1、考研数学三-170 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x+1)=af(x)总成立，f(0)=b，a，b 为非零常数，则 f(x)在 x=1 处_。A不可导 B可导且 f(1)=aC可导且 f(1)=b D可导且 f(1)=ab（分数：4.00）A.B.C.D.2.下列命题正确的是_。A若|f(x)|在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 处连续B若 f(x)在 x=a 处连续，则|f(x)|在 x=a 处连续C若 f(x)在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 处的一个邻域内连续D若 （分数：4.00）A.B.C
2、.D.3.设 f(x)在(-，+)内连续且严格单调增，f(0)=0。常数 n 为正奇数，并设 F(x)= （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 1(x)， 2(x)为一阶非齐次线性微分方程 y+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为_。AC 1(x)+ 2(x) BC 1(x)- 2(x)+ 2(x)CC 1(x)- 2(x)+ 2(x) D 1(x)- 2(x)+C 2(x)（分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A 为 n(n2)阶可逆方阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B，A *，B *分别是 A，B 的伴随矩阵，则_。A交换 A*的第 1 列与第
3、2 列得 B*B交换 A*的第 1 行与第 2 行得 B*C交换 A*的第 1 列与第 2 列得-B *D交换 A*的第 1 行与第 2 行得-B *（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 A 是 mn 阶矩阵，则下列命题正确的是_。A若 mn，则方程组 Ax=b 一定有无穷多个解B若 mn，则方程组 Ax=b 一定有唯一解C若 rA=n，则方程组 Ax=b 一定有唯一解D若 rA=m，则方程组 Ax=b 一定有解（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 X1，X 2，X n，相互独立，则 X1，X 2，X n，满足辛钦大数定律的条件是_。AX 1，X 2，X n，同分布且有相同的数学期望与
4、方差BX 1，X 2，X n，同分布且有相同的数学期望CX 1，X 2，X n，为同分布的离散型随机变量DX 1，X 2，X n，为同分布的连续型随机变量（分数：4.00）A.B.C.D.8.总体 XN(，5 2)，则总体参数 的置信度为 1- 的置信区间的长度_。A与 无关 B随 的增加而增加C随 的增大而减少 D与 有关但与 的增减性无关（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 y=(1+sinx)x，则 （分数：4.00）填空项 1:_10.级数 （分数：4.00）填空项 1:_11.积分 （分数：4.00）填空项 1:_12.设连续函数 f(x
5、)满足 f(x)= （分数：4.00）填空项 1:_13.设 A= （分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 X 的分布函数为 F(x)= （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求 （分数：10.00）_16.设 f(x)在(a，b)内连续，ax 1x 2x nb， （分数：10.00）_17.设 z=u2v3，v=e 2xsiny，v=x 2+y3，求 （分数：10.00）_18.求函数 f(x，y)=x 2+4y2+9 在 D=(x，y)|x 2+y24 上的最大值与最小值。（分数：10.00）_19.设 f(x)为连续函数，计算 （分数：
6、10.00）_20.证明线性方程组()有解的充分必要条件是方程组()与 （分数：11.00）_21.设二次型 经过正交变换 X=Qy 化为标准形 （分数：11.00）_22.设连续随机变量 X 的分布函数为 其中 a0，(x)，(x)分别是标准正态分布的分布函数与概率密度，令 （分数：11.00）_23.电话公司有 300 台分机，每台分机有 6%的时间处于与外线通话状态，设每台分机是否处于通话状态相互独立，用中心极限定理估计至少安装多少条外线，才能保证每台分机使用外线不必等候的概率不低于0.95?（分数：11.00）_考研数学三-170 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一
