1、考研数学三-171 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设当 x0 时，(x-sinx)ln(1+x)是比 exn-1 高阶的无穷小，而 exn-1 是比 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设函数 f(x)连续，则 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设函数 f(x)在闭区间a，b上连续，且 f(x)0，则方程 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设常数 0，且级数 收敛，则级数 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A，B，A+B，A -1+B-1均为 n 阶可逆方阵，则(A -1+B-1)-1等于_。AA -1+B
2、-1 BA+B CA(A+B) -1B D(A+B) -1（分数：4.00）A.B.C.D.6.设向量组()： 1， 2， s的秩为 r1，向量组()： 1， 2， s的秩为 r2，且向量组()可由向量组()线性表示，则_。A 1+ 1， 2+ 2， s+ s的秩为 r1+r2B向量组 1- 1， 2- 2， s- s的秩为 r1-r2C向量组 1， 2， s， 1， 2， s的秩为 r1+r2D向量组 1， 2， s， 1， 2， s的秩 r1（分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X 服从正态分布 N(1， 2)，其分布函数为 F(x)，则对任意实数 x，有_。AF(x)+F(-
3、x)=1 BF(1+x)+F(1-x)=1 CF(x+1)+F(x-1)=1 DF(1-x)+F(x-1)=1（分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X 和 Y 相互独立，且 X 和 Y 的概率分布分别为：则 pX+Y=2=_。A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x) （分数：4.00）填空项 1:_10. （分数：4.00）填空项 1:_11. （分数：4.00）填空项 1:_12.设函数 z=z(x，y)是由方程 z=2y+e2x-3z确定，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 =(1，0，-1) T，矩
4、阵 A= T，n 为正整数，则行列式|aE-A n|_。（分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 X，Y 不相关，XU(-3，3)，y 的密度为 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_16.设函数 f(x)在|x|1 上有定义，在 x=0 的某个邻域内具有二阶连续导数，且 =0，试证：级数（分数：10.00）_17.设 f(x)在(-，+)连续， ，证明： (A，B)， （分数：10.00）_18.已知 （分数：10.00）_19.设 f(x)连续，且 f(0)=1，令 F(t)= （分数：10.00）_20.设
5、n 阶矩阵 A=( 1， 2， n)的前 n-1 个列向量线性相关，后 n-1 个列向量线性无关，且 1+ 2+(n-1) n-1=0，b= 1+ 2+ n。()证明方程组 AX=b 有无穷多个解。()求方程组 AX=b 的通解。（分数：11.00）_21.设 A= （分数：11.00）_22.假设二维连续型随机变量(X，Y)在矩形区域 D=(x，y)|0x2，0y1 上服从均匀分布，令Z=max(X，Y)，求 E(Z)与 D(Z)。（分数：11.00）_23.设总体 ZU( 1， 2)， 2 1，X 1，X 2，X n是来自总体 X 的样本，求 1， 2的矩估计和最大似然估计。（分数：11.
6、00）_考研数学三-171 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设当 x0 时，(x-sinx)ln(1+x)是比 exn-1 高阶的无穷小，而 exn-1 是比 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 无穷小解析 e x2-1x n因为 ，所以 ，又因为 。2.设函数 f(x)连续，则 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 变上限积分求导数解析 因 ，(先凑微分，再作变量代换)故3.设函数 f(x)在闭区间a，b上连续，且 f(x)0，则方程 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 考查方程实根的个数解析
7、 记 ，则 。又4.设常数 0，且级数 收敛，则级数 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 级数的收敛性解析 直接推演，由不等式 得 ，而由级数 均收敛及比较判别法知级数 绝对收敛，故选 C。5.设 A，B，A+B，A -1+B-1均为 n 阶可逆方阵，则(A -1+B-1)-1等于_。AA -1+B-1 BA+B CA(A+B) -1B D(A+B) -1（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 矩阵的性质，逆矩阵解析 因为 A(A+B)-1B=(A-1)-1(A+B)-1(B-1)-1=B-1(A+B)A-1-1=(B-1AA-1+B-1BA-1)-1=(B-1+A-1)-
8、1=(A-1+B-1)-1。故 C 正确。6.设向量组()： 1， 2， s的秩为 r1，向量组()： 1， 2， s的秩为 r2，且向量组()可由向量组()线性表示，则_。A 1+ 1， 2+ 2， s+ s的秩为 r1+r2B向量组 1- 1， 2- 2， s- s的秩为 r1-r2C向量组 1， 2， s， 1， 2， s的秩为 r1+r2D向量组 1， 2， s， 1， 2， s的秩 r1（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 向量的秩解析 因为向量组 1， 2， s可由向量组 1， 2， s线性表示，所以向量组 1， 2， s与向量组 1， 2， s， 1， 2， s等价，选
