1、考研数学三-172 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 A 和 B 是任意两个概率不为 0 的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是_（分数：4.00）A.B.C.D.2.设（分数：4.00）A.B.C.D.3.设函数 f(x)对任意 x 均满足等式 f(1+x)=f(x)，且 f(0)=b，其中 a、b 为非零常数，则_（分数：4.00）A.f(x)在 x=1 处不可导B.f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=aC.f(x)在 x=1 处可导且 f(1)=bD.f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=ab4.向量组 1，
2、 2， s线性无关的充分条件是_（分数：4.00）A. 1， 2， s均不为零向量B. 1， 2， s中任意两个向量的分量不成比例C. 1， 2， s中任一个向量均不能由其余 s-1 个向量线性表示D. 1， 2， s中有一部分向量线性无关5.已知函数 F(x)具有任意阶导数，且 f(x)=f(x)2，则当 n 为大于 2 的正整数时，f(x)的 n 阶导数 f(n)(x)是_（分数：4.00）A.n!f(x)n+1B.nf(x)n+1C.f(x)2nD.n!f(x)2n6.函数 （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 f(x)是连续函数，F(x)是 f(x)的原函数，则_（分数：4.00）
3、A.当 f(x)是奇函数时，F(x)必为偶函数B.当 f(x)是偶函数时，F(x)必为奇函数C.当 f(x)是周期函数时，F(x)必为周期函数D.当 f(x)是单调增函数时，F(x)必为单调增函数8.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*0，若 1， 2， 3， 4是非齐次方程组 Ax=b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系_（分数：4.00）A.不存在B.仅含一个非零解向量C.含有两个线性无关的解向量D.含有三个线性无关的解向量二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.设曲线 F(x)=x3+ax 与 g(x)=bx2+c
4、都通过点(-1，0)，且在点(-1，0)有公共切线，则a=_，b=_，c=_（分数：4.00）填空项 1:_11.设矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_12.设 （分数：4.00）填空项 1:_13.设随机变量 X 的概率密度为若 k 使得 （分数：4.00）_14.设随机变量 X 在区间-1，2上服从均匀分布，随机变量（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求 （分数：9.00）_16. （分数：9.00）_17.设 （分数：11.00）_18.设有三维列向量（分数：11.00）_19.已知齐次线性方程组其中 （分数：10.00）_20.假设一设备开
5、机后无故障工作的时间 X 服从指数分布，平均无故障工作时间(E(X)为 5 小时，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作 2 小时便关机试求该设备每次开机无故障工作的时间 Y 的分布函数 F(y)（分数：11.00）_21.已知二次型 （分数：11.00）_22.假设一厂家生产的每台仪器, 以概率 0.70 可以直接出厂，以概率 0.30 需进一步调试，经调试后以概率 0.80 可以出厂，以概率 0.20 定为不合格品不能出厂, 现该厂新生产了 n(n2)台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立)，求：(1) 全部能出厂的概率 ；(2) 其中恰好有两台不能出厂的概率 ；(3)
6、其中至少有两台不能出厂的概率 （分数：11.00）_23.设总体 X 的概率密度为其中 0 为未知参数，0 是已知常数试根据来自总体 X 的简单随机样本 X1，X 2，X n求 的最大似然估计量 （分数：11.00）_考研数学三-172 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 A 和 B 是任意两个概率不为 0 的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是_（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点提示 随机事件的独立性不相容性解题分析 利用 A、B 的互不相容性详解 因为 A 和 B 是任意两个概率不为 0 的不相容事件，于是*，所
