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    【考研类试卷】考研数学三-16及答案解析.doc

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    【考研类试卷】考研数学三-16及答案解析.doc

    1、考研数学三-16 及答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数:50,分数:100.00)1.设x n与y n均无界,z n有界,则以下命题正确的是 A.xn+yn无界 B.xxyn无界 C.xn+zn无界 D.xnzn无界(分数:2.00)A.B.C.D.2.设 f(x),g(x)与 h(x)均为定义在(-,+)上的非零函数,且 g(x)为奇函数,h(x)为偶函数,则 A.f(g(x)必为奇函数 B.g(f(x)必为奇函数 C.f(h(x)必为偶函数 D.h(f(x)必为偶函数(分数:2.00)A.B.C.D.3.设 f(x)与 g(x)分别为定义在(-

    2、,+)上的严格增函数与严格减函数,则 A.f(g(x)为严格减函数 B.f(g(x)为严格增函数 C.f(x)g(x)为严格减函数 D.f(x)g(x)为严格增函数(分数:2.00)A.B.C.D.4.下述命题正确的是 A设 f(x)在(-,+)上连续,则 f(x)在(-,+)上有界 B设 不存在,则存在 ,当 时 f(x)无界 C设存在 ,当 时 f(x)无界,则必有 D设 ,则必存在 ,当 时 f(x)无界 注 这里 (分数:2.00)A.B.C.D.5.下述命题设 f(x)在任意的闭区间a,b上连续,则 f(x)在(-,+)上连续设 f(x)在任意的闭区间a,b上有界,则 f(x)在(-

    3、,+)上有界设 f(x)在(-,+)上为正值的连续函数,则 在(-,+)上也是正值的连续函数设 f(x)在(-,+)上为正值的有界函数,则 (分数:2.00)A.B.C.D.6.下述命题正确的是A设 存在,则必存在 0,当 时,f(x)必存在B设 f(x)在 x=x0处连续,则必存在 0,当 时,f(x)亦连续C设 x=x0为 f(x)的间断点,则 必不存在D设 f(x0)不存在,则 (分数:2.00)A.B.C.D.7.设 xx 0时 f(x)不是无穷大,则下述结论正确的是 A.设 xx 0时 g(x)是无穷小,则 f(x)g(x)必是无穷小 B.设 xx 0时 g(x)不是无穷小,则 f(

    4、x)g(x)必不是无穷小 C.设在 x=x0去心邻域 g(x)无界,则 xx 0时 f(x)g(x)必是无穷大 D.设在 x=x0去心邻域 g(x)有界,则 xx 0时 f(x)g(x)必不是无穷大(分数:2.00)A.B.C.D.8.设 则正确的是 A B C D (分数:2.00)A.B.C.D.9.下述命题设 ,则 设 ,则 设 ,则 设 ,则 (分数:2.00)A.B.C.D.10.下列运算(分数:2.00)A.B.C.D.11.下列运算过程没有错误的是 A B C D (分数:2.00)A.B.C.D.12.已知 下列计算中,运算过程没有错误的是 A B C D (分数:2.00)A

    5、.B.C.D.13.设 (分数:2.00)A.B.C.D.14.下列极限正确的是 A B C D (分数:2.00)A.B.C.D.15.考察下列运算:由于分子与分母一直反复,所以该极限不存在由于 ,另一方面, 为“ 型”,由洛必达法则, ,所以 (分数:2.00)A.B.C.D.16.设 u(x),v(x),w(x)为定义在 x=0的某去心邻域内的函数,且 ,下述结论:x0 时(1+u(x) v(x)-1v(x)u(x) (分数:2.00)A.B.C.D.17.当 x0 时,下述一些无穷小与 x3为同阶无穷小的是Aa(x)=x 3+x2 B C (分数:2.00)A.B.C.D.18.设 ,