7、、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x+1)=af(x)总成立，f(0)=b，a，b 为非零常数，则 f(x)在 x=1 处_。A不可导 B可导且 f(1)=aC可导且 f(1)=b D可导且 f(1)=ab（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 复合函数的导数解析 由题设，令 t=x+1，则 f(t)=aft-1)，由复合函数可导性及求导法则知，f(t)在 t=1 处可导且 f(t)|t=1=af(t-1)(t-1)|t=1=af(0)=ab，因此，应选 D。2.下列命题正确的是_。A若|f(x)|在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 处连续B若 f(x)在 x
8、=a 处连续，则|f(x)|在 x=a 处连续C若 f(x)在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 处的一个邻域内连续D若 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 函数的连续性解析 令 ，|f(x)|1 处处连续，然而 f(x)处处间断，A 不对；令 ，f(x)在 x=0 处连续，但在任意 x=a0 处函数 f(x)都是间断的，故 C 不对；令 ， ，但 f(x)在 x=0 处不连续，D 不对；若 f(x)在 x=a 处连续，则 ，又 0|f(x)|-|f(a)|f(x)-f(a)|，根据夹逼定理3.设 f(x)在(-，+)内连续且严格单调增，f(0)=0。常数 n 为正奇数，并设
9、 F(x)= （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 函数的单调性解析 用积分中值定理，将有积分号的化为无积分号的：4.设 1(x)， 2(x)为一阶非齐次线性微分方程 y+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为_。AC 1(x)+ 2(x) BC 1(x)- 2(x)+ 2(x)CC 1(x)- 2(x)+ 2(x) D 1(x)- 2(x)+C 2(x)（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 一阶非齐次线性微分方程的解解析 因为 1(x)， 2(x)为方程 y+P(x)y=Q(x)的两个线性无关解，所以 1(x)- 2(x)为方程y+P(x)y=0 的一
10、个解，于是方程 y+P(x)y=Q(x)的通解为 C 1(x)- 2(x)+ 2(x)，选 C。5.设 A 为 n(n2)阶可逆方阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B，A *，B *分别是 A，B 的伴随矩阵，则_。A交换 A*的第 1 列与第 2 列得 B*B交换 A*的第 1 行与第 2 行得 B*C交换 A*的第 1 列与第 2 列得-B *D交换 A*的第 1 行与第 2 行得-B *（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 矩阵的初等变换解析 由题设，记交换 n 阶单位矩阵 E 的第 1 行与第 2 行所得初等方阵为 P，则有PA=B |B|=-|A|，P -1=P
11、由 A 可逆知 B 可逆，故有 B*=|B|B-1=-|A|(PA)-1=-(|A|A-1)P-1=-A*P 或 A*P=-B*，再由初等方阵与初等列变换的关系，即知交换 A*的 1、2 两列得-B *，即只有选项 C 正确。6.设 A 是 mn 阶矩阵，则下列命题正确的是_。A若 mn，则方程组 Ax=b 一定有无穷多个解B若 mn，则方程组 Ax=b 一定有唯一解C若 rA=n，则方程组 Ax=b 一定有唯一解D若 rA=m，则方程组 Ax=b 一定有解（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 非齐次线性方程组的解的判定解析 因为若 rA=m(即 A 为行满秩矩阵)，则 ，于是7.设
12、 X1，X 2，X n，相互独立，则 X1，X 2，X n，满足辛钦大数定律的条件是_。AX 1，X 2，X n，同分布且有相同的数学期望与方差BX 1，X 2，X n，同分布且有相同的数学期望CX 1，X 2，X n，为同分布的离散型随机变量DX 1，X 2，X n，为同分布的连续型随机变量（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 辛钦大数定律解析 根据辛钦大数定律的条件，应选 B。8.总体 XN(，5 2)，则总体参数 的置信度为 1- 的置信区间的长度_。A与 无关 B随 的增加而增加C随 的增大而减少 D与 有关但与 的增减性无关（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 置
