1、考研数学三-177 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设微分方程 y(x)是方程 Y“+(x-1)Y+x2y=ex满足 y(0)=0，y(0)=1 的解，则 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设在全平面上有 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 f(x)在(-，+。)存在二阶导数，且 f(x)=-f(-x)，当 x0 时有 f(x)0，f“(x)0，则当x0 时有_。Af(x)0，f“(x)0 Bf(x)0，f“(x)0Cf(x)0，f“(x)0 Df(x)0，f“(x)0（分数：4.00）A.B.C.D.4.设函数 f
2、(x)连续，且 f(0)0，则存在 0，使得_。A在(0，)内 f(x)单调增加 B在(-，0)内 f(x)单调减少C对任意的 x(0，)，有 f(x)f(0) D对任意的 x(-，0)，有 f(x)f(0)（分数：4.00）A.B.C.D.5.二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+4x22+4x32-4x1x2+4x1x3-8x2x3的规范型是_。Af=z 12+z22+z32 Bf=z 12+z22-z32Cf=z 12-z22 Df=z 12（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 A= （分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X 与 Y 分别服从 N(-1，2)和 N(
3、1，2)，且 X 与 Y 不相关，k 1X+Y 与 X+k2Y 也不相关，则_。Ak 1+k2=0 Bk 1=k2=0Ck 1+k20 Dk 1+k20（分数：4.00）A.B.C.D.8.设(X 1，X 2，X n)(n12)为来自总体 N(0，1)的简单随机样本， 为样本均值，S 2为样本方差，则_。An N(0，1) BnS 2X 2(n)C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)= (nN)，若 与 （分数：4.00）填空项 1:_10. （分数：4.00）填空项 1:_11.设 z=z(x，y)由方程 xy=xf(z)+yg(
4、z)确定，且 xf(z)+yg(z)0，则x-g(z) - （分数：4.00）填空项 1:_12.设 F(x)是 f(x)的一个原函数，且 F(0)=1，F(x)f(x)=cos2x，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.设矩阵 A=E+2 T，其中 ， 是 n 维列向量，且 T=2，则 A-1=_。（分数：4.00）填空项 1:_14.设 X1，X 2，X 9是来自正态总体 X 的简单随机样本， ， ， （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在(-，0上连续，且满足 （分数：10.00）_16.设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，
5、b)上二阶可导，且 f(a)=0，f(b)0，f +(a)0，证明：()在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f()=0；()在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f“()0。（分数：9.00）_17.求微分方程 xy=3y-6x2的一个解 y=y(x)，使得曲线 y=y(x)与直线 x=1，y=0 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体体积最小。（分数：10.00）_18.计算 ，区域 D 由曲线 （分数：10.00）_19.求幂级数 （分数：11.00）_20.设 A33是实对称矩阵，|A|=-12，A 的三个特征值之和为 1，且 =(1，0，-2) T是方程组(A *-4E)x=0 的
6、一个解向量。()求矩阵 A；()求方程组(A *+6E)x=0 的通解。（分数：11.00）_21.设 n 阶实对称矩阵 A 的秩为 r，且满足 A2=A，求()二次型 xTAx 的标准形；()行列式|E+A+A 2+An|的值，其中 E 为单位矩阵。（分数：11.00）_22.已知随机变量 X 与 Y 的联合概率分布为Y/X0 10 1 1/31/3()证明 X 与 Y 不相关的充分必要条件是事件 Y=1 与 X+Y=1 相互独立；()若 X 与 Y 不相关，求 X 与 Y 的边缘分布。（分数：11.00）_23.设总体 XU(1，)，参数 1 未知，X 1，X n是来自 X 的简单随机样本
7、。()求 的矩估计和极大似然估计量；()求上述两个估计量的数学期望。（分数：11.00）_考研数学三-177 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设微分方程 y(x)是方程 Y“+(x-1)Y+x2y=ex满足 y(0)=0，y(0)=1 的解，则 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 函数的极限解析 ，将 x=0 代入方程，得 y“(0)+(x-1)y(0)+x2y(0)=1，又 y(0)=0，y(0)=1，故 y“(0)=2，所以2.设在全平面上有 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 二元函数的性质解析 关