    6、则 A B C D (分数:2.00)A.B.C.D.19.下述极限不正确的是 A B C D (分数:2.00)A.B.C.D.20.设 lnxnlnz nlny n(n=1,2,),且 ,则 (分数:2.00)A.B.C.D.21.设 lnxnlnalny n(n=1,2,),且 其中 a是常数,则 与 (分数:2.00)A.B.C.D.22.设 zn=xnyn(n=1,2,),且 则下述命题正确的是A必有 或 B若 ,则x n必为有界数列C若 ,则必有 (分数:2.00)A.B.C.D.23.设a n收敛,b n发散则 A.anbn必收敛 B.anbn必发散 C.an+bn必收敛 D.a

    7、n+bn必发散(分数:2.00)A.B.C.D.24.设 un0(n=1,2,)并设数列u n无上界,则A数列 必有上界B必有 (分数:2.00)A.B.C.D.25.设函数 f(x)在区间(-,+)内连续,x n为一个数列下列命题正确的为 A.若(x n收敛,则f(x n)亦收敛 B.若x n单调,则f(x n)收敛 C.若f(x n)收敛,则x n收敛 D.若f(x n)单调,则x n收敛(分数:2.00)A.B.C.D.26.设 (分数:2.00)A.B.C.D.27.下列等式正确的是 (A) (B) (C) (D) (分数:2.00)A.B.C.D.28.将 x0 +时的三个无穷小量

    8、(分数:2.00)A.B.C.D.29.当 x0 时,与 为同阶无穷小的是 A B Cx D (分数:2.00)A.B.C.D.30.设 x0 +时,f(x)x m(m0), (分数:2.00)A.B.C.D.31.下列函数在区间-1,1上连续的是 A B C D (分数:2.00)A.B.C.D.32.函数 (分数:2.00)A.B.C.D.33.函数 (分数:2.00)A.B.C.D.34.设 在 x=0处连续,则常数 a= A1 B (分数:2.00)A.B.C.D.35.设常数 ai0(i=1,2,3),b 1,b 2,b 3互不相等则方程(分数:2.00)A.B.C.D.36.设 f

    9、(x)与 g(x)在(-,+)上都有定义,且 x=x1是 f(x)的唯一间断点,x=x 2是 g(x)的唯一间断点则 A.当 x1=x2时,f(x)+g(x)必有唯一的间断点 x=x1 B.当 x1x 2时,f(x)+g(x)必有两个间断点 x=x1与 x=x2 C.当 x1=x2时,f(x)g(x)必有唯一的间断点 x=x1 D.当 x1x 2时,f(x)g(x)必有两个间断点 x=x1与 x=x2(分数:2.00)A.B.C.D.37.设 在(-,+)内连续,且 (分数:2.00)A.B.C.D.38.设 (分数:2.00)A.B.C.D.39.函数 (分数:2.00)A.B.C.D.40

    10、.设 f(x)与 g(x)在所讨论的点的某邻域均有定义,下列命题正确的是A设 g(x)在 x=x0处连续,u 0=g(x0),f(u)在 x=x0处不连续,则 f(g(x)在 x=x0必不连续B设 g(x)在 x=x0处不连续,f(x)在 x=x0处连续,则 f(x)g(x)在 x=x0处必不连续C设 g(x)在 x=x0处不连续,f(x)在 x=x0处连续,则 f(x)+g(x)在 x=xo0处必不连续D设 g(x)与 f(x)在 x=x0处连续,则 (分数:2.00)A.B.C.D.41.下列命题正确的是A设 与 均存在,则 f(x)在 x=x0处必连续B设 f-(x0)与 f+(x0)均

    11、存在,则 f(x)在 x=x0处必连续C设 与 均存在,则 f(x)在 x=x0处必连续D设 与 (分数:2.00)A.B.C.D.42.设 ,(xy,且 xy0), (分数:2.00)A.B.C.D.43.设 F(x)可导,则下述命题不正确的是 A.若 F(x)为奇函数,则 F(x)必为偶函数 B.若 F(x)为偶函数,则 F(x)必为奇函数 C.若 F(x)为周期函数,则 F(x)必为周期函数 D.若 F(x)不是周期函数,则 F(x)必不是周期函数(分数:2.00)A.B.C.D.44.设 (分数:2.00)A.B.C.D.45.设 g(x)在 x=0的某邻域内二阶导数连续,且 g(0)

