1、考研数学三-173 及答案解析(总分：155.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知 （分数：4.00）A.B.C.D.2.函数 （分数：4.00）A.B.C.D.3.已知(X，Y)服从二维正态分布 N(0，0， 2， 2；0)，则随机变量 X+Y 与 X-Y 必（分数：4.00）A.相互独立且同分布B.相互独立但不同分布C.不相互独立但同分布D.不相互独立且不同分布4.设 A，B 都是 3 阶矩阵，将 A 中第一行的 2 倍加至第 2 行得到矩阵 A，将 B 中第 3 列乘以 得到B1，如果 ，则 AB=（分数：4.00）A.B.C.D.5.设常数 a
2、，b 满足 ，则（分数：4.00）A.B.C.D.6.设随机变量 X 的概率分布为（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 1=(1，0，2，c 1)T， 2=(0，2，1，c 2)T， 3=(1，2，3，c 3)T， 4=(1，0，1，0) T其中ci(i=1，2，3)为任意实数，则（分数：4.00）A. 1， 2， 3， 4必线性相关B. 1， 2， 3， 4必线性无关C. 1， 2， 3必线性相关D. 2， 3， 4必线性无关8.设某种商品的需求量为 Q，价格为 P，且已知该商品的边际收益函数为 ，则该商品的需求函数Q=Q(P)的表达式为（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题
3、数：6，分数：24.00)9.设常数 ba0，则 （分数：4.00）填空项 1:_10.设函数 f(x)在1，+)上连续，并使反常积分 收敛，若 f(x)还满足 （分数：4.00）填空项 1:_11.设函数 f(x，y)具有连续的偏导数，且 f(x，x 2)=x4，f y(1，1)=1，则 fx(1，1)=_（分数：4.00）填空项 1:_12.已知 D 是由 x 轴与曲线 以及 围成的平面图形，设 x=rcos，y=rsin，则可把直角坐标系中的二重积分 （分数：4.00）_13.设 =(1，0，1) T，矩阵 A= T，则(A 2-E)-1=_（分数：4.00）填空项 1:_14.设总体
4、XN(a，2)，YN(b，2)，从总体 X 取得简单随机样本 X1，X 2，X m，从总体 y 独立地取得简单随机样本 Y1，Y 2，Y n，记统计量 = （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：99.00)15.证明当 x(0，1)时 （分数：10.00）_16.计算定积分 （分数：10.00）_17.计算累次积分 （分数：10.00）_18.把函数 （分数：10.00）_19.设连续函数 f(x)满足方程（分数：10.00）_已知齐次方程组 Ax=0 为（分数：11.01）(1).求矩阵 B；（分数：3.67）_(2).若 Ax=0 与 Bx=0 同解，求 a1，a
5、2，a 3，a 4的值；（分数：3.67）_(3).求方程组 Ax=0 满足 x3=-x4的所有解（分数：3.67）_已知矩阵 可逆，A *是 A 的伴随矩阵， （分数：11.00）(1).求 A*的特征值与特征向量；（分数：5.50）_(2).判断 A*能否相似对角化，如能则求可逆矩阵 P 使 P-1A*P=A，如不能则说明理由（分数：5.50）_设某地区一年内发生有感地震的次数 X 和无感地震次数 Y 分别服从泊松分布 P( 1)和 P( 2)，( 1， 20)，且 X 与 Y 相互独立（分数：16.00）_(2).已知一年内发生了 n 次地震的条件下求有感次数 X 的条件概率分布（分数：
6、8.00）_设二维随机变量(X，Y)的概率密度为（分数：11.00）(1).常数 A；（分数：2.75）_(2).fX(x)；（分数：2.75）_(3).fY|X(y|x)；（分数：2.75）_(4).cov(X，Y)（分数：2.75）_考研数学三-173 答案解析(总分：155.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 令*，由复合函数求导法则可得*由于当 x=0 时*，故y(0)=ln1+(-1)2=ln2故应选(A)2.函数 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 当 x=y0 时*，这表明在点
