1、考研数学三-183 及答案解析(总分：150.03，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在(-，+)上有定义，在(-，0)(0，+)内可导，x=0 为 f(x)的可去间断点，则下列结论正确的是 (A) x=0 为 f(x)的可去间断点 (B) x=0 为 f(x)的跳跃间断点 (C) x=0 为 的可去间断点 (D) x=0 为 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设函数 f(x)在(-，+)上连续，且分别在(-，0)与(0，+)上二次可导，其导函数 f(x)的图像如图所示，则 f(x)在(-，+)上有（分数：4.00）A.B.C.D.3.设
2、 z(x，y)是方程 满足条件 z(x，x 2)=1 的解，则（分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f(x)在-，有定义，且 f(0)=f(0)=0，f“(0)=a0，又 收敛，则 p 的取值范围是 （分数：4.00）A.B.C.D.5.已知 A 是行列式值为-3 的 3 阶矩阵，A*是 A 的伴随矩阵，A T是 A 的转置矩阵，如果 kA 的逆矩阵是则 k=（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 A2+2A-3E=0，若 r(A-E)=1，则二次型 xTAx 在正交变换下的标准形是（分数：4.00）A.B.C.D.7.一台仪器由 5 只不太可靠的元件组成，
3、已知各元件出故障是独立的，且第 k 个元件出故障的概率为（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 F(x)是随机变量 X 的分布函数，则下述 4 个结论若 F(a)=0，则对任意 xa，有 F(x)=0；若 F(a)=1，则对任意 xa，有 F(x)=1；若 F(a)= ，则 PXa=若 F(a)= ，则 PXa= （分数：4.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_11.设二元函数 f(u，v)具有二阶连续偏导数，且满足 又 g(x，y)=f(x 2-y2，2xy)，则 （分数：4
4、.00）填空项 1:_12.幂级数 （分数：4.00）填空项 1:_13.与矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_14.一学徒工用同一台机床连续独立生产 3 个同种机器零件，且第 i 个零件是不合格品的概率Pi= （分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：7，分数：94.00)15.1. 求常数 k 的取值范围，使得不等式 kln(1+x)arctanx 当 x0 时成立。 从题设可知只需考察 k0 的情形设 f(x)=kln(1+x)-arctanx，则 f(0)=0，且*令 g(x)=kx2-x+k-1，则当 x0 时 f(x)与 g(x)同号由于 g(x)满足*由此可见
5、g(x)在(0，+)上的最小值*为使*必须且只需正数 k 满足*即使得不等式 kln(1+x)arctanx 当 x0 时成立的 k 是大于*的一切正数。求常数 k 的取值范围，使得不等式 kln(1+x)arctanx 当 x0 时成立。（分数：10.00）_设 f(x)=x2-x+1，t 是1，3上任意一点，S 1(t)表示由曲线 y=f(x)，直线Y=f(1)及 x=t 围成的平面图形的面积；S 2(t)表示由曲线 y=f(x)，直线 y=f(3)及 x=t 围成的平面图形的面积。（分数：20.01）(1).试证：存在唯一点 t0，使 S1(t0)=S2(t0)；（分数：6.67）_(2
6、).求 S(t)=S1(t)+S2(t)的最小值点。（分数：6.67）_(3).设积分区域 D=(x，y)|0x2，0y1，计算二重积分 （分数：6.67）_设 f(x)在0，2内二阶连续可导，且 f(1)=0，证明：（分数：20.00）(1). （分数：5.00）_(2).其中 在 1 与 x 之间； （分数：5.00）_(3).，其中 （分数：5.00）_(4).求微分方程 （分数：5.00）_已知 1=(1，3，5，-1) T， 2=(2，7，a，4) T， 3=(5，17，-1，7) T，（分数：11.01）(1).若 1， 2， 3线性相关，求 a 的值；（分数：3.67）_(2).