8、于 x 单调减少，3.设 f(x)在(-，+。)存在二阶导数，且 f(x)=-f(-x)，当 x0 时有 f(x)0，f“(x)0，则当x0 时有_。Af(x)0，f“(x)0 Bf(x)0，f“(x)0Cf(x)0，f“(x)0 Df(x)0，f“(x)0（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 导数的应用解析 f(x)为奇函数，当 x0 时，f(x)的图形为递减的凹曲线，当 x0 时，f(x)的图形为递减的凸曲线，故选 D。4.设函数 f(x)连续，且 f(0)0，则存在 0，使得_。A在(0，)内 f(x)单调增加 B在(-，0)内 f(x)单调减少C对任意的 x(0，)，有 f(
9、x)f(0) D对任意的 x(-，0)，有 f(x)f(0)（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 利用导数的定义和极限的保号性解析 f(0)= ，由极限的的保号性， ，在此邻域内，5.二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+4x22+4x32-4x1x2+4x1x3-8x2x3的规范型是_。Af=z 12+z22+z32 Bf=z 12+z22-z32Cf=z 12-z22 Df=z 12（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 二次型解析 二次型的规范型由它的正负惯性指数确定，二次型的矩阵其特征多项式6.设 A= （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 矩阵的秩解
10、析 BO r(B)1，AB=O r(A)+r(B)3 r(B)3-r(A)，1r(B)3-r(A)，当 k=1 时，r(A)=1，1r(B)2，排除 A，C，当 k=-2 时，A=7.设随机变量 X 与 Y 分别服从 N(-1，2)和 N(1，2)，且 X 与 Y 不相关，k 1X+Y 与 X+k2Y 也不相关，则_。Ak 1+k2=0 Bk 1=k2=0Ck 1+k20 Dk 1+k20（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 随机变量的相关性解析 X 与 Y 不相关 cov(X，Y)=0，k 1X+Y 与 X+k2Y 不相关=k 1DX+k2DY=2k1+2k2=08.设(X 1，X
11、 2，X n)(n12)为来自总体 N(0，1)的简单随机样本， 为样本均值，S 2为样本方差，则_。An N(0，1) BnS 2X 2(n)C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 统计量的分布解析 ，排除 A，排除 B，二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)= (nN)，若 与 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：考点 函数的极限解析 当|x|1 时， ，当|x|1 时， ，即 a+b=1，10. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：考点 用积分中值定理求二重积分的极限解析 由积分中值定理知，存在(，)D:x 2+
12、y22r 2，使得11.设 z=z(x，y)由方程 xy=xf(z)+yg(z)确定，且 xf(z)+yg(z)0，则x-g(z) - （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：考点 二元函数的偏导数解析 方程为 F(x，y，z)=xf(z)+yg(z)-xy=0，12.设 F(x)是 f(x)的一个原函数，且 F(0)=1，F(x)f(x)=cos2x，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 定积分的计算解析 F(x)=f(x)， ，又 F(0)=1，故 C=1，F 2(x)=sin2x+1，F(x)= =|sinx+cosx|，13.设矩阵 A=E+
13、2 T，其中 ， 是 n 维列向量，且 T=2，则 A-1=_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(6E-A) ）解析：考点 逆矩阵解析 A 2=(E+2 T)2=E+4 T+4( T) T=E+12 T=E+6(A-E)=6A-5E，故 5E=6A-A2=(6E-A)A，所以 A-1=14.设 X1，X 2，X 9是来自正态总体 X 的简单随机样本， ， ， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 统计量的分布解析 设正态总体 XN(， 2)，E(Y1-Y2)=0， ，又 Y1-Y2，S 2独立，三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在