7、以 A-B=A故 P(A-B)=P(A)故应选 D评注 1 “互不相容”事件和“相互独立”事件，在一般情况下没有因果关系但两个概率不为 0 的互不相容事件一定不独立，故 C 项不可能成立评注 2 值得注意的是，不要误认为 A，B 两项总有一个是正确的事实上，设 为样本空间，若*，AB 时，A 不成立；当*，AB= 时，B 不成立2.设（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点提示 初等变换、初等矩阵解题分析 本题考查初等变换与初等矩阵的关系由题设知 B=AP1P2因此P1P2A-1B=P1P2A-1AP1P2=(P1P2)2由已知，*因此 B-1=P1P2A-1，选 C3.设函数 f(x)
8、对任意 x 均满足等式 f(1+x)=f(x)，且 f(0)=b，其中 a、b 为非零常数，则_（分数：4.00）A.f(x)在 x=1 处不可导B.f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=aC.f(x)在 x=1 处可导且 f(1)=bD.f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=ab 解析：考点提示 导数定义解题分析 由导数定义知*故应选 D4.向量组 1， 2， s线性无关的充分条件是_（分数：4.00）A. 1， 2， s均不为零向量B. 1， 2， s中任意两个向量的分量不成比例C. 1， 2， s中任一个向量均不能由其余 s-1 个向量线性表示 D. 1， 2， s中有一部分向量
9、线性无关解析：考点提示 由向量组线性无关的定义即得解题分析 详解 1 选项 C 为向量组 1， 2， s线性无关的充分必要条件A，B，D 均是必要条件，而非充分条件如向量组(1，0)，(0，1)，(1，1)线性相关，但 A，B，D 均成立，故应选 C详解 2 易举反例说明 A，B，D 均不成立，只有 C 为正确答案事实上，可用反证法，若 1， 2， s线性相关则至少有一个向量可用其余向量线性表示，这与选项 C 矛盾5.已知函数 F(x)具有任意阶导数，且 f(x)=f(x)2，则当 n 为大于 2 的正整数时，f(x)的 n 阶导数 f(n)(x)是_（分数：4.00）A.n!f(x)n+1
10、B.nf(x)n+1C.f(x)2nD.n!f(x)2n解析：考点提示 高阶导数解题分析 为方便记 y=y(x)由 y=y2逐次求导得y“=2yy=2y3，y“=3!，y 2y=3!y4，归纳可证 y(n)=n!yn+1应选 A6.函数 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点提示 函数的极限、有界性解题分析 本题考查函数极限与有界性的关系：当*时，则 f(x)在 x0的邻域内无界由题设，*由(1)(4)式可知，(0，1)，(1，2)，(2，3)内 f(x)都是无界的，所以选 A7.设 f(x)是连续函数，F(x)是 f(x)的原函数，则_（分数：4.00）A.当 f(x)是奇函数时，F
11、(x)必为偶函数 B.当 f(x)是偶函数时，F(x)必为奇函数C.当 f(x)是周期函数时，F(x)必为周期函数D.当 f(x)是单调增函数时，F(x)必为单调增函数解析：考点提示 原函数、奇偶性、单调性解题分析 由题设，f(x)连续，则*是 f(x)的一个原函数，因此 F(x)=*，其中 C 为任意常数当 f(x)是奇函数时，即 f(-x)=-f(x)，则*所以 F(x)是偶函数，A 正确，关于 B，C，D，可分别举出反例予以否定；关于 B，令 f(x)=cosx，则 F(x)=sinx+1 不是奇函数；关于 C，令 f(x)=sin2x，则*不是周期函数；关于 D，令 f(x)=x，则*
12、不是单调函数综上，选 A8.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*0，若 1， 2， 3， 4是非齐次方程组 Ax=b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系_（分数：4.00）A.不存在B.仅含一个非零解向量 C.含有两个线性无关的解向量D.含有三个线性无关的解向量解析：考点提示 线性方程组、矩阵的矩解题分析 由题设，A *0，则 A*中存在非零元素，从而由伴随矩阵的定义，知 A 有不为 0 的 n-1 阶子式，同时由 Ax=b 解不唯一可知|A|=0，从而 r(A)=n-1，所以 Ax=0 的基础解系仅含 n-r(A)=1 个非零向量，选B二、填空题(总题数：6，分数：
13、24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点提示 利用重要极限*即可解题分析 *10.设曲线 F(x)=x3+ax 与 g(x)=bx2+c 都通过点(-1，0)，且在点(-1，0)有公共切线，则a=_，b=_，c=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-1，-1，1）解析：考点提示 两曲线在点(-1，0)处有公共切线，意味着 f(x)与 g(x)在 x=-1 处有相同的导数，即f(-1)=g(-1)解题分析 曲线_f(x)与 g(x)都通过点(-1，0)，且在该点有公共切线，于是有*解得 a=-1，b=-1，c=111.设矩阵 （分数：4.00）填