13、信区间解析 总体方差已知，参数 的置信度为 1- 的置信区间为 ，其中 n 为样本容量，长度为 ，因为 越小，则二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 y=(1+sinx)x，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-dx）解析：考点 求函数的微分解析 由 y=(1+sinx)x=exln(1+sinx)，于是 y=exln(1+sinx)10.级数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：xln(1-x 2)+x3-x3ln(1-x2) (-1x1)。）解析：考点 幂级数的和函数解析 ，而 ，所以和函数为11.积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）
14、解析：考点 二重积分解析 积分域 D 如下图中阴影部分所示，换积分次序得12.设连续函数 f(x)满足 f(x)= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：f(x)=2e 2x-ex）解析：考点 积分方程解析 ，则 可化为 ，两边求导数得 f(x)-2f(x)=ex，解得13.设 A= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：考点 矩阵的幂运算解析 因为14.设随机变量 X 的分布函数为 F(x)= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0.7）解析：考点 期望解析 f(x)=F(x)=0.3(x)+ ，其中 (x)为标准正态密度函数。三、解答题(总题数：9，分数
15、：94.00)15.求 （分数：10.00）_正确答案：(原式= )解析：考点 反常积分16.设 f(x)在(a，b)内连续，ax 1x 2x nb， （分数：10.00）_正确答案：(由 ，有 。设 f(x)在区间x 1，x n上的最小值与最大值分别为 m 与 M，而 为f(x)在点 x1，x 2，x n处的平均值，从而有，即 m1M。存在 (x 1，x n) )解析：考点 中值定理的应用17.设 z=u2v3，v=e 2xsiny，v=x 2+y3，求 （分数：10.00）_正确答案：(dz=d(u 2v3)=2uv3du+3u2v2dv=2uv3d(e2xsiny)+3u2v2d(x2+
16、y3)=2uv3(2e2xsinydx+e2xcosydy)+3u2v2(2xdx+3y2dy)=(4uv3e2xsiny+6u2v2x)dx+(2uv3e2xcosy+9u2v2y2)dy。故 。)解析：考点 复合函数的偏导数及微分18.求函数 f(x，y)=x 2+4y2+9 在 D=(x，y)|x 2+y24 上的最大值与最小值。（分数：10.00）_正确答案：(由题设，讨论 f(x，y)=x 2+4y2+9 在约束条件 x2+y2=4 下的条件极值。由拉格朗日乘数法，令 F(x，y，)=x 2+4y2+9+(x 2+y2-4)，有 )解析：考点 多元函数的极值19.设 f(x)为连续函
17、数，计算 （分数：10.00）_正确答案：(设 f(x)的一个原函数为 F(x)，则= = = = = = )解析：考点 二重积分20.证明线性方程组()有解的充分必要条件是方程组()与 （分数：11.00）_正确答案：(令 A= ，b= ，X= ，Y= ，方程组()可写为 AX=b，方程组()、()可分别写为 。若方程组()有解，则 ，从而 ，又因为()的解一定为()的解，所以()与()同解；反之，若()与()同解，则 ，从而 )解析：考点 向量的线性无关性21.设二次型 经过正交变换 X=Qy 化为标准形 （分数：11.00）_正确答案：(二次型 的矩阵形式为 f=XTAX，其中 A= ，
18、X= ，因为 QTAQ=B= ，所以 AB(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵)，于是 A 的特征值为 1，1，4。而|E-A|=3-(a+4)2+(4a-b2+2)+(-3a-2b+2b2+2)，所以有 3-(a+4) 2+(4a-b2+2)+(-3a-2b+2b 2+2)=(-1) 2(-4)。解得 a=2，b=1，当 1= 2=1 时，由(E-A)X=0，得 ，由 3=4 时，由(4E-A)X=0 得 ，显然 1， 2， 3两两正交，单位化为)解析：考点 二次型及其标准型22.设连续随机变量 X 的分布函数为 其中 a0，(x)，(x)分别是标准正态分布的分布函数与概率密度，令 （分数：
19、11.00）_正确答案：(当 y0 时，F Y(y)=0。当 y0 时， 。所求 Y 的分布函数为将 FY(y)对 y 求导数，得到 y 的概率密度 )解析：考点 随机变量函数的概率密度23.电话公司有 300 台分机，每台分机有 6%的时间处于与外线通话状态，设每台分机是否处于通话状态相互独立，用中心极限定理估计至少安装多少条外线，才能保证每台分机使用外线不必等候的概率不低于0.95?（分数：11.00）_正确答案：(令 ，则令 X 表示需要使用外线的分机数，则 ，E(X)=3000.06=18，D(X)=3000.0564=16.92，设至少需要安装 n 条外线，由题意及中心极限定理得解得 )解析：考点 假设检验