14、(-，0上连续，且满足 （分数：10.00）_正确答案：(令 =t 2-x2，du=2tdf， ，故 ，再令 ，即 ，对 t 求导，得 f(t)= ，故 f(x)= ，当 x-3 时，f(x)0；当-3x0 时，f(x)0，所以 x=-3，f(x)取得极小值 f(-3)= )解析：考点 函数的极值16.设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)上二阶可导，且 f(a)=0，f(b)0，f +(a)0，证明：()在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f()=0；()在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f“()0。（分数：9.00）_正确答案：(f +(a)= ，由极限的保号性知，存在 0，当 x
15、(a，a+)时， ，取 c(a，a+)，则 f(c)0，f(x)在c，b上连续，又 f(c)0，f(b)0，由零点定理知，存在 (c，b) (a，b)，使得 f()=0。()对 f(x)在a，c，c，b上用拉格朗日定理，存在 r(a，c)，s(c，b)，使得 f(r) ，再对 f(x)在r，s上用拉格朗日定理，存在 (r，s) (a，b)，使得 )解析：考点 零点定理与拉格朗日中值定理17.求微分方程 xy=3y-6x2的一个解 y=y(x)，使得曲线 y=y(x)与直线 x=1，y=0 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体体积最小。（分数：10.00）_正确答案：(方程 xy=3y-
16、6x2化为 ，其通解为， ，旋转体体积 ，又 )解析：考点 微分方程的解及微积分在几何中的应用18.计算 ，区域 D 由曲线 （分数：10.00）_正确答案：(画出区域 D 的图形，单位圆 x2+y2=1 将区域 D 分成两部分，单位圆 x2+y2=1 内的部分记作 D1，单位圆 x2+y2=1 外的部分记作 D2，则故 )解析：考点 二重积分19.求幂级数 （分数：11.00）_正确答案：(收敛半径 ，当 x=1 时，级数 发散，当 x=-1 时，级数 发散，故幂级数 的收敛域为(-1，1)，其和函数 )解析：考点 幂级数的收敛域及和函数20.设 A33是实对称矩阵，|A|=-12，A 的三
17、个特征值之和为 1，且 =(1，0，-2) T是方程组(A *-4E)x=0 的一个解向量。()求矩阵 A；()求方程组(A *+6E)x=0 的通解。（分数：11.00）_正确答案：()=(1，0，-2) T是方程组(A *-4E)x=0 的一个解向量 (A*-4E)-3，所以=(1，0，-2) T是 A 的对应特征值 3=-3 的特征向量；设 A 的另外两个特征值为 1， 2则 1+ 2+ 3=1， 1 2 3=|A|=-12，解得 1= 2=2；设 1= 2=2 对应的特征向量为 x=(x1，x 2，x 3)T，则它与 =(1，0，-2) T正交，即 x1-2x3=0，其基础解系为 1=
18、(0，1，0) T， 2=(2，0，1) T，令 P=( 1， 2，)，则 ，所以 。()(A *+6E)x=0 (AA*+6A)x=0 (A-2E)x=0同解方程组为 )解析：考点 矩阵的特征值，线性方程的解法21.设 n 阶实对称矩阵 A 的秩为 r，且满足 A2=A，求()二次型 xTAx 的标准形；()行列式|E+A+A 2+An|的值，其中 E 为单位矩阵。（分数：11.00）_正确答案：(设 A=(0)，则 A2= 2，又，A 2=A=故 2= ( 2-)=0 =1 或者 =0。由 n 阶实对称矩阵 A 的秩为 r 知，=1，=0 分别为 A 的 r 重和 n-r 重特征值，故存在
19、正交矩阵 P，使得 。()经正交变换 x=Py，二次型 xTAx 的标准形为 。()A 2=A A2=An=A，故行列式)解析：考点 二次型的标准型、抽象行列式的计算22.已知随机变量 X 与 Y 的联合概率分布为Y/X 0 10 1 1/3 1/3()证明 X 与 Y 不相关的充分必要条件是事件 Y=1 与 X+Y=1 相互独立；()若 X 与 Y 不相关，求 X 与 Y 的边缘分布。（分数：11.00）_正确答案：(由概率分布的性质知 +=()X 与 Y 不相关的充分必要条件是 cov(X，Y)=EXY-EXEY=0，x 的概率分布为 ，EX= +，Y 的概率分布为 ，EY= ，XY 的概
20、率分布为 ，EXY= ，cov(X，Y)= ，故 X 与 Y 不相关的充分必要条件是 。事件Y=1与X+Y=1相互独立的充分必要条件是：PY=1，X+Y=1=PY=1PX+Y=1PY=1，X+Y=1=PY=1，X=0= ，PY=1PX+Y=1= ，故事件Y=1与X+Y=1相互独立的充分必要条件是 ，所以 X 与 Y 不相关的充分必要条件是事件Y=1与X+Y=1相互独立。()若 X 与 Y 不相关，则 ，故 X 的概率分布为 ，Y 的概率分布为 )解析：考点 随机变量岛相关性、边缘分布23.设总体 XU(1，)，参数 1 未知，X 1，X n是来自 X 的简单随机样本。()求 的矩估计和极大似然估计量；()求上述两个估计量的数学期望。（分数：11.00）_正确答案：(总体 XU(1，)，其分布密度为()由 ，解得 ，故 的矩估计量为 ；似然函数 ，L 递减，又 X1，X n(1，)，故 的极大似然估计量为 。() ，而 的分布函数)解析：考点 参数估计、期望