7、(0，0)的任意小的邻域中总有使*的点，而 f(0，0)=0，故f(x，y)在点(0，0)处不连续又因 f(x，0)0，可见 fx(0，0)=0，类似又有 f(0，y)0，于是 fy(0，0)=0，这表明 f(x，y)在点(0，0)处两个偏导数都存在故应选(C)3.已知(X，Y)服从二维正态分布 N(0，0， 2， 2；0)，则随机变量 X+Y 与 X-Y 必（分数：4.00）A.相互独立且同分布 B.相互独立但不同分布C.不相互独立但同分布D.不相互独立且不同分布解析：分析 (X，Y)二维正态，则(X+Y，X-Y)也是二维正态，故 X+Y 和 X-Y 也是正态E(X+Y)=EX+EY=0+0
8、=0，D(X+Y)=DX+DY= 2+ 2=2 2，即(X+Y)N(0，2 2)E(X-Y)-EX-EY=0-0=0，D(X-Y)=DX+DY= 2+ 2=2 2，即(X-Y)N(0，2 2)cov(X+Y，X-Y)=cov(X，X)=cov(X，Y)+cov(Y，X)-cov(Y，Y)= 2-cov(X，Y)+cov(X，Y)= 2=0故 X+Y 与 X-Y 的相关系数为 0，即 X+Y 与 X-Y 相互独立4.设 A，B 都是 3 阶矩阵，将 A 中第一行的 2 倍加至第 2 行得到矩阵 A，将 B 中第 3 列乘以 得到B1，如果 ，则 AB=（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分
9、析 矩阵 A 和 B 分别经过初等行变换和列变换得到矩阵 A1和 B1有 A1=PA，B 1=BQ其中*于是 A1B1=PABQ那么*5.设常数 a，b 满足 ，则（分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 方法一 由*知*将 a=2 代入原式即得*方法二 本题也可用带皮亚诺余项的麦克劳林公式*+(x)求解因为*，令*就有*故*6.设随机变量 X 的概率分布为（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 已知泊松分布为*，可以看出本题所给的分布就是泊松分布，其中 =1，C=e又知泊松分布的 EX=，DX=根据公式 EX 2=DX+(EX)2=1+1=27.设 1=(1，0，2，c 1)T
10、， 2=(0，2，1，c 2)T， 3=(1，2，3，c 3)T， 4=(1，0，1，0) T其中ci(i=1，2，3)为任意实数，则（分数：4.00）A. 1， 2， 3， 4必线性相关B. 1， 2， 3， 4必线性无关C. 1， 2， 3必线性相关D. 2， 3， 4必线性无关 解析：分析 如(B)正确则(D)必正确，因此(B)不正确若(C)正确则(A)必正确，故(C)必错误，所以正确的在(A)或(D)中由于*仅当 c1+c2=c3时， 1， 2， 3， 4才线性相关，故(A)不正确所以选(D)或者，由*，知(0，2，1) T，(1，2，3) T，(1，0，1) T必线性无关，从而 2，
11、 3， 4必线性无关而知(D)必正确8.设某种商品的需求量为 Q，价格为 P，且已知该商品的边际收益函数为 ，则该商品的需求函数Q=Q(P)的表达式为（分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 设总收益函数为 R(Q)，则 R(0)=0，且边际收益函数*=*，于是*又因 R(Q)=PQ，从而*二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设常数 ba0，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 由于不能看出被积函数*的原函数的形式，所以不能直接计算题设的定积分这使我们考虑把*看成某个二元函数 f(x，y)当 ya，b的定积分，即*把变量 y 改写成 t，把积分上限改
