x)0，g(x)0，证明：对 a0，1，有
19、（分数：10.00）_正确答案：(即证*证法一 用微分学方法即引入 a0，1的函数*利用单调性来证明由题设知，函数 f(x)，g(x)在0，1区间是非减的，且 f(x)在0，1区间是非 负的，从而F(a)=g(a)f(a)-f(a)g(1)=f(a)(g(a)-g(1)0 (a0，1)又 *因此函数 F(a)在0，1上单调非增，且 F(a)F(1)=0 当 a0，1时成立证法二 积分学方法直接计算定积分并用定积分的性质*其中 f(x)在0，1单调非减，f(x)-f(a)0(xa，1)，g(x)在0，1非负因此原不等式成立)解析：18.求幂级数 （分数：11.00）_正确答案：(* S(x)=x
20、S1(x)其中* S“1(x)易求得先求*再求* 逐次积分得*由于逐项求导保持收敛半径不变，级数是级数逐项求导而得，而的收敛半径为 1，所以的收敛半径也是 1，从而幂级数的收敛半径也是 1由于幂级数*在 x=1收敛(均是收敛的交错级数)又上面所求得和函数在 x=1均连续，故有和函数公式*代入即得*=2x2arctanx-xln(1+x2)(|x|1)收敛域是-1，1)解析：设四元齐次线性方程组()为（分数：11.00）(1).的一个基础解系；（分数：5.50）_正确答案：(的系数矩阵作初等行变换，有*得方程组()的基础解系为 1=(5，-3，1，0) T， 2=(-3，2，0，1) T)解析：
21、(2).当 a为何值时，方程组()与()有非零公共解?在有非零公共解时，求出全部非零公共解（分数：5.50）_正确答案：(设 是方程组()和()的非零公共解，则=x 1 1+x2 2=-x3 1-x4 2那么 x 1 1+x2 2+x3 1+x4 4=0对系数矩阵 A=( 1， 2， 1， 2)作初等行变换，有*由 0 *x 1，x 2，x 3，x 4不全为 0*r(A)4*a=-1当 a=-1时*得基础解系 1=(-1，-1，1，0) T， 2=(-4，-7，0，1) T所以 Ax=0的通解为k1 1+k2 2=(-k1-4k2，-k 1-7k2，k 1，k 2)T故方程组()和()的公共解
22、*，k 1，k 2为任意常数)解析：19.设 A为 m阶实对称矩阵且正定，B 为 mn阶实矩阵，B T为 B的转置矩阵，试证 BTAB为正定矩阵的充分必要条件是矩阵 B的秩 r(B)=n（分数：11.00）_正确答案：(设 BTAB是正定矩阵，按正定定义*x0 恒有 xT(BTAB)x0 即(Bx) TA(Bx)0那么*x0 恒有 Bx0从而齐次方程组 Bx=0只有零解，故秩 r(B)=n充分性因为(B TAB)T=BTAT(BT)T=BTAB，知 BTAB为实对称矩阵当秩 r(B)=n时，Bx=0 只有零解，那么*x0 恒有 Bx0因为 A是正定矩阵，那么当 Bx0 时必有(Bx)TA(Bx
23、)0，所以*x0 恒有 XT(BTAB)x0，故矩阵 BTAB是正定矩阵)解析：设随机变量 X的概率密度为（分数：18.00）_解析：(2).cov(X，Y)；（分数：6.00）_正确答案：(由于 cov(X，Y)=E(XY)-EXEY，其中*故*)解析：(3). （分数：6.00）_正确答案：(*)解析：设二维随机变量(X，Y)服从区域 G上的均匀分布，其中 G是由 x-y=0，x+y=2 与 y=0所围成的三角形区域（分数：11.00）(1).求 X的概率密度 fX(x)；（分数：5.50）_正确答案：(根据题意(X，Y)的概率密度为*其中 G是由 x-y=0，x+y=2 与 y=0所的三角形区域*即 G：0yx2-y*)解析：(2).求条件概率密度 fX|Y(x|y)（分数：5.50）_正确答案：(*当 fY(y)0 即 Y=y(0y1)时 X的条件概率密度为*)解析：