14、空项 1:_ （正确答案：2）解析：考点提示 行列式与矩阵的计算解题分析 由已知 B4=B+2E 有 B(A-E)=2E两边取行列式，有|B|A-E|=4又因为*，所以|B|=212.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：考点提示 矩阵运算解题分析 由题设，*假设 An=2An-1(n2)，则 An-1=2AAn-1=2An所以由数学归纳法，知 An-2An-1=013.设随机变量 X 的概率密度为若 k 使得 （分数：4.00）_解析：考点提示 概率分布解题分析 由题设已知 X 的概率密度，则对 R 上某个区间 D，有*由已知 PXk14.设随机变量 X 在区间-1，2
15、上服从均匀分布，随机变量（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点提示 方差解题分析 已知 X 在区间-1，2上服从均匀分布，则 X 的概率密度为*因此*于是*所以*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求 （分数：9.00）_正确答案：(由题设，*)解析：考点提示 洛必达法则、等价无穷小16. （分数：9.00）_正确答案：(由题设，需先求出 f(x)的解析表达式，再求不定积分令 t=sin2x，则*，从而*因此*)解析：考点提示 不定积分17.设 （分数：11.00）_正确答案：(1) 当 x0 时，有*当 x=0 时由导数的定义有*所以*(2) 因为在 x=0
16、 处，有*而又 f(x)在 x0 处是连续函数，所以 f(x)在(-，+)上为连续函数)解析：评注 本题综合考查了导数的定义、连续函数的概念以及洛必达法则考点提示 关键是在 x=0 处 f(0)的存在性及 f(x)的连续性均应用定义讨论18.设有三维列向量（分数：11.00）_正确答案：(设 x1 1+x2 2+x3 3=，得线性方程组*其系数行列式*(1) 若 0 且 -3，则方程组有唯一解， 可由 1， 2， 3唯一地线性表示(2) 若 =0，则方程组有无穷多个解， 可由 1， 2， 3线性表示，但表达式不唯一(3) 若 =-3，则方程组的增广矩阵*可见方程组的系数矩阵 A 与增广矩阵*不
17、等秩，故方程组无解，从而 不能由 1， 1， 3线性表示)解析：评注 向量间的线性关系(线性表示，线性相关、线性无关)与相应的方程组的解的情况之间的关系，提供了利用方程组解的结论判定向量间的线性关系问题的一种重要方法反之，也可利用向量间的线性关系的性质与结论讨论方程组的解的问题这种不同问题之间的相互关联也是线性代数知识结构的主要特点考点提示 将讨论一个向量能否由一组向量线性表示的问题转化为讨论一个非齐次线性方程组解的存在性及唯一性问题19.已知齐次线性方程组其中 （分数：10.00）_正确答案：(由题设，设方程组的系数矩阵为 A，则*(1) 当 b0 且*时，|A|0，r(A)=n 此时方程组
18、仅有零解：(2) 当 b=0 时，原方程组的同解方程组为 a1x1+a2x2+anxn=0，由已知条件*0，知 ai(i=1，2，n)不全为 0不失一般性，可假设 a10，则不难求得原方程组的一个基础解系为*当*时，即*时，由已知条件知 b0，则 A 可化为阶梯形*不难求得原方程组的基础解系为*)解析：考点提示 线性齐次方程组、基础解系20.假设一设备开机后无故障工作的时间 X 服从指数分布，平均无故障工作时间(E(X)为 5 小时，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作 2 小时便关机试求该设备每次开机无故障工作的时间 Y 的分布函数 F(y)（分数：11.00）_解析：2
19、1.已知二次型 （分数：11.00）_正确答案：(1) f 的矩阵表达式为*(2) 二次型的矩阵阵为*A 的特征方程为*由此得 A 的特征值为 1=1， 2=6， 3=-6对应的特征向量为*对应的单位特征向量为*由此可得正交矩阵*对二次型 f 作正交变换*则二次型 f 可以化为如下标准形*)解析：评注 化二次型为标准形常用两种方法：正交变换法和配方法但要注意的是用配方法得到的标准形中的系数不一定为二次型相应矩阵的特征值考点提示 这是二次型的一个常规题，注意不要出现计算错误22.假设一厂家生产的每台仪器, 以概率 0.70 可以直接出厂，以概率 0.30 需进一步调试，经调试后以概率 0.80
20、可以出厂，以概率 0.20 定为不合格品不能出厂, 现该厂新生产了 n(n2)台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立)，求：(1) 全部能出厂的概率 ；(2) 其中恰好有两台不能出厂的概率 ；(3) 其中至少有两台不能出厂的概率 （分数：11.00）_解析：23.设总体 X 的概率密度为其中 0 为未知参数，0 是已知常数试根据来自总体 X 的简单随机样本 X1，X 2，X n求 的最大似然估计量 （分数：11.00）_正确答案：(由题设知，X 1，X 2，X n独立同总体 X 的分布，所以 Xi的密度函数为 p(xi，)，于是似然函数为*当 xi0(i=1，2，n)时，L(x 1，x 2，x n，)0，取对数并解似然方程*对 求导数，得*令*解得*所以 的最大似然估计量*)解析：评注 最大似然估计的关键是写出似然函数注意估计值和估计量的区别，估计量是统计量，而估计值是估计量在一组具体观测值上的取值，本题是求估计量的情形 考点提示 直接用最大似然估计的常规方法：先写出似然函数，然后用最大似然估计法计算即可
