1、考研数学三-181 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若函数 y=f(x)有 f(x0)= （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 （分数：4.00）A.B.C.D.3.若 =+，则级数 _。A发散 B收敛于 0C收敛于 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 k= (x2+f(xy)d，其中 f 为连续的奇函数，D 是由 Y=-x3，x=1，y=1 所围成的平面闭域，则 k等于_。A0 B C （分数：4.00）A.B.C.D.5.A 是 n 阶矩阵，且 A3=0，则_。AA 不可逆，E-A 也不可逆 BA 可逆，E+A
2、也可逆CA 2-A+E 与 A2+A+E 均可逆 DA 不可逆，且 A2必为 0（分数：4.00）A.B.C.D.6.已知 A=(aij)nn，B=(b ij)nn且有关系 （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 X 服从正态分布 N(0，2 2)，而 X1，X 2，X 15为来自总体 X 的简单随机样本，则随机变量 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 X1和 X2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为 f1(x)和 f2(x)，分布函数分别为 F1(x)和 F2(x)，则_。Af 1(x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度Bf 1(x)f2(x)必为某一随机变量
3、的概率密度CF 1(x)+F2(x)必为某一随机变量的分布函数DF 1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.某公司每年的工资总额在比上一年增加 20%的基础上再追加 200 万元，若以 Wt表示第 t 年的工资总额(单位百万元)，W t满足的差分方程为_。（分数：4.00）填空项 1:_11. （分数：4.00）填空项 1:_12.函数 F(x)= （分数：4.00）填空项 1:_13.设 A=ij)nn是正交矩阵，将 A 以行分块为 A=( 1， 2， n)T，则方程组
4、 AX=b，b=(b 1，b n)T的通解为_。（分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 X 的数学期望 E(X)=，方差 D(X)= 2，则由切比雪夫(Chebyshev)不等式，有 P|X-|3_。（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 z=f(2x-y，ysinx)，其中 f(u，v)具有连续的二阶偏导数，求 （分数：10.00）_16.已知曲线 L 的方程为 （分数：10.00）_17.设 a，b 为正常系数， 为非负常数，微分方程 。()求该方程的通解；()证明：当 =0 时， ，当 0 时， （分数：10.00）_18.设函数 f
5、(x)在0，+上连续，且 f(0)0，已知其在0，x上的平均值等于 f(0)与 f(x)的几何平均值，求 f(x)。（分数：10.00）_19.求微分方程 Y“+5y+6y=2e-x的通解。（分数：10.00）_20.已知 4 阶方阵 A=( 1， 2， 3， 4)， 1， 2， 3， 4均为 4 维列向量，其 2， 3， 4线性无关， 1=2 2- 3，如果 = 1+ 2+ 3+ 4，求线性方程组 Ax= 的通解。（分数：11.00）_21.设 A 是 n 阶正定矩阵，E 是 n 阶单位阵，证明 A+E 的行列式大于 1。（分数：11.00）_22.设总体 X 的分布函数为 F(x)，(X
6、1，X 2，X n)是取自此总体的一个子样，若 F(x)的二阶矩阵存在，为子样均值，试证(X i- )与(X j- )的相关系数（分数：11.00）_23.设总体 X 服从于正态分布 N(， 2)(0)，从该总体中抽取简单随机样本 X1，X 2，X 2n(n2)，其样本均值为 ，求统计量 Y= （分数：11.00）_考研数学三-181 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若函数 y=f(x)有 f(x0)= （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 等价无穷小解析 由导数与微分的关系2.设 （分数：4.00）A.B.C.D.
7、解析：考点 不定积分的计算解析 3.若 =+，则级数 _。A发散 B收敛于 0C收敛于 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 级数敛散性的判定解析 S n=故4.设 k= (x2+f(xy)d，其中 f 为连续的奇函数，D 是由 Y=-x3，x=1，y=1 所围成的平面闭域，则 k等于_。A0 B C （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 二重积分解析 如图：加一条曲线 y=x3将 D 分为 D1和 D2，则 ，而 ，因为 f 为奇函数，所以 f(-xy)=-f(xy)，而 D1，D 2分别对称 y 轴和 x 轴，故有 ，从而原积分 。B 为正确答案。5.A 是 n 阶矩阵
8、，且 A3=0，则_。AA 不可逆，E-A 也不可逆 BA 可逆，E+A 也可逆CA 2-A+E 与 A2+A+E 均可逆 DA 不可逆，且 A2必为 0（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 矩阵的可逆性解析 由行列式性质|A 3|=|A|3=0，可知 A 必不可逆，但从(E-A)(E+A+A 3)=E-A3=E，(E+A)(E-A+A 2)=E+A3=E，知 E-A，E+A，E+A+A 2，E-A+A 2均可逆。当 A3=0 时，A 2是否为 0 是不能确定的，例如： ，有6.已知 A=(aij)nn，B=(b ij)nn且有关系 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 矩
9、阵的乘法解析 由关系 b7.设 X 服从正态分布 N(0，2 2)，而 X1，X 2，X 15为来自总体 X 的简单随机样本，则随机变量 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 X 2分布解析 ，所以8.设 X1和 X2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为 f1(x)和 f2(x)，分布函数分别为 F1(x)和 F2(x)，则_。Af 1(x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度Bf 1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度CF 1(x)+F2(x)必为某一随机变量的分布函数DF 1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数（分数：4.00）A.B.C.D.
