1、考研数学三-180 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知函数 f(x)在区间(1-，1+)内具有二阶导数，f“(x)0，且 f(1)=f(1)=1，则_。A在(1-，1)和(1，1+)内均有 f(x)xB在(1-，1)和(1，1+)内均有 f(x)xC在(1-，1)内 f(x)x，在(1，1+)内 f(x)xD在(1-，1)内 f(x)x，在(1，1+)内 f(x)x（分数：4.00）A.B.C.D.2.已知函数 f(x)具有任意阶导数，且 f(x)=f(x)2，则当 n 为大于 2 的正整数时，f(x)的 n 阶导数 f(n
2、)(x)为_。An!f(x) n+1 Bnf(x) n+1 Cf(x) 2n Dn!f(x) 2n（分数：4.00）A.B.C.D.3.设 f(x)在 x=0 的邻域内有定义，f(0)=1，且 （分数：4.00）A.B.C.D.4.当 x0 时，f(x)=x-sinax 与 g(x)=x2ln(1-bx)是等价无穷小，则_。A BC D （分数：4.00）A.B.C.D.5.如果向量 可以由向量组 1， 2， s线性表示，则_。A存在一组不全为零的数 k1，k 2，k s。使 =k 1 1+k2 2+ks s成立B存在一组全为零的数 k1，k 2，k s使 =k 1 1+k2 2+ks s成立
3、C存在一组数 k1，k 2，k s使 =k 1 1+k2 2+ks s成立D对 的线性表达式唯一（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 1， 2是 n 阶矩阵 A 的特征值， 1， 2分别是 A 的属于 1， 2的特征向量，则_。A 1= 2时， 1与 2必成比例 B 1= 2时， 1与 2必不成比例C 1 2时， 1与 2必成比例 D 1 2时， 1与 2必不成比例（分数：4.00）A.B.C.D.7.已知 0PB1，且 P(A1+A2)|B=P(A1|B)+P(A2|B)，则下列选项必然成立的是_。A （分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X 与 Y 服从正态分布，XN(，4
4、 2)，YN(，5 2)，记 P1=Px-4)，P 2=Y+5)，则_。A对任何实数 ，都有 P1=p2 B对任何实数 ，都有 P1P 2C只对 的个别值，才有 P1=p2 D对任何实数 ，都有 P1P 2（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）填空项 1:_10.由方程 （分数：4.00）填空项 1:_11.设则 （分数：4.00）填空项 1:_12.幂级数 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 3 阶方阵 A=(， 1， 2)，B=(， 1， 2)，其中 ， 1， 2都是 3 维列向量，且|A|=3，|B|=4，则|5A-2
5、B|=_。（分数：4.00）填空项 1:_14.已知随机变量 X 和 Y 相互独立，则 XN(1，1)，YN(1，4)，又 PaX+bY0= （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求微分方程 Y“+2y-3y=e-3x的通解。（分数：10.00）_16.假设生产和销售某产品的收益 R 是产量的 q 二次函数。经统计得知：当产量 q 分别为 0，2，4 时，总收入 R 分别为 0，6，8 万元，试确定 R 与 q 之间的函数关系。（分数：10.00）_17.设函数 f(x)，g(x)满足 f(x)=g(x)，g(x)=2e x-f(x)，且 f(0)=0
6、，g(0)=2，求 （分数：10.00）_18.如果 （分数：10.00）_19.设 z=f(2x-y，ysinx)，其中 f 具有连续的二阶偏导数，求 （分数：10.00）_20.设 A 为 n 阶方阵，A *为 A 的伴随矩阵，且 A110，证明：方程组 Ax=b(b0)有无穷多解的充要条件中b 为 A*X=0 的解。（分数：11.00）_21.已知 1=6， 2= 3=3 是实对称矩阵 A 的三个特征值，且对应于 2= 3=3 的特征向量为 2=(-1，0，1) T， 3=(1，-2，1) T，求 A 对应于 1=6 的特征向量及矩阵 A。（分数：11.00）_22.设二维随机变量(X，
7、Y)在区域 D：0x1，|y|=x 内服从均均分布，求关于 X 的边缘概率密度函数及随机变量 Z=2X+1 的方差 D(Z)。（分数：11.00）_23.设 X1，X 2，X n(n2)为来自总体 N(0，1)的简单随机样本， 为样本均值，记 （分数：11.00）_考研数学三-180 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知函数 f(x)在区间(1-，1+)内具有二阶导数，f“(x)0，且 f(1)=f(1)=1，则_。A在(1-，1)和(1，1+)内均有 f(x)xB在(1-，1)和(1，1+)内均有 f(x)xC在(1-，1)内