12、写成 y，手是有*把(*)看成关于 y 的恒等式，两端对 y 求导数即得*这样一来*交换积分次序即可求得结果：*10.设函数 f(x)在1，+)上连续，并使反常积分 收敛，若 f(x)还满足 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 令*，则有方程组*将式代入式可禧*由此可得*，故*11.设函数 f(x，y)具有连续的偏导数，且 f(x，x 2)=x4，f y(1，1)=1，则 fx(1，1)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：分析 因函数 f(x，y)具有连续的偏导数，从而函数 f(x，y)可微，又因一元函数 y=x2可导，故对复合函数 f(x，x
13、 2)可用一阶全微分形式不变性求全微分，得df(x，x 2)=f1(x，x 2)dx+f2(x，x 2)d(x2)=f1(x，x 2)dx+2xf2(x，x 2)dx另一方面，由 f(x，x 2)=x4，又可得 df(x，x 2)=4x3dx于是f1(x，x 2)dx+2xf2(x，x 3)dx4x 3dx在上式中令 x=1，由题设及 dx 的任意性，即得f1(1，1)+2f 2(1，1)=4* fx(1，1)+2f y(1，1)=4* fx(1，1)=4-2f y(1，1)=212.已知 D 是由 x 轴与曲线 以及 围成的平面图形，设 x=rcos，y=rsin，则可把直角坐标系中的二重积
14、分 （分数：4.00）_解析：分析 由题设知，在直角坐标系中积分区域 D 可表示为 D=(x，y)|0y2，*13.设 =(1，0，1) T，矩阵 A= T，则(A 2-E)-1=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 因为*又*所以 A 2=( T)( T)=( T) T=2A那么*故*14.设总体 XN(a，2)，YN(b，2)，从总体 X 取得简单随机样本 X1，X 2，X m，从总体 y 独立地取得简单随机样本 Y1，Y 2，Y n，记统计量 = （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： 2(m+n-2)）解析：分析 *为样本方差同理*，且*独立根据*的性
15、质*分布同理*相互独立故*三、解答题(总题数：9，分数：99.00)15.证明当 x(0，1)时 （分数：10.00）_正确答案：(令*，只需证明当 x(0，1)时 f(x)0 即可由于 f(x)是关于*对称的函数，可见只需证明 f(x)在*为正计算可得 f(0)=0，*，又由 f(x)=cosx-1+2x 可得 f(0)=0，*，再因*即知 f(x)在区间*内先由 f(0)=0 开始单调增加，然后再单调减少到*，这表明 f(x)在开区间*内为正于是 f(x)在*上单调增加，故在*上*，即所要证明的不等式成立)解析：16.计算定积分 （分数：10.00）_正确答案：(由于*其中常数 A，B，C
16、 满足恒等式 A(1+t)(2+t)+B(1-t)(2+t)+C(1-t2)=1令 t=1 即得 6A=1，故*，令 t=-1 即得 2B=1，故*，令 t=0 即得 2A+2B+C=1，故*故*)解析：17.计算累次积分 （分数：10.00）_解析：18.把函数 （分数：10.00）_正确答案：(将 f(x)求导即得*利用(1+x) 的幂级数展开式*令*，并把 x 换为 x2即得 f(x)的幂级数展开式*其中(2n-1)!=135(2n-1)，(2n)!=246(2n)利用 f(0)=0，在(-1，1)上逐项积分即得 f(x)的幂级数展开式*以上幂级数在点 x=1 处成为交错级数*由于数列*
17、单调减少且趋于零，故幂级数在点 x=1 处收敛，类似可知幂级数在点 x=-1 处也收敛，又因函数*在 x=-1 与 x=1 处都连续，故 f(x)的幂级数展开式不仅在(-1，1)内成立，而且在点 x=-1 与 x=1 也成立，即*)解析：19.设连续函数 f(x)满足方程（分数：10.00）_正确答案：(在题设的积分方程中令 x=0 得 f(0)=0，把方程改写成*由于上式右端各项都可导，因而 f(x)可导，且*即*不难看出 f(x)也可导，且 f“(x)=12x2-4f(x)，此外还有 f(0)=1这样一来，y=f(x)就是二阶常系数线性微分方程初值问题*的特解由于 y“+4y=0 的特征根
