1、考研数学三-175 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知函数 f(x)是在(0，+)内单调增加的连续函数，对任何 ba0， ， （分数：4.00）A.B.C.D.2.设函数 f(x)在(-，+)内连续，在(-，0)(0，+)内可导，函数 y=y(x)的图像为则其导数的图像为_。ABCD （分数：4.00）A.B.C.D.3.有下列命题正确的是_。若 收敛，则 收敛若 收敛，则 收敛若 1，则 发散若 收敛，则 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 ，则_。A Ba=0，b=-2 C （分数：4.00）A.B.C.D.5.设
2、 1， 2为齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系， 1， 2为非齐次线性方程组 AX=b 的两个不同解，则方程组 AX=b 的通解为_。A BC D （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 A，B 均是 n 阶可逆矩阵，则行列式 （分数：4.00）A.B.C.D.7.总体 XN(2，4)，X 1，X 2，X n为来自 X 的样本， 为样本均值，则_。A BC D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X，Y，相互独立且均服从正态分布 N(， 2)，若概率 ，则_。A BC D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知 ，f(x)=arc
3、sinx 2则 （分数：4.00）填空项 1:_10.方程 （分数：4.00）填空项 1:_11.若 （分数：4.00）填空项 1:_12. （分数：4.00）填空项 1:_13.设 A 是三阶矩阵，已知|A+E|=0，|A+2E|=0，|A+3E|=0，B 与 A 相似，则 B 的相似对角阵为_。（分数：4.00）填空项 1:_14.设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为_。（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 y=f(x+y)，其中 f 具有二阶导数，且其一阶导数不
4、等于 1，求 （分数：10.00）_16.()求幂级数 （分数：10.00）_17.设 f(x)在0，+)上连续，且 。证明：至少 （分数：10.00）_18.设区域 D=(x，y)|x 2+y21，x0，计算二重积分 （分数：10.00）_19.设 （分数：10.00）_20.设 A 是实矩阵。证明()A TAx=0 与 Ax=0 是同解方程组；()秩(A TA)=秩 A。（分数：11.00）_21.设 A 为三阶方阵， 1， 2， 3为三维线性无关列向量组，且有A 1= 2+ 3，A 2= 1+ 3，A 3= 1+ 2。求()求 A 的全部特征值。()A 是否可以对角化?（分数：11.00
5、）_22.设(X，Y)是二维随机变量，X 的边缘概率密度为 ，在给定 X=x(0x1)的条件下，Y 的条件概率密度为 （分数：11.00）_23.设总体 X 的概率密度函数为 （分数：11.00）_考研数学三-175 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知函数 f(x)是在(0，+)内单调增加的连续函数，对任何 ba0， ， （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 函数的单调性解析 设 ，则所以，2.设函数 f(x)在(-，+)内连续，在(-，0)(0，+)内可导，函数 y=y(x)的图像为则其导数的图像为_。ABCD （
6、分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 函数的图像解析 由于函数可导(除 x=0)且取得两个极值，故函数有两个驻点，即导函数图像与 x 轴有且仅有两个交点，故 A，C 不正确。又由函数图像，极大值应小于极小值点，故 D 不正确。应选 B。3.有下列命题正确的是_。若 收敛，则 收敛若 收敛，则 收敛若 1，则 发散若 收敛，则 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 级数的敛散性解析 因级数 删除前 1000 项而得，故当 收敛时，去掉有限项依然收敛，因此 收敛。若 ，则存在正整数 N，使得 nN 是 un不变号。若 un0，有正项级数的比值判别法知 发散。同理可知，如果 un0
7、，则正项级数 发散，因此4.设 ，则_。A Ba=0，b=-2 C （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 函数的极限解析 ，因 =0，则，故 a=1。而，故 2+b= ，所以 b=5.设 1， 2为齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系， 1， 2为非齐次线性方程组 AX=b 的两个不同解，则方程组 AX=b 的通解为_。A BC D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 非齐次线性方程组的解解析 因为 1， 2+ 3为方程组 AX=0 的两个线性无关解，也是基础解系，而6.设 A，B 均是 n 阶可逆矩阵，则行列式 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 行列式的计