    12、=1,g(0)=2,g“(0)=1,且设(分数:2.00)A.B.C.D.46.设 f(0)=0且 (分数:2.00)A.B.C.D.47.设 f(x)在 x=0的某邻域内有定义,并且 (分数:2.00)A.B.C.D.48.设 f(x),g(x),h(x)在 x=x0的邻域均有定义,且 f(x)与 g(x)在 x=x0处不可导,h(x)在 x=x0处可导,则下述论断正确的是 A.f(x)+g(x)在 x=x0处必不可导 B.f(x)+h(x)在 x=x0处必不可导 C.f(x)g(x)在 x=x0处必不可导 D.f(x)h(x)在 x=x0处必不可导(分数:2.00)A.B.C.D.49.设

    13、 f(x)在 x=x0处可导,则A必存在 0,在 xU (x0)内 f(x)连续B在 x=x0处 f(x)必连续,但不能保证存在 0,在 内 f(x)也连续C若 f(x0)0,则存在 0,在 xU (x0)内 f(x)严格单调增D若 f(x0)0,则存在 0,在 (分数:2.00)A.B.C.D.50.设 f(x)在 x=0处可导,且 f(0)=0,f(0)0则下述极限存在且为零的是 A B C D (分数:2.00)A.B.C.D.考研数学三-16 答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数:50,分数:100.00)1.设x n与y n均无界,z n有

    14、界,则以下命题正确的是 A.xn+yn无界 B.xxyn无界 C.xn+zn无界 D.xnzn无界(分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析 用反证法,设x n+zn有界,则存在 M0 与 M10,对一切 n,|x n+xn|M,且|z n|M 1由不等式|xn|=|xn+zn-zn|x n+zn|+|zn|M+M 1,从而x n有界,与题设矛盾其它(A)、(B)、(D)均可举出反例评注 有界数列与有界数列之和或差、或积,均为有界,但其商未必有界;有界数列与无界数列之和或差必无界;有界数列与无界数列之积或商未必有界,也未必无界,无界数列与无界数列之和、差、积或商均未必无界也未必有界,应具体

    15、分析2.设 f(x),g(x)与 h(x)均为定义在(-,+)上的非零函数,且 g(x)为奇函数,h(x)为偶函数,则 A.f(g(x)必为奇函数 B.g(f(x)必为奇函数 C.f(h(x)必为偶函数 D.h(f(x)必为偶函数(分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析 讨论函数的奇、偶性,一般按定义讨论之记 F(x)=f(h(x),于是 F(-x)=f(h(-x)=f(h(x)=F(x), 故 F(x)=f(h(x)为偶函数 评注 (1)由于不知道 f(x)具有什么性质,例如对于(A),f(g(-x)=f(-g(x),不知道它与 f(g(x)有什么关系所以不选(A)同理不选(B)与(D

    16、) (2)一般,设f(x)与 g(x)为定义在(-,+)上的偶函数,h(x)与 k(x)为定义在(-,+)上的奇函数,则有结论: f(g(x),f(h(x),h(f(x)均为偶函数,h(k(x)为奇函数 f(x)g(x),h(x)k(x)均为偶函数,f(x)h(x)为奇函数3.设 f(x)与 g(x)分别为定义在(-,+)上的严格增函数与严格减函数,则 A.f(g(x)为严格减函数 B.f(g(x)为严格增函数 C.f(x)g(x)为严格减函数 D.f(x)g(x)为严格增函数(分数:2.00)A. B.C.D.解析:解析 可导函数讨论单调性用导数的符号讨论之,未设可导的函数讨论单调性用定义讨

    17、论之记 F(x)=f(g(x),设 x1x 2,则有 g(x1)g(x 2),于是F(x1)=f(g(x1)f(g(x 2)=F(x2),故 F(x)为严格单调减函数评注 一般,设 f(x)与 g(x)为定义在(-,+)上的严格增函数,h(x)与 k(x)为定义在(-,+)上的严格减函数,则有结论:f(g(x)与 h(k(x)为严格增函数,f(h(x)与 h(f(x)为严格减函数至于 f(x)g(x),f(x)h(x),h(x)k(x)是否具有某种单调性,就不一定了例如 f(x)=x3与 g(x)=x都是严格单调增函数,而 f(x)g(x)=x4不是单调函数4.下述命题正确的是 A设 f(x)