7、当 a=3 时，求与 1， 2， 3都正交的非零向量 4；（分数：3.67）_(3).当 a=3 时，证明 1， 2， 3， 4可表示任一个 4 维列向量。（分数：3.67）_设 （分数：11.00）(1).求矩阵 B；（分数：5.50）_(2).如果矩阵 B 的第 1 列是(1，2，-3) T，求(B-E) 6。（分数：5.50）_设随机变量(X，Y)的联合概率密度为（分数：11.01）(1).求(X，Y)的联合分布函数 F(x，y)；（分数：3.67）_(2).求 z=X+Y 的密度函数 fZ(z)；（分数：3.67）_(3).求 PX+Y1。（分数：3.67）_有甲、乙、丙三个口袋，其中
8、甲袋装有 1 个红球，2 个白球，3 个黑球；乙袋装有 2 个红球，1 个白球，2 个黑球；丙袋装有 2 个红球，3 个白球，现任取一袋，从中任取 2 个球，用 X 表示取到的红球数，Y 表示取到的白球数，Z 表示取到的黑球数。（分数：11.00）(1).求(X，Y)的联合分布；（分数：5.50）_(2).求 cov(X，Y)+cov(Y，Z)。（分数：5.50）_考研数学三-183 答案解析(总分：150.03，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在(-，+)上有定义，在(-，0)(0，+)内可导，x=0 为 f(x)的可去间断点，则下列结论
9、正确的是 (A) x=0 为 f(x)的可去间断点 (B) x=0 为 f(x)的跳跃间断点 (C) x=0 为 的可去间断点 (D) x=0 为 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因 f(x)在(-，0)(0，+)内可导，从而 f(x)分别在(-，0)与(0，+)上连续，又因x=0 是 f(x)的可去间断点，从而补充定义*，补充定义后的函数*就在区间(-，+)上连续，于是*在(-，+)内可导，特别在 x=0 处连续，由于改变函数在个别点的函数值不影响函数的可积性与定积分的值(这是定积分的性质之一)，所以*也在 x=0 处连续，即应选(D)。 分析二 用排除法。 对于(A)：取*
10、则*从而可知 x=0 为 f(x)的跳跃间断点，故(A)不对。 对于(B)：取*则对任何 x0 都有 f(x)=0，从而可知 x=0 为 f(x)的可去间断点，故(B)不对。 对于(C)：同样取*则不仅有*而且对任何x0 都有*可见 x=0 不是*的可去间断点，故(C)也不对。由排除法可知，应选(D)。2.设函数 f(x)在(-，+)上连续，且分别在(-，0)与(0，+)上二次可导，其导函数 f(x)的图像如图所示，则 f(x)在(-，+)上有（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 设 a，b，c，d 各点如图所示，由题设可得下表。* x a a (a，b) b (b，c) c (c，
11、0) 0 (0，d) d df(x) - - - - - 0 + * + 0 -f“(x) + 0 - 0 + + + * - - -f(x) 凹 拐点 凸 拐点 凹 极小 值 凹 拐点 凸 极大 值 凸(注意，表中对应于 x=x0处标有“拐点”是指对应的点(x 0，f(x 0)为曲线 y=f(x)的一个拐点。)这表明函数 f(x)在(-，+)上有一个极大值，一个极小值，与三个拐点，故应选(D)。3.设 z(x，y)是方程 满足条件 z(x，x 2)=1 的解，则（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 注意*利用=(x，x 2)=1 即得 x2x2+(x2)2+C(x)=1，故 C(x
12、)=1-2x4，代入就有 z(x，y)=x 2y+y2+1-2x4，代入求积分可得*故应选(D)。4.设 f(x)在-，有定义，且 f(0)=f(0)=0，f“(0)=a0，又 收敛，则 p 的取值范围是 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由 * *与*有相同的敛散性*收敛即*收敛*p 的取值范围是*选(B)。5.已知 A 是行列式值为-3 的 3 阶矩阵，A*是 A 的伴随矩阵，A T是 A 的转置矩阵，如果 kA 的逆矩阵是则 k=（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因为* 那么由*有* 即*所以*故选(B)。6.设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 A2+2A-3E
