1、考研数学三-170 及答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设 f(x+1)=af(x)总成立,f(0)=b,a,b 为非零常数,则 f(x)在 x=1 处_。A不可导 B可导且 f(1)=aC可导且 f(1)=b D可导且 f(1)=ab(分数:4.00)A.B.C.D.2.下列命题正确的是_。A若|f(x)|在 x=a 处连续,则 f(x)在 x=a 处连续B若 f(x)在 x=a 处连续,则|f(x)|在 x=a 处连续C若 f(x)在 x=a 处连续,则 f(x)在 x=a 处的一个邻域内连续D若 (分数:4.00)A.B.C
2、.D.3.设 f(x)在(-,+)内连续且严格单调增,f(0)=0。常数 n 为正奇数,并设 F(x)= (分数:4.00)A.B.C.D.4.设 1(x), 2(x)为一阶非齐次线性微分方程 y+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解,则该方程的通解为_。AC 1(x)+ 2(x) BC 1(x)- 2(x)+ 2(x)CC 1(x)- 2(x)+ 2(x) D 1(x)- 2(x)+C 2(x)(分数:4.00)A.B.C.D.5.设 A 为 n(n2)阶可逆方阵,交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B,A *,B *分别是 A,B 的伴随矩阵,则_。A交换 A*的第 1 列与第
3、2 列得 B*B交换 A*的第 1 行与第 2 行得 B*C交换 A*的第 1 列与第 2 列得-B *D交换 A*的第 1 行与第 2 行得-B *(分数:4.00)A.B.C.D.6.设 A 是 mn 阶矩阵,则下列命题正确的是_。A若 mn,则方程组 Ax=b 一定有无穷多个解B若 mn,则方程组 Ax=b 一定有唯一解C若 rA=n,则方程组 Ax=b 一定有唯一解D若 rA=m,则方程组 Ax=b 一定有解(分数:4.00)A.B.C.D.7.设 X1,X 2,X n,相互独立,则 X1,X 2,X n,满足辛钦大数定律的条件是_。AX 1,X 2,X n,同分布且有相同的数学期望与
4、方差BX 1,X 2,X n,同分布且有相同的数学期望CX 1,X 2,X n,为同分布的离散型随机变量DX 1,X 2,X n,为同分布的连续型随机变量(分数:4.00)A.B.C.D.8.总体 XN(,5 2),则总体参数 的置信度为 1- 的置信区间的长度_。A与 无关 B随 的增加而增加C随 的增大而减少 D与 有关但与 的增减性无关(分数:4.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.设 y=(1+sinx)x,则 (分数:4.00)填空项 1:_10.级数 (分数:4.00)填空项 1:_11.积分 (分数:4.00)填空项 1:_12.设连续函数 f(x
5、)满足 f(x)= (分数:4.00)填空项 1:_13.设 A= (分数:4.00)填空项 1:_14.设随机变量 X 的分布函数为 F(x)= (分数:4.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.求 (分数:10.00)_16.设 f(x)在(a,b)内连续,ax 1x 2x nb, (分数:10.00)_17.设 z=u2v3,v=e 2xsiny,v=x 2+y3,求 (分数:10.00)_18.求函数 f(x,y)=x 2+4y2+9 在 D=(x,y)|x 2+y24 上的最大值与最小值。(分数:10.00)_19.设 f(x)为连续函数,计算 (分数:
6、10.00)_20.证明线性方程组()有解的充分必要条件是方程组()与 (分数:11.00)_21.设二次型 经过正交变换 X=Qy 化为标准形 (分数:11.00)_22.设连续随机变量 X 的分布函数为 其中 a0,(x),(x)分别是标准正态分布的分布函数与概率密度,令 (分数:11.00)_23.电话公司有 300 台分机,每台分机有 6%的时间处于与外线通话状态,设每台分机是否处于通话状态相互独立,用中心极限定理估计至少安装多少条外线,才能保证每台分机使用外线不必等候的概率不低于0.95?(分数:11.00)_考研数学三-170 答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一