8、 f(x)x，在(1，1+)内 f(x)xD在(1-，1)内 f(x)x，在(1，1+)内 f(x)x（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 函数单调性、函数的极值解析 设 (x)=f(x)-x，则 (x)=f(x)-1，“(x)=f“(x)，由 f“(x)0 得 “(x)0，故 (x)单调减少，则当 x1 时，(x)(1)=f(1)-1=0，当 x1 时，(x)(1)=0；则 (x)在 x=1 处取得极大值，当 x(1-，1)(1，1+)时 (x)(1)=f(1)-1=0，即 f(x)x，应选 A。2.已知函数 f(x)具有任意阶导数，且 f(x)=f(x)2，则当 n 为大于 2
9、的正整数时，f(x)的 n 阶导数 f(n)(x)为_。An!f(x) n+1 Bnf(x) n+1 Cf(x) 2n Dn!f(x) 2n（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 函数的高阶导数解析 为方便记 y=f(x)，由 y=y2，逐次求导得 y“=2yy“=2y3，y=3!y 2y=3!y4，归纳可证 y(n)=n!yn+1，应选 A。3.设 f(x)在 x=0 的邻域内有定义，f(0)=1，且 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 函数的极限解析 而 =-2，所以4.当 x0 时，f(x)=x-sinax 与 g(x)=x2ln(1-bx)是等价无穷小，则_。A B
10、C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 等价无穷小解析 则 a3=-6b，故选项 B，C 错误。再由5.如果向量 可以由向量组 1， 2， s线性表示，则_。A存在一组不全为零的数 k1，k 2，k s。使 =k 1 1+k2 2+ks s成立B存在一组全为零的数 k1，k 2，k s使 =k 1 1+k2 2+ks s成立C存在一组数 k1，k 2，k s使 =k 1 1+k2 2+ks s成立D对 的线性表达式唯一（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 向量线性表示解析 由向量线性表示的定义知选 A。6.设 1， 2是 n 阶矩阵 A 的特征值， 1， 2分别是 A
11、 的属于 1， 2的特征向量，则_。A 1= 2时， 1与 2必成比例 B 1= 2时， 1与 2必不成比例C 1 2时， 1与 2必成比例 D 1 2时， 1与 2必不成比例（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 特征值、特征向量解析 当 1= 2时，它们为 A 的重数大于或等于 2 的特征值，其对应的线性无关的特征向量的个数可能大于 1，也可能等于 1，所以不能选 A、B；当 1 2时，由于对应于不同特征值的特征向量必线性无关，所以 1与 2必不成比例，故选 D。7.已知 0PB1，且 P(A1+A2)|B=P(A1|B)+P(A2|B)，则下列选项必然成立的是_。A （分数：4.
12、00）A.B. C.D.解析：考点 事件间的关系，条件概率解析 由 P(A1+A2)|B=P(A1|B)+P(A2|B)得到8.设随机变量 X 与 Y 服从正态分布，XN(，4 2)，YN(，5 2)，记 P1=Px-4)，P 2=Y+5)，则_。A对任何实数 ，都有 P1=p2 B对任何实数 ，都有 P1P 2C只对 的个别值，才有 P1=p2 D对任何实数 ，都有 P1P 2（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 随机变量的正态分布解析 只需将 x，y 标准化，由题设，把 X，Y 标准化有二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案
13、： ）解析：考点 含有参数的复合函数求导数解析 由参数式求导公式得 ，再对 x 求导，得10.由方程 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 隐函数的全微分解析 这是求隐函数在某点的全微分，这里点(1，0，-1)的含意是 z=z(1，0)=-1。将方程两边求全微分，由一阶全微分形式不变性得 。再由全微分四则运算法则得(xy)dz+(ydx+xdy)z= ，令 x=1，y=0，z=-1，得11.设则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：考点 函数的极限、广义积分解析 可得12.幂级数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 幂级数的
14、和函数解析 ，该等式在(-1，1)中成立；当 x=1 时，得到的数项级数的通项不趋于 0，所以13.设 3 阶方阵 A=(， 1， 2)，B=(， 1， 2)，其中 ， 1， 2都是 3 维列向量，且|A|=3，|B|=4，则|5A-2B|=_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：63）解析：考点 方阵、向量的计算解析 因 5A-2B=5(， 1， 2)-2(， 1， 2)=(5-2，3 1，3 2)故|5A-2B|=|5-23 13 2|=9|5 1 2|-|2 1 2|=9(5|A|-2|B|)=9(53-24)=63。14.已知随机变量 X 和 Y 相互独立，则 XN(1，1)