13、=0，若 r(A-E)=1，则二次型 xTAx 在正交变换下的标准形是（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由 A2+2A-3E=0 有(A-E)(A+3E)=0，从而r(A-E)+r(A+3E)4又 r(A-E)+r(A+3E)=r(E-A)+r(A+3E)r(E-A)+(A+3E)=r(4E)=r(E)=4，因而 r(A-E)+r(A+3E)=4，于是 r(A+3E)=3那么齐次方程组(E-A)x=0 与(A+3E)x=0 分别有 3 个与 1 个线性无关的解，亦即 =1 与 =-3 分别有 3 个与 1 个线性无关的特征向量，因此矩阵 A 的特征值为 1，1，1，-3，故应选
14、A)。7.一台仪器由 5 只不太可靠的元件组成，已知各元件出故障是独立的，且第 k 个元件出故障的概率为（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 记 Xk表示第 k 只元件出故障，X kB(1，p k)，则出故障元件数X=X1+X2+X3+X4+X5由于 X1，X 2，X 3，X 4，X 5相互独立，且*故*所以应选(C)。8.设 F(x)是随机变量 X 的分布函数，则下述 4 个结论若 F(a)=0，则对任意 xa，有 F(x)=0；若 F(a)=1，则对任意 xa，有 F(x)=1；若 F(a)= ，则 PXa=若 F(a)= ，则 PXa= （分数：4.00）A. B.C.D.解析
15、：解析 由分布函数的单调不减性且 0F(x)1，F(x)=PXx，可知，都是正确的，对于，当 X 为离散型随机变量时可能不成立，这可以用例子来加以说明：若 X 的概率分布为 * 取a=0，则 F(a)=F(0)=PX0=* 但是* 所以应选(A)。二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 * 利用当 x0 时的等价无穷小关系：tanxx，ln(1+x)x 与洛必达法则可得 * 故所求极限为*10.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y=x-2）解析：解析 由于 * 故所求的斜渐近线方程是 y=x-211.
16、设二元函数 f(u，v)具有二阶连续偏导数，且满足 又 g(x，y)=f(x 2-y2，2xy)，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 直接计算可得dg=fud(x2-y2)+fvd(2xy)=fu(2xdx-2ydy)+fv(2ydx+2xdy)=(2xfu+2yfv)dx+(-2yfu+2xfv)dy，从而 gx=2xfu+2yfv，g y=-2yfu+2xfv继续求偏导数又可得g“xx=2fu+2x(1fu)x+2y(fv)x=2fu+2x(2xf“uu+2yf“uv)+2y(2xf“vu+2yf“vv)=2fu+4x2f“vu+8xyf“uv+4y2f“vv
17、，g“yy=-2fu-2y(-2yf“uu+2xf“vv)+2x(-2yf“vu+2xf“vv)=-2fu+4y2f“uu-8xyf“uv+4x2f“vv由此即得 g“ xx+g“yy=4(x2+y2)(f“uu+f“vv)=012.幂级数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-4，2)）解析：解析 因为*从而，幂级数的收敛半径是 R=3。当 x+1=3，即 x=2 时，幂级数变成正项级数*把它的通项记为 un，则 un满足*，故幂级数在 x=2 处发散.当 x+1=-3，即 x=-4 时，幂级数变成交错级数*把它的通项记为 un，则 un可分解为*由于级数*条件收敛，而级数*绝对收