7、、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设 f(x+1)=af(x)总成立,f(0)=b,a,b 为非零常数,则 f(x)在 x=1 处_。A不可导 B可导且 f(1)=aC可导且 f(1)=b D可导且 f(1)=ab(分数:4.00)A.B.C.D. 解析:考点 复合函数的导数解析 由题设,令 t=x+1,则 f(t)=aft-1),由复合函数可导性及求导法则知,f(t)在 t=1 处可导且 f(t)|t=1=af(t-1)(t-1)|t=1=af(0)=ab,因此,应选 D。2.下列命题正确的是_。A若|f(x)|在 x=a 处连续,则 f(x)在 x=a 处连续B若 f(x)在 x
8、=a 处连续,则|f(x)|在 x=a 处连续C若 f(x)在 x=a 处连续,则 f(x)在 x=a 处的一个邻域内连续D若 (分数:4.00)A.B. C.D.解析:考点 函数的连续性解析 令 ,|f(x)|1 处处连续,然而 f(x)处处间断,A 不对;令 ,f(x)在 x=0 处连续,但在任意 x=a0 处函数 f(x)都是间断的,故 C 不对;令 , ,但 f(x)在 x=0 处不连续,D 不对;若 f(x)在 x=a 处连续,则 ,又 0|f(x)|-|f(a)|f(x)-f(a)|,根据夹逼定理3.设 f(x)在(-,+)内连续且严格单调增,f(0)=0。常数 n 为正奇数,并设
9、 F(x)= (分数:4.00)A.B.C. D.解析:考点 函数的单调性解析 用积分中值定理,将有积分号的化为无积分号的:4.设 1(x), 2(x)为一阶非齐次线性微分方程 y+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解,则该方程的通解为_。AC 1(x)+ 2(x) BC 1(x)- 2(x)+ 2(x)CC 1(x)- 2(x)+ 2(x) D 1(x)- 2(x)+C 2(x)(分数:4.00)A.B.C. D.解析:考点 一阶非齐次线性微分方程的解解析 因为 1(x), 2(x)为方程 y+P(x)y=Q(x)的两个线性无关解,所以 1(x)- 2(x)为方程y+P(x)y=0 的一
10、个解,于是方程 y+P(x)y=Q(x)的通解为 C 1(x)- 2(x)+ 2(x),选 C。5.设 A 为 n(n2)阶可逆方阵,交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B,A *,B *分别是 A,B 的伴随矩阵,则_。A交换 A*的第 1 列与第 2 列得 B*B交换 A*的第 1 行与第 2 行得 B*C交换 A*的第 1 列与第 2 列得-B *D交换 A*的第 1 行与第 2 行得-B *(分数:4.00)A.B.C. D.解析:考点 矩阵的初等变换解析 由题设,记交换 n 阶单位矩阵 E 的第 1 行与第 2 行所得初等方阵为 P,则有PA=B |B|=-|A|,P -1=P
11、由 A 可逆知 B 可逆,故有 B*=|B|B-1=-|A|(PA)-1=-(|A|A-1)P-1=-A*P 或 A*P=-B*,再由初等方阵与初等列变换的关系,即知交换 A*的 1、2 两列得-B *,即只有选项 C 正确。6.设 A 是 mn 阶矩阵,则下列命题正确的是_。A若 mn,则方程组 Ax=b 一定有无穷多个解B若 mn,则方程组 Ax=b 一定有唯一解C若 rA=n,则方程组 Ax=b 一定有唯一解D若 rA=m,则方程组 Ax=b 一定有解(分数:4.00)A.B.C.D. 解析:考点 非齐次线性方程组的解的判定解析 因为若 rA=m(即 A 为行满秩矩阵),则 ,于是7.设
12、 X1,X 2,X n,相互独立,则 X1,X 2,X n,满足辛钦大数定律的条件是_。AX 1,X 2,X n,同分布且有相同的数学期望与方差BX 1,X 2,X n,同分布且有相同的数学期望CX 1,X 2,X n,为同分布的离散型随机变量DX 1,X 2,X n,为同分布的连续型随机变量(分数:4.00)A.B. C.D.解析:考点 辛钦大数定律解析 根据辛钦大数定律的条件,应选 B。8.总体 XN(,5 2),则总体参数 的置信度为 1- 的置信区间的长度_。A与 无关 B随 的增加而增加C随 的增大而减少 D与 有关但与 的增减性无关(分数:4.00)A.B.C. D.解析:考点 置
13、信区间解析 总体方差已知,参数 的置信度为 1- 的置信区间为 ,其中 n 为样本容量,长度为 ,因为 越小,则二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.设 y=(1+sinx)x,则 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:-dx)解析:考点 求函数的微分解析 由 y=(1+sinx)x=exln(1+sinx),于是 y=exln(1+sinx)10.级数 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:xln(1-x 2)+x3-x3ln(1-x2) (-1x1)。)解析:考点 幂级数的和函数解析 ,而 ,所以和函数为11.积分 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案: )
