1、考研数学三-174 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.方程 x4+4x+b=0 有两个不等的实根，则 b 的取值满足_。Ab3 Bb3 Cb-3 Db-3（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 D 是以(1，1)，(-1，1)和(-1，-1)为顶点的三角形区域，D 1是 D 在第一象限部分，则(xy+cosxsiny)dxdy=_。A2 cosxsinydxdy B2 xydxdyC2 (xy+cosxsiny)dxdy D4 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 (n=1，2，)，则下列级数中肯定收敛的是_。A B C
2、D （分数：4.00）A.B.C.D.4.微分方程 Y“-4y=x+2 的通解为_。A BC D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A，B 为 n 阶对称矩阵，下列结论不正确的是_。AAB 为对称矩阵 B设 A，B 可逆，则 A-1+B-1为对称矩阵CA+B 为对称矩阵 DkA 为对称矩阵（分数：4.00）A.B.C.D.6.设三阶矩阵 A 的特征值为-1，1，2，矩阵 A 与 B 相似，则下列矩阵可逆的是_。AB+E BB -1+E CB *-E DB 2-4E（分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X 和 Y 都服从标准正态分布，则_。AX+Y 服从正态分布 BX 2+Y
3、2服从 2分布CX 2和 Y2都服从 2分布 DX 2/Y2服从 F 分布（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 X 与 Y 相互独立，且均服从 N(0，1)，则下列正确的是_。AP(X+Y= BP(X-Y0)=CP(max(X，Y)0)= DP(min(X，Y)0)= （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)在点 x=0 处可导，且 （分数：4.00）填空项 1:_10. （分数：4.00）填空项 1:_11. （分数：4.00）填空项 1:_12.设 则 （分数：4.00）填空项 1:_13.设二次型 （分数：4.00）填空项 1:_1
4、4.已知随机变量 X，Y 相互独立，且 D(X)=2D(Y)，则(2X+Y)和(2X-Y)的相关系数为_。（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，又设连接(a，f(a)，(b，f(b)两点的直线和曲线y=f(x)相交于点(c，f(c)，(acb)。求证：在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f“()=0。（分数：10.00）_16.设函数 f(x)可导且 ，对任意的 x0，作 xn+1=f(xn)(n=0，1，2，)，证明： （分数：10.00）_17.计算 （分数：10.00）_18.判断 （分数：10
5、.00）_19.设 且 F 可微，证明： （分数：10.00）_20.已知三阶矩阵 A 与三维向量 x，使得向量组 x，Ax，A 2x 线性无关，且满足 A3x=3Ax-2A2x：()记 P=(x，Ax，A 2x)求三阶矩阵 B，使得 A=PBP-1；()计算行列式|A+E|。（分数：11.00）_21.已知三元二次型 xTAx 经正交变换化为 ，又知 A*=，其中 （分数：11.00）_22.已知随机变量 X （分数：11.00）_23.设总体 X 的概率密度为 （分数：11.00）_考研数学三-174 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.