18、敛，故这两个级数的和级数，即幂级数在 x=-4 处条件收敛。综合即得幂级数的收敛域是-4，2)13.与矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*其中 t，u 是任意实数。）解析：解析 设矩阵*与矩阵 A 可交换，即 AB=BA，亦即*即*亦即*由*令 b2=t，b 4=u，解出 b3=-2t，b 1=4t+u，所以*其中 t，u 是任意实数。14.一学徒工用同一台机床连续独立生产 3 个同种机器零件，且第 i 个零件是不合格品的概率Pi= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 以 Ai表示第 i 个零件合格，i=1，2，3，A i相互独立，于是有*三、B解答
19、题/B(总题数：7，分数：94.00)15.1. 求常数 k 的取值范围，使得不等式 kln(1+x)arctanx 当 x0 时成立。 从题设可知只需考察 k0 的情形设 f(x)=kln(1+x)-arctanx，则 f(0)=0，且*令 g(x)=kx2-x+k-1，则当 x0 时 f(x)与 g(x)同号由于 g(x)满足*由此可见 g(x)在(0，+)上的最小值*为使*必须且只需正数 k 满足*即使得不等式 kln(1+x)arctanx 当 x0 时成立的 k 是大于*的一切正数。求常数 k 的取值范围，使得不等式 kln(1+x)arctanx 当 x0 时成立。（分数：10.0
20、0）_正确答案：(从题设可知只需考察 k0 的情形设 f(x)=kln(1+x)-arctanx，则 f(0)=0，且*令 g(x)=kx2-x+k-1，则当 x0 时 f(x)与 g(x)同号由于 g(x)满足*由此可见 g(x)在(0，+)上的最小值*为使*必须且只需正数 k 满足*即使得不等式 kln(1+x)arctanx 当 x0 时成立的 k 是大于*的一切正数。)解析：设 f(x)=x2-x+1，t 是1，3上任意一点，S 1(t)表示由曲线 y=f(x)，直线Y=f(1)及 x=t 围成的平面图形的面积；S 2(t)表示由曲线 y=f(x)，直线 y=f(3)及 x=t 围成的
21、平面图形的面积。（分数：20.01）(1).试证：存在唯一点 t0，使 S1(t0)=S2(t0)；（分数：6.67）_正确答案：(按题意画出草图如下。*在(1，3)内，f(x)=2x-10，故 f(x)单调增加因 f(1)=10，所以 f(x)0，x(1，3)，又*令*存在唯一点*，使 F(t0)=0，即 S1(t0)=S2(t0)。)解析：(2).求 S(t)=S1(t)+S2(t)的最小值点。（分数：6.67）_正确答案：(由于 S(t)=S 1(t)+S2(t)=*令 S(t)=2t 2-2t-6=0，得驻点*，又*故*是 S(t)的极小值点，也是最小值点。)解析：(3).设积分区域
22、D=(x，y)|0x2，0y1，计算二重积分 （分数：6.67）_正确答案：(用 x2+y2=1 把积分区域 D 分成 D1与 D2两个区域，如图，则*因 D 2=(x，y)0y1，故*令 y=sin，可分别得*代入就有*于是所求的二重积分*)解析：设 f(x)在0，2内二阶连续可导，且 f(1)=0，证明：（分数：20.00）(1). （分数：5.00）_正确答案：(这里用二阶导数来表示定积分值，一个自然的想法是用分部积分法，按要证的结论，也为了利用条件 f(1)=0，先将0，2上的积分表成0，1上的积分与1，2上的积分之和。 *)解析：(2).其中 在 1 与 x 之间； （分数：5.00
23、）_正确答案：(函数与其二阶导数之间的关系可用一阶泰勒公式来描述，因此，另一自然的想法是用泰勒公式，由于题中给出条件 f(1)=0，我们考虑 f(x)在 x=1 处的带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，即 * 其中 在 1 与 x 之间，于是 *)解析：(3).，其中 （分数：5.00）_正确答案：(用题(1)的结论，有 * 或用题(2)的结论，有 *)解析：*(4).求微分方程 （分数：5.00）_正确答案：(1) 令 xy=u，即*于是*代入题设方程有*解得*这是可分离变量方程。(2) 由于 y(1+x2y2)dx=xdy 可改写为*，与()中方程比较有 f(xy)=1+x2y2，令 u=xy