9、 D。7.设随机变量 X 服从正态分布 N(1， 2)，其分布函数为 F(x)，则对任意实数 x，有_。AF(x)+F(-x)=1 BF(1+x)+F(1-x)=1 CF(x+1)+F(x-1)=1 DF(1-x)+F(x-1)=1（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 考查随机变量的分布函数解析 由于 XN(1， 2)，所以 。由此可知相应的四个选项是A ；B ；C ；D 。因为 xR 它们都要成立，因此选 B。8.设随机变量 X 和 Y 相互独立，且 X 和 Y 的概率分布分别为：则 pX+Y=2=_。A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 随机变量的概率解
10、析 因为随机变量 X 和 Y 相互独立，所以 pX+Y=2=pX=3，Y=-1+pX=2，Y=0+pX=1，Y=1=pX=3pY=-1+pX=2pY=0+pX=1pY=1=二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x) （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：n!(2 n-1)）解析：考点 函数的高阶导数解析 f(x)=(x-1) -1-(2x-1)-1，f(x)=(-1)(x-1)-2-(-1)21(2x-1)-2，fn(x)=(-1)nn!(x-1)-n-1-(-1)nn!2n(2x-1)-n-1=(-1)nn!(x-1)-n-1-2n(2x-1)-n-1，fn(0)=n
11、!(2n-1)(n1)。10. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 不定积分的求法解析 原式=11. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 二重积分解析 12.设函数 z=z(x，y)是由方程 z=2y+e2x-3z确定，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：考点 隐函数求导解析 将方程改写为 2y+e2x-3z-z=0，令 F(x，y，z)=2y+e 2x-3z-z，于是有 ，于是有13.设 =(1，0，-1) T，矩阵 A= T，n 为正整数，则行列式|aE-A n|_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：a
12、 2(a-2n)）解析：考点 行列式的计算解析 由于 An=( T)( T)( T)=( T)( T) T=2 n-1 T=2n-1 T= ，故 ，所以14.设随机变量 X，Y 不相关，XU(-3，3)，y 的密度为 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 切比雪夫不等式解析 E(X)=0，D(X)=3，E(Y)=0，D(Y)= ，则 E(X-Y)=0，D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2cov(X，Y)= ，P|X-Y|3=P|(X-Y)-E(X-Y)|3三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_正确答案：(故 )解析：考点 求数列的
13、极限16.设函数 f(x)在|x|1 上有定义，在 x=0 的某个邻域内具有二阶连续导数，且 =0，试证：级数（分数：10.00）_正确答案：(利用泰勒公式。首先由 可知： ，而且 。这样，利用函数 f(x)的一阶泰勒公式，就有 (01)。又因为 f(x)在 x=0 的某一邻域内有连续的二阶导数，因此存在正数 M，使|f“(x)|M 在此邻域内成立，并且当 n 充分大时 。注意到级数 收敛，由比较判别法即知 )解析：考点 级数的收敛性17.设 f(x)在(-，+)连续， ，证明： (A，B)， （分数：10.00）_正确答案：(由 及极限的不等式性质，得 ，使得 f(x1)，由 ，得 ，使得
14、f(x2)，因 f(x)在x 1，x 2连续，f(x 1)f(x 2)，由连续函数中间值定理，得 )解析：考点 极限的性质及中值定理18.已知 （分数：10.00）_正确答案：(根据题意，我们分段求出原函数，然后把它们连续地粘合在一起，就构成一个整体的原函数。当 x0 时， ；当 x0 时，取 C1=0，随之必取 C2=1，得到 f(x)的一个原函数F(x) ，因此 )解析：考点 不定积分，连续函数的性质19.设 f(x)连续，且 f(0)=1，令 F(t)= （分数：10.00）_正确答案：(由 ，得 F(t)=2tf(t 2)，F(0)=0，)解析：考点 积分函数求导20.设 n 阶矩阵
15、A=( 1， 2， n)的前 n-1 个列向量线性相关，后 n-1 个列向量线性无关，且 1+ 2+(n-1) n-1=0，b= 1+ 2+ n。()证明方程组 AX=b 有无穷多个解。()求方程组 AX=b 的通解。（分数：11.00）_正确答案：(证明：因为 rA=n-1，又 b= 1+ 2+ n，所以 ，即 rA= )解析：考点 非齐次线性方程组的解21.设 A= （分数：11.00）_正确答案：(由|E-B|=0，得 1=-1， 2=1， 3=2，因为 AB，所以 A 的特征值为 1=-1， 2=1， 3=2。由 a+1= 1+ 2+ 3，得 a=1，再由|A|=b= 1 2 3=-2
16、，得 b=-2，即 。由(-E-A)x=0，得 1=(1，1，0) T；由(E-A)x=O，得 2=(-2，1，1) T；由(2E-A)x=0，得 3=(-2，1，0) T；令 ，则 。由(-E-B)X=0，得 1=(-1，0，1) T；由(E-B)X=0，得 2=(1，0，0) T；由(2E-B)X=0，得 3=(8，3，4) T；令 ，则 。由 P1-1AP1=P2-1BP2，得(P 1P2-1)-1AP1P2-1=B。令 )解析：考点 矩阵的相似对角化22.假设二维连续型随机变量(X，Y)在矩形区域 D=(x，y)|0x2，0y1 上服从均匀分布，令Z=max(X，Y)，求 E(Z)与
17、D(Z)。（分数：11.00）_正确答案：(先求出 Z 的分布函数 FZ(z)，再求出 Z 的概率密度 f(z)，然后计算 E 与 D(Z)。当 z0时，F Z(z)=0；当 z2 时，F Z(z)=1。故只需求出当 0z2 时，F Z(z)的表达式，由于(X，Y)在矩形区域D(该矩形的边平行于坐标轴)上服从均匀分布，所以 X 与 Y 相互独立，且分别服从0，2与0，1上的均匀分布，并且有FZ(z)=PZz=Pmax(X，Y)z=PXz，Yz=PXzPYz=F X(z)Fy(z)；当 0z1 时， ；当 1z2 时， 。综上计算，有)解析：考点 期望和方差23.设总体 ZU( 1， 2)， 2 1，X 1，X 2，X n是来自总体 X 的样本，求 1， 2的矩估计和最大似然估计。（分数：11.00）_正确答案：(令又。而 ，因为 lnL( 1， 2)是 1的单调增函数，是 2的单调减函数，所以 ， )解析：考点 参数估计
