1、考研数学三-179 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在(-，+)内是可导的奇函数，则下列函数中是奇函数的是_。Asinf(x) B C D （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 （分数：4.00）A.B.C.D.3.若函数 f(x)与 g(x)在(-，+)内可导，且 f(x)g(x)，则必有_。Af(-x)g(-x) Bf(-x)g(-x)C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.已知级数 分别收敛于 a，b，则级数 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设矩阵 A 与 B= （分数：4.00）A.B.C.
2、D.6.设 3 阶方阵 A 的特征值是 1，2，3，它们所对应的特征向量依次为 1， 2， 3，令P=(3 3， 1，2 2)，则 P-1AP=_。A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X 服从-1，1上的均匀分布，则 X 与 Y=e-|X|_。A不相关 B相关 C独立 D相关且不独立（分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机变量 XN(， 2)，其分布函数为 F(x)，则对任意常数 a，有_。AF(a+)+F(a-)=1 BF(+a)+F(-a)=1 CF(a)+F(-a)=1 DF(a-)+F(-a)=1（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6
3、，分数：24.00)9.设函数 f(x，y)具有连续偏导数，且 f(x，2x 2-3x+4)=x，f x(1，3)=2，则 fy(1，3)=_。（分数：4.00）填空项 1:_10.微分方程 Y+(e-x-1)Y=1 的通解为_。（分数：4.00）填空项 1:_11.设幂级数 的收敛半径为 2，则级数 （分数：4.00）填空项 1:_12.设 f(x，y)连续，且 f(x，y)=xy+ （分数：4.00）填空项 1:_13.设 A 为 n,阶矩阵，其伴随矩阵的元素全为 1，则齐次方程组 Ax=0 的通解为_。（分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从正态分
4、布 N(0，1)，则 Pmax(X，Y)0=_。（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 u=f(x，z)，且 z=z(x，y)是由方程 z=x+y(z)所确定的隐函数，其中 f 具有连续偏导数，且 具有连续导数，求 du。（分数：9.00）_16.设 f(x)在(-，+)上连续，且 ，()求 f(x)；()设 an=f(0)，求级数 （分数：10.00）_17.求不定积分 （分数：10.00）_18.设函数 f(x)在2，4上连续，在(2，4)内可导，且 ，证明：存在 (2，4)，使得 （分数：11.00）_19.设 f(x)在闭区间a，b上连续，开
5、区间(a，b)内可导， 。证明：在区间(a，b)内至少存在两点 1， 2，使 f( 2)tan （分数：10.00）_20.已知两个向量组 1=(1，2，3) T， 2=(1，0，1) T与 1=(-1，2，t) T， 2=(4，1，5) T。()t 为何值时，两个向量组等价?()两个向量组等价时，求出它们之间的线性表示式。（分数：11.00）_21.已知二维向量 不是二阶方阵 A 的特征向量，()证明 ，A 线性无关；()若 A2+A-6=0，求 A 的全部特征值，并判断 A 能否与对角矩阵相似。（分数：11.00）_22.设二维随机向量(X，Y)联合概率密度为 （分数：11.00）_23.
6、设 X1，X n是取自总体 X 一个简单随机样本，X 的概率密度为（分数：11.00）_考研数学三-179 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在(-，+)内是可导的奇函数，则下列函数中是奇函数的是_。Asinf(x) B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 函数的奇偶性解析 选 B，由题设知，f(t)sint 为偶函数，故2.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 函数的间断点解析 因为3.若函数 f(x)与 g(x)在(-，+)内可导，且 f(x)g(x)，则必有_。Af(-x)g(-
7、x) Bf(-x)g(-x)C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 函数的相关不等式解析 由函数 f(x)与 g(x)在(-，+)内可导知 f(x)与 g(x)在(-，+)内连续， ，而 f(x0)g(x 0)，故4.已知级数 分别收敛于 a，b，则级数 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 幂级数的敛散性及和函数解析 由级数 收敛知， =0，设 的前 n 项和分别为 sn，S n， n，则 ， 2k=a1+a2+a2k=(a1-a2+a3-a4+a2k-1一 a2k)+2(a2+a4+a2k)=s2k+2Sk，故= a+2b， =a+2b，所以 =n+2b，级数5.