24、即得 f(u)=1+u2，再利用()，方程可化为*求积分有*由此解得*其中 C 是任意常数。)解析：已知 1=(1，3，5，-1) T， 2=(2，7，a，4) T， 3=(5，17，-1，7) T，（分数：11.01）(1).若 1， 2， 3线性相关，求 a 的值；（分数：3.67）_正确答案：( 1， 2， 3线性相关*秩 r( 1， 2， 3)3，由于*所以 a=-3)解析：(2).当 a=3 时，求与 1， 2， 3都正交的非零向量 4；（分数：3.67）_正确答案：(设 4=(x1，x 2，x 3，x 4)T，则有( 1， 4)=0，( 2， 4)=0，( 3， 4)=0，即*所以
25、 4=k(19，-6，0，1) T，其中 k0)解析：(3).当 a=3 时，证明 1， 2， 3， 4可表示任一个 4 维列向量。（分数：3.67）_正确答案：(由于*所以 x 1 1+x2 2+x3 3+x4 4=，恒有解，即任-4 维列向量必可由 1， 2， 3， 4线性表出或者由()知 =3 时， 1， 2， 3必线性无关，那么：若k1 1+k2 2+k3 3+k4 4=0，用*左乘上式两端并利用*又 40，故必有 k4=0，于是 k1 1+k2 2+k3 3=0，由 1， 2， 3线性无关知必有 k1=0，k 2=0，k 3=0，从而 1， 2， 3， 4必线性无关，而 5 个 4
26、维列向量必线性相关，因此任一个 4 维列向量都可由 1， 2， 3， 4线性表出。)解析：设 （分数：11.00）(1).求矩阵 B；（分数：5.50）_正确答案：(由 BA=0 有 r(A)+r(B)3，又 A，B 均非零矩阵，有 r(A)1，r(B)1故 1r(A)2，1r(B)2又因 A 中有 2 阶子式非 0，故必有 r(A)=2，从而 r(B)=1，于是有*由 BA=0 有 ATBT=0，那么 BT的列向量是齐次方程组 ATx=0 的解，由*知 ATx=0 的通解为 k(-1，1，1) T，其中 k 为任意常数。那么*其中 t，u，v 是任意不全为 0 的常数。所以*其中 t，u，v
27、 是任意不全为 0 的常数.)解析：(2).如果矩阵 B 的第 1 列是(1，2，-3) T，求(B-E) 6。（分数：5.50）_正确答案：(若 B 的第一列是(1，2，-3) T，则由()可知*由于矩阵 B 的特征值是 2，0，0，且 =0 有 2 个线性无关的特征向量，因此*那么*进而 (B-E) 6(A-E) 6=E，即 P-1(B-E)6P=E，所以 (B-E) 6=E)解析：*设随机变量(X，Y)的联合概率密度为（分数：11.01）(1).求(X，Y)的联合分布函数 F(x，y)；（分数：3.67）_正确答案：(当 x0 或 y0 时，F(x，y)=PX0，Y0=0； 当 0yx+
28、时， * 当0xy+时， * 所以(X，Y)的联合分布函数为 *)解析：(2).求 z=X+Y 的密度函数 fZ(z)；（分数：3.67）_正确答案：(由和的密度函数公式*当 z0 时，f Z(z)=0；当 z0 时，*所以*)解析：(3).求 PX+Y1。（分数：3.67）_正确答案：(* 或直接利用()中求出的概率密度计算，即 *)解析：有甲、乙、丙三个口袋，其中甲袋装有 1 个红球，2 个白球，3 个黑球；乙袋装有 2 个红球，1 个白球，2 个黑球；丙袋装有 2 个红球，3 个白球，现任取一袋，从中任取 2 个球，用 X 表示取到的红球数，Y 表示取到的白球数，Z 表示取到的黑球数。（
29、分数：11.00）(1).求(X，Y)的联合分布；（分数：5.50）_正确答案：(用全概率公式求(X，Y)，(Y，Z)的联合分布，即有 * 从而(X，Y)与(Y，Z)的联合分布与边缘分布可列成下表： *)解析：(2).求 cov(X，Y)+cov(Y，Z)。（分数：5.50）_正确答案：(解法一 * 于是 cov(X，Y)+cov(Y，Z)=(EXY-EXEY)+(EYZ-EYEZ) * 解法二 (1) 求(X，Y)的联合分布同解法一，但不要求(Y，Z)的联合分布， (2) 由于 Z=2-X-Y，故 cov(X，Y)+cov(Y，Z)=cov(X，Y)+cov(Y，2-X-Y) =cov(X，Y)-cov(X，Y)-cov(Y，Y)=-DY。 又*故* *)解析：