15、，YN(1，4)，又 PaX+bY0= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：a+b=0）解析：考点 随机变量的独立性解析 X 与 Y 相互独立，XN(1，1)，YN(1，4)，z=aX+bYN(a+b，a 2+4b2)，于是 ，又 PaX+bY0=Pz0)=三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求微分方程 Y“+2y-3y=e-3x的通解。（分数：10.00）_正确答案：(这是常系数的二阶线性非齐次方程，特征方程 r2+2r-3=(r-1)(r+3)=0 的两个根为 r1=1，r 2=-3，由于右边 eax，=-3=r 2为单特征根，故非齐次方程有特解 Y=xae-3x，代
16、入方程可得 ，因而所求通解为 )解析：考点 微分方程的通解16.假设生产和销售某产品的收益 R 是产量的 q 二次函数。经统计得知：当产量 q 分别为 0，2，4 时，总收入 R 分别为 0，6，8 万元，试确定 R 与 q 之间的函数关系。（分数：10.00）_正确答案：(设 R(q)=aq2+bq+c，其中常数 a，b 和 c 待定，根据条件 。解得 a= ，b=4，c=0，所以，R 与 q 的函数关系为 )解析：考点 函数方程中常数的确定17.设函数 f(x)，g(x)满足 f(x)=g(x)，g(x)=2e x-f(x)，且 f(0)=0，g(0)=2，求 （分数：10.00）_正确答
17、案：(由 f(x)=g(x)，g(x)=2e x-y(x)，得 f“(x)=2ex-f(x)于是有 ，解方程得 f(x)=sinx-cosx+ex,)解析：考点 解函数方程18.如果 （分数：10.00）_正确答案：(设 f(x)=tanx，则 f(x)在区间，上连续，在(，)内可导，且 ，因为 f(x)在区间，上满足拉格朗日中值定理的条件。由拉格朗日中值定理知， ，又因 cosx 在区间 内单调减少，故 ，则 )解析：考点 拉格朗日中值定理19.设 z=f(2x-y，ysinx)，其中 f 具有连续的二阶偏导数，求 （分数：10.00）_正确答案：(令 u=2x-y，v=ysinx，则 z=
18、f(u，v)，)解析：考点 隐函数的二阶偏导数20.设 A 为 n 阶方阵，A *为 A 的伴随矩阵，且 A110，证明：方程组 Ax=b(b0)有无穷多解的充要条件中b 为 A*X=0 的解。（分数：11.00）_正确答案：(必要性：Ax=b 有无穷多解，rAn，即|A|=0。有 A*b=A*Ax=|A|X=0，即 b 是 A*x=0 的解，充分性：b 为 A*x=0 的解，即 A*x=0 有非零解，r(A *)n.又 A110，r(A *)=1，rA=n-1。同时由 A*A=|A|E=0，A *b=0，令 A=( 1， 2， n)，则 1， 2， n是 A*x=0 的解，A 110， 1，
19、 2， n线性无关， 1， 2， n是方程组 A*x=0 的基础解系，b 可由 2， 3， n线性表示，即 b 可由 1， 2， 3， n线性表示，Ax=b 有解，又 rA=n-1，Ax=b 有无穷多解。)解析：考点 伴随矩阵的计算21.已知 1=6， 2= 3=3 是实对称矩阵 A 的三个特征值，且对应于 2= 3=3 的特征向量为 2=(-1，0，1) T， 3=(1，-2，1) T，求 A 对应于 1=6 的特征向量及矩阵 A。（分数：11.00）_正确答案：(这是已知全部特征值和部分特征向量反求矩阵 A 的问题。关键在于利用已知条件中 A 为对称矩阵，而对称矩阵属于不同特征值的特征向量
20、正交，依此即可求解。设 A 对应于 1=6 的特征向量是 1=x1，x 2，x 3T，由于实对称矩阵属于不同特征值的特征，向量彼此正交，故有 解得 x1=x2=x3，取 1=(1，1，1) T，即是矩阵 A 属于 1=6 的特征向量。进一步，由 A( 1， 2， 3)=( 1 1， 2 2， 3 3)，得 ，所以 )解析：考点 特征值、特征向量22.设二维随机变量(X，Y)在区域 D：0x1，|y|=x 内服从均均分布，求关于 X 的边缘概率密度函数及随机变量 Z=2X+1 的方差 D(Z)。（分数：11.00）_正确答案：(X，Y)的联合密度为 且 SD=1，S D是区域 D 的面积，因此fX(x)=EX= ，DX= )解析：考点 随机变量的密度函数23.设 X1，X 2，X n(n2)为来自总体 N(0，1)的简单随机样本， 为样本均值，记 （分数：11.00）_正确答案：(根据简单随机样本的性质，X 1，X 2，X n相互独立，且都服从分布 N(0，1)，EXi=0，DX i=1，i=1，2，n() 。()因 X1，X 2，X n相互独立，而独立的两个随机变量协方差等于零；于是有 。而 ，又因为 ，所以有 )解析：考点 随机样本的性质