18、为 1=2i 与 2=-2i(其中 i 是虚数单位)，所以其通解为yC=C1cos2x+C2sin2x因为非齐次项是 12x2，于是非齐次方程是 y“+4y=12x2具有形式为 y*=Ax2+Bx+C 的特解令y“+4y*=2A+4(Ax2+Bx+C)12x 2，可确定 A=3，B=0，*，即*按通解结构定理知非齐次方程 y“+4y=12x2的通解为*令 x=0 并利用 y(0)=0 可确定*，在y=-2C1sin2x+2C2cos2x+6x中令 x=0 并利用 y(0)=1 可确定*故所求函数*)解析：已知齐次方程组 Ax=0 为（分数：11.01）(1).求矩阵 B；（分数：3.67）_正
19、确答案：(由 B( 1， 2)=0 有( 1， 2)TBT=0那么矩阵 BT的列向量(亦即矩阵 B 的行向量)是齐次方程组( 1， 2)Tx=0 的解对系数矩阵( 1， 2)T作初等行变换，有*得到基础解系：(1，2，1，0) T，(-1，-1，0，1) T故矩阵*)解析：(2).若 Ax=0 与 Bx=0 同解，求 a1，a 2，a 3，a 4的值；（分数：3.67）_正确答案：(由于两个方程组同解，那么 1， 2必是齐次方程组 Ax=0 的基础解系*即*解出 a 1=1，a 2=3，a 3=2，a 4=1)解析：(3).求方程组 Ax=0 满足 x3=-x4的所有解（分数：3.67）_正确
20、答案：(由于 Ax=0 的通解是k1 1+k2 2=(k1，-2k 1+k2，3k 1-2k2，-k 1+k2)T因为 x3=-x4即 3k1-2k2=k1-k2即 k2=2k1所以 Ax=0 满足条件 x3=-x4的所有解为(k，0，-k，k) T，k 为任意常数)解析：已知矩阵 可逆，A *是 A 的伴随矩阵， （分数：11.00）(1).求 A*的特征值与特征向量；（分数：5.50）_正确答案：(按定义，设 A*= 0，则 AA*= 0A，即 0A=|A| 由于矩阵 A 可逆，知|A|0， 00，于是*对于*即*解出 =1，a=-1由矩阵 A 的特征多项式*=(-3)(-1)(-2)得矩
21、阵 A 的特征值是 1，2，3于是|A|=6从而 A*的特征值是 6，3，2对 =1，由(E-A)x=0*得矩阵 A 属于特征值 =1 的特征向量是 1=(-1，1，1) T于是 A*属于特征值 =6 的特征向量是k1 1，(k 10)对 =2，由(2E-A)x=0*得矩阵 A 属于特征值 =2 的特征向量 2=(-2，2，3) T，于是 A*属于特征值 =3 的特征向量是k2 2，(k 20)对 =3，由(3E-A)x-0*得矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量 3=(-1，2，3) T，于是 A*属于特征值 =2 的特征向量是k3 3，(k 30)解析：(2).判断 A*能否相似对角化，
22、如能则求可逆矩阵 P 使 P-1A*P=A，如不能则说明理由（分数：5.50）_正确答案：(因为 A*有 3 个线性无关的特征向量，故 A*令*则有*)解析：设某地区一年内发生有感地震的次数 X 和无感地震次数 Y 分别服从泊松分布 P( 1)和 P( 2)，( 1， 20)，且 X 与 Y 相互独立（分数：16.00）_解析：(2).已知一年内发生了 n 次地震的条件下求有感次数 X 的条件概率分布（分数：8.00）_正确答案：(当 0kn 时，*如果记*，则*，k=0，1，n即服从 B(n，P)分布)解析：设二维随机变量(X，Y)的概率密度为（分数：11.00）(1).常数 A；（分数：2
23、.75）_正确答案：(我们可以从公式*，f X(x)=*f(x，y)dy 和*来求出 A，f X(x)和 fY|X(y|x)而其中 A 可以从*来求出而不必先求*求 cov(X，Y)可用公式 cov(X，Y)=EXY-EXEY也可以用*= 1 2，其中*从这点看，还不如将(X，Y)直接理解成一个二维正态随机变量先求出它的参数，*和则 A，f X(x)从而 fY|X(y|x)，cov(X，Y)都容易得到二维正态概率密度一般形式为f(x，y)=*而题给条件为*，由此可得 1= 2=0，且成立*因此*)解析：(2).fX(x)；（分数：2.75）_正确答案：(*)解析：(3).fY|X(y|x)；（分数：2.75）_正确答案：(*，即*)解析：(4).cov(X，Y)（分数：2.75）_正确答案：(*)解析：