6、00)1.方程 x4+4x+b=0 有两个不等的实根，则 b 的取值满足_。Ab3 Bb3 Cb-3 Db-3（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 函数的零点解析 令 f(x)=x4+4x+b，则2.设 D 是以(1，1)，(-1，1)和(-1，-1)为顶点的三角形区域，D 1是 D 在第一象限部分，则(xy+cosxsiny)dxdy=_。A2 cosxsinydxdy B2 xydxdyC2 (xy+cosxsiny)dxdy D4 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 二重积分解析 连接原点和(-1，1)，设与 D1关于 y 轴对称的区域为 D2，故在 D1+D2上，
7、xy 的二重积分为零；再设 D 的第三象限部分为 D4，与 D4关于 x 轴对称的部分为 D3。在D3+D4上，cosxsiny 的积分为零。所以 (xy+cosxsiny)dxdy=23.设 (n=1，2，)，则下列级数中肯定收敛的是_。A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 级数的敛散性解析 由 (n=1，2，)，可得 ，而级数 是 P=2 的 P 级数，因此收敛，从而4.微分方程 Y“-4y=x+2 的通解为_。A BC D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 非齐次线性微分方程的解解析 微分方程 y“-4y=0 的特征方程为 2-4=0，特征值为-2
8、，2，则方程 y“-4y=0 的通解为 C1e-2x+C2e2x，显然方程 y“-4y=x+2 有特解5.设 A，B 为 n 阶对称矩阵，下列结论不正确的是_。AAB 为对称矩阵 B设 A，B 可逆，则 A-1+B-1为对称矩阵CA+B 为对称矩阵 DkA 为对称矩阵（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 对称阵的性质解析 由(A+B) T=AT+BT=A+B 得 A+B 为对称矩阵；由(A -1+B-1)T=(A-1)T+(B-1)T=A-1+B-1得 A-1+B-1为对称矩阵，由(kA) T=kAT=kA 得知 kA 为对称矩阵，选 A。6.设三阶矩阵 A 的特征值为-1，1，2，
9、矩阵 A 与 B 相似，则下列矩阵可逆的是_。AB+E BB -1+E CB *-E DB 2-4E（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 矩阵可逆的判断解析 由题意知，B 的特征值也是-1，1，2，从而由|B|=-20 知，B 是可逆阵，且 B*=|B|B-1=-2B-1。据此，由可知 B2的特征值为 1，1，4；B -1的特征值为-1，1， ；B *的特征值为 2，-2，-1。进而可知，B+E 的特征值为 0，2，3；B -1+E 的特征值为 0，2，7.设随机变量 X 和 Y 都服从标准正态分布，则_。AX+Y 服从正态分布 BX 2+Y2服从 2分布CX 2和 Y2都服从 2分
10、布 DX 2/Y2服从 F 分布（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 多元随机变量的分布解析 由于(X，Y)的联合分布是否为二维正态分布未知，不能确定 X+Y 服从正态分布，又因为 X 与 Y，是否独立未知，因而不能确定 X+Y 服从正态分布，也不能确定 X2+Y2服从 2分布，也不能确定 X2/Y2服从F 分布。故，只能选 C，进一步分析，因 XN(0，1)，故 X2 2(1)，同理 Y2 2(1)，因此选 C。8.设 X 与 Y 相互独立，且均服从 N(0，1)，则下列正确的是_。AP(X+Y= BP(X-Y0)=CP(max(X，Y)0)= DP(min(X，Y)0)= （分数
11、：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 随机变量函数的分布解析 同理可求得： 。P(max(X，Y)0)=1-P(max(X，Y)0)=1-P(X0，Y0)=1-P(X0)P(Y0) 。P(min(X，Y)0)=P(X0，Y0)=P(X0)P(Y0)=二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)在点 x=0 处可导，且 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：考点 求函数的导数解析 由 ，知 ，于是 ，即10. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 函数的平均值解析 11. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：12）解析：考点