10、解析：考点 随机变量的概率密度函数解析 首先可否定选项 A 与 C，因 ，F 1(+)+F 2(+)=1+1=21。对于选项 B，若 ，则对任何 x(-，+)，f 1(x)f2(x)0，二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：考点 根据级数的敛散性来求极限解析 由级数 ，因为级数10.某公司每年的工资总额在比上一年增加 20%的基础上再追加 200 万元，若以 Wt表示第 t 年的工资总额(单位百万元)，W t满足的差分方程为_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：W t=1.2Wt-1+2）解析：考点 差分方程解析 由
11、题设，第 t-1 年的工资总额为：W t-1则 Wt=1.2Wt-1+2。11. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-cotxln(sinx)-cotx-x+c）解析：考点 不定积分解析 原式12.函数 F(x)= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 导数的应用解析 ，所以 。即单调区间为13.设 A=ij)nn是正交矩阵，将 A 以行分块为 A=( 1， 2， n)T，则方程组 AX=b，b=(b 1，b n)T的通解为_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 方程组的通解解析 因 A 为正交矩阵，故 A-1=AT，而方程组 AX
12、=b 的解为：14.设随机变量 X 的数学期望 E(X)=，方差 D(X)= 2，则由切比雪夫(Chebyshev)不等式，有 P|X-|3_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 切比雪夫不等式解析 依切比雪夫不等式三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 z=f(2x-y，ysinx)，其中 f(u，v)具有连续的二阶偏导数，求 （分数：10.00）_正确答案：(这是求带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数，先求 。由复合函数求导法得 ，则 )解析：考点 复合函数的偏导数16.已知曲线 L 的方程为 （分数：10.00）_正确答案：(先求 由已知 ，代入
13、 y 得 y= ，所以曲线 L 是凸的。()设 L 上切点(x 0，y 0)处的切线方程是 。令 x-1，y=0，则有 。再令 ，得 ，即 。解得 t0=1，t 0=-2(不合题意)，所以切点是(2，3)，相应的切线方程是 y=3+(x-2)，即 y=x+1。()切点为(x 0，y 0)的切线与 L 及 x 轴所围成的平面图形如下图所示，则所求平面图形的面积为。)解析：考点 切线方程、平面图形的面积17.设 a，b 为正常系数， 为非负常数，微分方程 。()求该方程的通解；()证明：当 =0 时， ，当 0 时， （分数：10.00）_正确答案：()通解为()当 =0 时， 。当 x0 且 a
14、 时， ，当 x0 且 =a 时， 。综上有，当 0 时， )解析：考点 微分方程的通解18.设函数 f(x)在0，+上连续，且 f(0)0，已知其在0，x上的平均值等于 f(0)与 f(x)的几何平均值，求 f(x)。（分数：10.00）_正确答案：(由题意得 ，有 ，即 ，可求得 )解析：考点 平均值的相关计算19.求微分方程 Y“+5y+6y=2e-x的通解。（分数：10.00）_正确答案：(所给微分方程的特征方程为 2+5+6=(+2)(+3)=0，故特征根为-2 和-3。于是，对应齐次微分方程的通解为 )解析：考点 微分方程的通解20.已知 4 阶方阵 A=( 1， 2， 3， 4)
15、， 1， 2， 3， 4均为 4 维列向量，其 2， 3， 4线性无关， 1=2 2- 3，如果 = 1+ 2+ 3+ 4，求线性方程组 Ax= 的通解。（分数：11.00）_正确答案：(由 2， 3， 4线性无关及 1=2 2- 3知，向量组的秩 r( 1， 2， 3， 4)=3，即矩阵A 的秩为 3，因此 Ax=0 的基础解系中只包含一个向量，那么由知，Ax=0 的基础解系是(1，-2，1，0) T。再由 = 1+ 2+ 3+ 4=( 1， 2， 3， 4) 知，(1，1，1，1) T是 Ax= 的一个特解。故 Ax= 的通解是 )解析：考点 线性方程组的通解21.设 A 是 n 阶正定矩
16、阵，E 是 n 阶单位阵，证明 A+E 的行列式大于 1。（分数：11.00）_正确答案：(因为 A 是正定阵，故存在正交矩阵 Q，使)解析：考点 正定矩阵的相关计算22.设总体 X 的分布函数为 F(x)，(X 1，X 2，X n)是取自此总体的一个子样，若 F(x)的二阶矩阵存在，为子样均值，试证(X i- )与(X j- )的相关系数（分数：11.00）_正确答案：(由于二阶矩阵存在，不妨设 ，= )解析：考点 分布函数的计算23.设总体 X 服从于正态分布 N(， 2)(0)，从该总体中抽取简单随机样本 X1，X 2，X 2n(n2)，其样本均值为 ，求统计量 Y= （分数：11.00）_正确答案：(设 Zi=Xi+Xn+i(i=1，2，n)，为从总体 Z 中取出的样本容量为 n 的样本，则 E(Zi)=E(Xi)+E(Xn+i)=+=2，D(Z i)=D(Xi+Xn+i)=D(Xi)+D(Xn+i)(Xi与 Xn+i相互独立)= 2+ 2=2 2ZN(2，2 2)，由样本与总体同分布，则 。S 2是总体 Z 的方差的无偏估计量， )解析：考点 随机样本的正态分布