8、设矩阵 A 与 B= （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 矩阵的秩解析 矩阵 A 与 B 相似，则 A-2E 与 B-2E 相似，故 rA+r(A-2E)=rB+r(B-2E)=2+1=3。6.设 3 阶方阵 A 的特征值是 1，2，3，它们所对应的特征向量依次为 1， 2， 3，令P=(3 3， 1，2 2)，则 P-1AP=_。A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 矩阵的相似对角化解析 因为 3 3， 1，2 2分别为 A 的对应特征值 3，1，2 的特征向量，故7.设随机变量 X 服从-1，1上的均匀分布，则 X 与 Y=e-|X|_。A不相关 B相
9、关 C独立 D相关且不独立（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 随机变量的相关性解析 经计算得，cov(X，Y)=cov(X，e -|X|)=E(Xe-|X|)-EXEe-|X|=0，P XY=0。应选 A。8.设随机变量 XN(， 2)，其分布函数为 F(x)，则对任意常数 a，有_。AF(a+)+F(a-)=1 BF(+a)+F(-a)=1 CF(a)+F(-a)=1 DF(a-)+F(-a)=1（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 正态分布解析 因为 XN(， 2)，所以 F(a+)+F(-a)= =二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 f(x，y)具
10、有连续偏导数，且 f(x，2x 2-3x+4)=x，f x(1，3)=2，则 fy(1，3)=_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-1）解析：考点 求二元函数的偏导数解析 方程 f(x，2x 2-3x+4)=x 两边对 x 求导，得 fx(x，2x 2-3x+4)+fy(x，2x 2-3x+4)(4x-3)=1，令x=1，得 fx(1，3)+f y(1，3)=1，又 fx(1，3)=2，故 fy(1，3)=-1。10.微分方程 Y+(e-x-1)Y=1 的通解为_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 微分方程的解解析 由已知 Y11.设幂级数 的收敛半径
11、为 2，则级数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-3x1）解析：考点 幂级数的收敛半径解析 ，故当|x+1|2 时级数12.设 f(x，y)连续，且 f(x，y)=xy+ （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 二重积分解析 令 ，则 f(x，y)=xy+k，两边在 D 上积分得 ，解得 ，所以 f(x，y)=13.设 A 为 n,阶矩阵，其伴随矩阵的元素全为 1，则齐次方程组 Ax=0 的通解为_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：k(1，1，1) T，KR）解析：考点 解线性方程组解析 由题设知，r(A *)=1，rA=n-1，n-rA=1
12、且 AA*=|A|E=0，故 A*的列向量(1，1，1) T是 Ax=0的基础解系故而通解为 k(1，1，1) T，KR。14.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从正态分布 N(0，1)，则 Pmax(X，Y)0=_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 最值函数的概率解析 Pmax(X，Y)0=1-Pmax(X，Y)0=1-PX0，Y0=1-PX0PY0)=1- (0)=三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 u=f(x，z)，且 z=z(x，y)是由方程 z=x+y(z)所确定的隐函数，其中 f 具有连续偏导数，且 具有连续导数，求 du。（分数：
13、9.00）_正确答案：(取全微分 du=fxdx+fzdz，dz= ，故 )解析：考点 求全微分16.设 f(x)在(-，+)上连续，且 ，()求 f(x)；()设 an=f(0)，求级数 （分数：10.00）_正确答案：()令 u=x-t，则 ，故 ，即 ，上式两边对 x 求导，得 ，即 。() ，级数 1+ ，)解析：考点 函数表达式的求法及幂级数的和17.求不定积分 （分数：10.00）_正确答案：(= 。 )解析：考点 不定积分18.设函数 f(x)在2，4上连续，在(2，4)内可导，且 ，证明：存在 (2，4)，使得 （分数：11.00）_正确答案：(令 F(x)=(x-1)2f(x
14、)，则 F(x)=2(x-1)f(x)+(x-1)2f(x)，由积分中值定理知，存在 c3，4，使得 ，即 F(2)=F(c)，由罗尔定理知，存在 (2，c) (2，4)，使得 F()=0，即 2(-1)f()+(-1) 2f()=0，即 )解析：考点 积分中值定理19.设 f(x)在闭区间a，b上连续，开区间(a，b)内可导， 。证明：在区间(a，b)内至少存在两点 1， 2，使 f( 2)tan （分数：10.00）_正确答案：(设 g1(x)=sinx,由柯西中值定理得 ，a 1b；又设 g2(x)=cosx，同理得 ，a 2b；比较两等式得： 。从而 ，即 )解析：考点 柯西中值定理的
15、应用20.已知两个向量组 1=(1，2，3) T， 2=(1，0，1) T与 1=(-1，2，t) T， 2=(4，1，5) T。()t 为何值时，两个向量组等价?()两个向量组等价时，求出它们之间的线性表示式。（分数：11.00）_正确答案：(对矩阵 A=( 1， 2， 1， 2)作初等行变换，得，当 t=1 时，r( 1， 2， 1)=r( 1， 2)，r( 1， 2， 2)=r( 1， 2， 1， 2可由 1， 2线性表示，且 r( 1， 2， 1)=r( 1， 2)，r( 1， 2， 2)=r( 1， 2)， 1， 2可由 1， 2线性表示，即两个向量组等价。()两个向量组等价时， ，
16、故 )解析：考点 向量间的线性相关及线性表示21.已知二维向量 不是二阶方阵 A 的特征向量，()证明 ，A 线性无关；()若 A2+A-6=0，求 A 的全部特征值，并判断 A 能否与对角矩阵相似。（分数：11.00）_正确答案：(设 k1+k 2A=0，则 k2=0，否则 ， 是的 A 特征向量，与题设矛盾，将 k2=0 代入k1+k 2A=0，得 k1=0，又 0，故 k1=0，所以 ，A 线性无关；()A 2+A-6=0 (A2+A-6E)=0 )解析：考点22.设二维随机向量(X，Y)联合概率密度为 （分数：11.00）_正确答案：(画出联合概率密度的非零区域()关于 X 的边缘密度 ，条件概率密度 。()Z=X+Y 的取值范围为(0，+)当 z0 时，F z(z)=0，当 z0 时，F z(z)=PZz=PX+Yz= = =因此， )解析：考点 二维随机变量的概率23.设 X1，X n是取自总体 X 一个简单随机样本，X 的概率密度为（分数：11.00）_正确答案：(EX= ，所以 的矩估计为 。()似然解得 ，所以 的最大似然估计为 )解析：考点 参数估计