12、二重积分解析 12.设 则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：10ln2）解析：考点 函数的极限解析 当 x0 时， ，则13.设二次型 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-2）解析：考点 二次型解析 二次型对应的矩阵为 A= ，因为其正负惯性指数都是 1，则该二次型的规范形的秩为 2，从而 rA=2，因此|A|= =-(a-1)2(a+2)=0，得 a=1 或 a=-2。若 a=1，则 A= ，rA=12，显然不合题意。若 a=-2，则 A= ，rA=2，且|AEA|=14.已知随机变量 X，Y 相互独立，且 D(X)=2D(Y)，则(2X+Y)和(2X-Y)的相关系
13、数为_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 相关系数的计算解析 因为 cov(2X+Y，2X-Y)=cov(2X，2X)-cov(2X，Y)+cov(Y，2X)-cov(Y，Y)=4D(X)-D(Y)=7D(Y)，D(2X+Y)=D(2X-Y)=4D(X)+D(Y)=9D(Y)，所以三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，又设连接(a，f(a)，(b，f(b)两点的直线和曲线y=f(x)相交于点(c，f(c)，(acb)。求证：在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f“()=0。（分数：10.00）_正确答案：
14、(证明：对函数 f(x)分别在a，c和c，b上应用拉格朗日中值定理：存在 1(a，c)， ，存在 2(c，b)， 。由题设(a，f(a)，(b，f(b)，(c，f(c)共线，从而 )解析：考点 拉格朗日中值定理的应用16.设函数 f(x)可导且 ，对任意的 x0，作 xn+1=f(xn)(n=0，1，2，)，证明： （分数：10.00）_正确答案：(x n+1-xn=f(xn)-f(xn-1)=f( n)(xn-xn-1)，因为 f(x)0，所以 xn+1-xn与 xn-xn-1同号，故x n单调。即x n有界，于是 存在。根据 f(x)的可导性得 f(x)处处连续，等式 xn+1=f(xn)
15、，两边令 n，得 )解析：考点 数列的极限17.计算 （分数：10.00）_正确答案：(令 sin(y-x)=0，则 y=x 或 y-x=，如下图：D=D 1+D2，且 D1D 2=，D1=(x，y)|0x，x+y2，D2=(x，y)|0x，xyx+(x，y)|x2，xy2。)解析：考点 二重积分18.判断 （分数：10.00）_正确答案：(设 tan=n+1，tan=n，则 ，从而有 ，于是由 ，知级数 收敛，且和为 )解析：考点 判断级数的敛散性及求和函数19.设 且 F 可微，证明： （分数：10.00）_正确答案：( =0 两边对 x 求偏导得，解得 ；两边对 y 求偏导得 ，解得 ，
16、于是 )解析：考点 复合函数的偏导数20.已知三阶矩阵 A 与三维向量 x，使得向量组 x，Ax，A 2x 线性无关，且满足 A3x=3Ax-2A2x：()记 P=(x，Ax，A 2x)求三阶矩阵 B，使得 A=PBP-1；()计算行列式|A+E|。（分数：11.00）_正确答案：(由于 AP=PB，即 A(x，Ax，A 2x)=(Ax，A 2x，A 3x)=(Ax，A 2x，3Ax-2A 2x)。()因为 A=PBP-1，所以 AB，从而(A+E)(B+E)，于是 )解析：考点 矩阵的相似对角化，行列式的计算21.已知三元二次型 xTAx 经正交变换化为 ，又知 A*=，其中 （分数：11.
17、00）_正确答案：(由 知，A 的特征值为 1=2， 2= 3=-1 且|A|=2，再由 A*= 知，AA *=A，即|A|=A，也即 A=2，说明 是属于特征值 1=2 的特征向量。设 1= 3=-1 对应的特征向量为： ，则 Tx=0，即 x1+x2-x3=0，解得 。由 A(， 2， 3)=(A，A 2，A 3)=(2，- 2，- 3)，知 A=(2，- 2，- 3)(， 2， 3)-1再求所用正交变换矩阵 Q。先将 2， 3正交化，得 2= 2= ， 3 。再将 ， 2， 3单位化，得 。则令 Q= )解析：考点 二次型22.已知随机变量 X （分数：11.00）_正确答案：(设 Z 的分布函数为 FZ(z)，利用全概率公式和 X，Y，的独立性有：FZ(z)=P(XYz)=P(x=0)P(XYz|x=0)+P(X=1)P(XYz|X=1)= 。故 ，其中 )解析：考点 二维随机变量的分布函数23.设总体 X 的概率密度为 （分数：11.00）_正确答案：(由于 ，令 ，解得 ，所以参数 的矩估计为： 。()似然函数为 ，取对数，得 lnL()=Nln+(n-N)ln(1-)，两边对 求导，得 。令 ，得 ，所以 的最大似然估计为： )解析：考点 参数估计