8、算解析 7.总体 XN(2，4)，X 1，X 2，X n为来自 X 的样本， 为样本均值，则_。A BC D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 统计量的抽样分布解析 由于 XiN(2，2 2)，所以故8.设随机变量 X，Y，相互独立且均服从正态分布 N(， 2)，若概率 ，则_。A BC D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 二维随机变量的概率解析 因为 aX-bY 服从正态分布，故根据题设二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知 ，f(x)=arcsinx 2则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 函数的导数解析 由 ，f(x)
9、=arcsinx 2得10.方程 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2(x+1)-2e x）解析：考点 微分方程的解解析 令 x-t=u，原方程变为方程两边对 x 求导得再两边对 x 求导得 f(x)=2x+f(x)，即 -y=-2x11.若 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2te t2(t2+1)）解析：考点 函数的极限解析 由于 f(t)=t2et2，所以 f(t)=et2(t22t+2t)=2tet2(t2+1)12. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 定积分的计算解析 因故原式=13.设 A 是三阶矩阵，已知|A+E|=0，|A+2
10、E|=0，|A+3E|=0，B 与 A 相似，则 B 的相似对角阵为_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 矩阵的对角化解析 由|A+E|=0，|A+2E|=0，|A+3E|=0，知 A 的特征值为 1=-1， 2=-2， 3=-3，相似矩阵具有相同的特征值，所以 B 的特征值也为 1=-1， 2=-2， 3=-3，故 B 相似的标准形为14.设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 古典概率解析 设 A：“所取的两件产品中至少
11、有一件是不合格品”，B：“所取的两件都是不合格品”。因为，所以三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 y=f(x+y)，其中 f 具有二阶导数，且其一阶导数不等于 1，求 （分数：10.00）_正确答案：(等式两边同时对 x 求导，得 y=f(x+y)(1+y)，于是 ；再对 x 求导，得 )解析：考点 隐函数、复合函数求导数16.()求幂级数 （分数：10.00）_正确答案：()由于 ，所以|x-1|1，即 0x2，当 x=0 和 x=2 时幂级数变为 及 ，均发散，故原级数的收敛域为(0，2)。设 ，则 ，所以 ，则 。()所以 )解析：考点 级数的收敛域及和函数17.设 f(
12、x)在0，+)上连续，且 。证明：至少 （分数：10.00）_正确答案：(证明：作函数 F(x)=f(x)+x，有 + 0。所以由积分中值定理，存在 a0，1，使 =(1-0)F(a)0，即 F(a)0。又 ，所以，由极限的保号性，存在 ba，使 ，即 F(b)0。因此，由介值定理，至少存在一个 (a，b) )解析：18.设区域 D=(x，y)|x 2+y21，x0，计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：(依题意，如下图所示，D 为右半单位圆，且关于 x 轴对称，所以 ，所以 。令 x=rcos，y=rsin，作极坐标变换则有 D1:0 ，0r1，从而 。)解析：考点 二重积分的计算。
13、19.设 （分数：10.00）_正确答案：() ， ，若要 g(x)在 x=0 处连续，必须 ，即 b=-1，故 b=-1，a 为任意实数时，g(x)在 x=0 处连续。()若要 g(x)在 x=0 处可导，则必须 g(x)在 x=0 处连续(b=-1)，且 g-(0)-=g+(0)，所以，所以 )解析：考点 函数的连续与可导20.设 A 是实矩阵。证明()A TAx=0 与 Ax=0 是同解方程组；()秩(A TA)=秩 A。（分数：11.00）_正确答案：(若 x0是 Ax=0 的解，显然 x0是 ATAx=0 的解；反之，设 x0是 ATAx=0 的解，则 x0TATAx0=0。即(Ax
14、 0)TAx0=0，从而|Ax0|2=(Ax0，Ax 0)=(Ax0)TAx0=0，于是 Ax0=0，即 x0是 Ax=0 的解。A TAx=0 与 Ax=0 是同解方程组。()既然 ATAx=0 与 Ax=0 是同解方程组，两者的解空间维数相同，从而推知秩(A TA)=秩 A。)解析：考点 方程组的同解、矩阵的秩21.设 A 为三阶方阵， 1， 2， 3为三维线性无关列向量组，且有A 1= 2+ 3，A 2= 1+ 3，A 3= 1+ 2。求()求 A 的全部特征值。()A 是否可以对角化?（分数：11.00）_正确答案：(由已知得，A( 1+ 2+ 3)=2( 1+ 2+ 3)，A( 2-
15、 1)=-( 2- 1)，A( 3- 1)=-( 3- 1)，又因为 1， 2， 3线性无关，所以 1+ 2+ 3)0， 2- 10， 3- 10，所以-1，2 是 A 的特征值， 1+ 2+ 3)， 2- 1， 3- 1是相对应的特征向量。又由 1， 2， 3线性无关，得 1+ 2+ 3)， 2- 1， 3- 1也线性无关，所以-1 是矩阵 A 的二重特征值，即 A 的全部特征值为-1，2。()由 1， 2， 3线性无关，可以证明 1+ 2+ 3)， 2- 1， 3- 1也线性无关，即A 有三个线性无关的特征向量，所以，矩阵 A 可相似对角化。)解析：考点 特征值与特征向量、矩阵的对角化22.设(X，Y)是二维随机变量，X 的边缘概率密度为 ，在给定 X=x(0x1)的条件下，Y 的条件概率密度为 （分数：11.00）_正确答案：(X，Y)的概率密度 f(x，y)=f X(x)fY|X(y|x)，即()f Y(y)= ，此时 fY(y)= ，即() = )解析：考点 二维随机变量的分布23.设总体 X 的概率密度函数为 （分数：11.00）_正确答案：( ；，所以 。() ，得 。() ，所以 ，因此 )解析：考点 参数估计