14、解析:考点 二重积分解析 积分域 D 如下图中阴影部分所示,换积分次序得12.设连续函数 f(x)满足 f(x)= (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:f(x)=2e 2x-ex)解析:考点 积分方程解析 ,则 可化为 ,两边求导数得 f(x)-2f(x)=ex,解得13.设 A= (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:0)解析:考点 矩阵的幂运算解析 因为14.设随机变量 X 的分布函数为 F(x)= (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:0.7)解析:考点 期望解析 f(x)=F(x)=0.3(x)+ ,其中 (x)为标准正态密度函数。三、解答题(总题数:9,分数
15、:94.00)15.求 (分数:10.00)_正确答案:(原式= )解析:考点 反常积分16.设 f(x)在(a,b)内连续,ax 1x 2x nb, (分数:10.00)_正确答案:(由 ,有 。设 f(x)在区间x 1,x n上的最小值与最大值分别为 m 与 M,而 为f(x)在点 x1,x 2,x n处的平均值,从而有,即 m1M。存在 (x 1,x n) )解析:考点 中值定理的应用17.设 z=u2v3,v=e 2xsiny,v=x 2+y3,求 (分数:10.00)_正确答案:(dz=d(u 2v3)=2uv3du+3u2v2dv=2uv3d(e2xsiny)+3u2v2d(x2+
16、y3)=2uv3(2e2xsinydx+e2xcosydy)+3u2v2(2xdx+3y2dy)=(4uv3e2xsiny+6u2v2x)dx+(2uv3e2xcosy+9u2v2y2)dy。故 。)解析:考点 复合函数的偏导数及微分18.求函数 f(x,y)=x 2+4y2+9 在 D=(x,y)|x 2+y24 上的最大值与最小值。(分数:10.00)_正确答案:(由题设,讨论 f(x,y)=x 2+4y2+9 在约束条件 x2+y2=4 下的条件极值。由拉格朗日乘数法,令 F(x,y,)=x 2+4y2+9+(x 2+y2-4),有 )解析:考点 多元函数的极值19.设 f(x)为连续函
17、数,计算 (分数:10.00)_正确答案:(设 f(x)的一个原函数为 F(x),则= = = = = = )解析:考点 二重积分20.证明线性方程组()有解的充分必要条件是方程组()与 (分数:11.00)_正确答案:(令 A= ,b= ,X= ,Y= ,方程组()可写为 AX=b,方程组()、()可分别写为 。若方程组()有解,则 ,从而 ,又因为()的解一定为()的解,所以()与()同解;反之,若()与()同解,则 ,从而 )解析:考点 向量的线性无关性21.设二次型 经过正交变换 X=Qy 化为标准形 (分数:11.00)_正确答案:(二次型 的矩阵形式为 f=XTAX,其中 A= ,
18、X= ,因为 QTAQ=B= ,所以 AB(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵),于是 A 的特征值为 1,1,4。而|E-A|=3-(a+4)2+(4a-b2+2)+(-3a-2b+2b2+2),所以有 3-(a+4) 2+(4a-b2+2)+(-3a-2b+2b 2+2)=(-1) 2(-4)。解得 a=2,b=1,当 1= 2=1 时,由(E-A)X=0,得 ,由 3=4 时,由(4E-A)X=0 得 ,显然 1, 2, 3两两正交,单位化为)解析:考点 二次型及其标准型22.设连续随机变量 X 的分布函数为 其中 a0,(x),(x)分别是标准正态分布的分布函数与概率密度,令 (分数:
19、11.00)_正确答案:(当 y0 时,F Y(y)=0。当 y0 时, 。所求 Y 的分布函数为将 FY(y)对 y 求导数,得到 y 的概率密度 )解析:考点 随机变量函数的概率密度23.电话公司有 300 台分机,每台分机有 6%的时间处于与外线通话状态,设每台分机是否处于通话状态相互独立,用中心极限定理估计至少安装多少条外线,才能保证每台分机使用外线不必等候的概率不低于0.95?(分数:11.00)_正确答案:(令 ,则令 X 表示需要使用外线的分机数,则 ,E(X)=3000.06=18,D(X)=3000.0564=16.92,设至少需要安装 n 条外线,由题意及中心极限定理得解得 )解析:考点 假设检验