    18、在(-,+)上连续,则 f(x)在(-,+)上有界 B设 不存在,则存在 ,当 时 f(x)无界 C设存在 ,当 时 f(x)无界,则必有 D设 ,则必存在 ,当 时 f(x)无界 注 这里 (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析 设*,由定义,对于任给 M0,存在 0,当 0|x-x 0| 时,|f(x)|M满足在x0的去心邻域*内 f(x)无界的要求,故 f(x)在*内无界评注 (1)有的考生弄不清*与*内 f(x)无界的差异正确的结论是,由前者可推出后者,而由后者推不出前者所以(C)不正确(2)在闭区间上的连续函数必有界,而在开区间上的连续函数以及无穷区间上的连续函数,可能有界,

    19、也可能无界例如*在区间(0,1)上无界,但在区间(*,1)上有界又如 f(x)=sinx在(-,+)上有界,但 f(x)=x在(-,+)上无界所以(A)不正确(3)*不存在,可以包含多种含义,如果是*与*都存在但不相等的那种*不存在,那么还是存在*,当*时 f(x)有界所以(B)也不正确关于有界的充分条件与无界的充分条件,一般的教科书上都有,但分散在各章节,查找不方便,同学们可以将有关定理汇总利用导函数讨论函数的有界性问题,后面还要介绍数学(一)、(二)、(三)都考过讨论有界性的题5.下述命题设 f(x)在任意的闭区间a,b上连续,则 f(x)在(-,+)上连续设 f(x)在任意的闭区间a,b

    20、上有界,则 f(x)在(-,+)上有界设 f(x)在(-,+)上为正值的连续函数,则 在(-,+)上也是正值的连续函数设 f(x)在(-,+)上为正值的有界函数,则 (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析 与是正确的,与是不正确的,正确的个数为 2是正确的,理由如下:设 x0为区间(-,+)上任意确定的一点,那么它必含于某闭区间a,b中,由于 f(x)在任意闭区间上连续,所以 f(x)在 x0处连续,所以 f(x)在(-,+)上连续这里论证的关键之处是:函数 f(x)的连续性是按点来讨论的在区间上每一点连续,就说它在该区间上连续函数 f(x)在a,b上有界性的“界”是与区间有关的,例如

    21、 f(x)=x在区间a,b上,*,所以 f(x)在a,b上有界这个“界”与a,b有关容易看出,若在区间(-,+)上讨论,f(x)=x 就无界了不正确是正确的,其理由是:设 x0为(-,+)内任意一点,所以 f(x)在 x0处连续且 f(x0)0,由连续函数四则运算定理知,*在 x=x0处也连续所以正确是不正确的例如函数*,在区间(-,+)上有 0f(x)1,所以 f(x)在(-,+)上有界但*在(-,+)上无界,这是因为当 x时*+6.下述命题正确的是A设 存在,则必存在 0,当 时,f(x)必存在B设 f(x)在 x=x0处连续,则必存在 0,当 时,f(x)亦连续C设 x=x0为 f(x)

    22、的间断点,则 必不存在D设 f(x0)不存在,则 (分数:2.00)A. B.C.D.解析:解析 由*存在的定义中的要求知,凡讲到*,那么在 x=x0的某去心邻域内 f(x)必先要有定义所以(A)正确评注 有的考生常有下述误解,认为 f(x)在 x0处连续,则必存在 0,在*内 f(x)亦连续这是不对的反例如下:设 D(x)为狄利克雷函数:*命 f(x)=xD(x)有 f(0)=0,*(无穷小乘有界函数的仍为无穷小)。若 x00 且为无理数,则 f(x0)=x00=0,当 x沿有理数趋于 x0时,f(x)=xD(x)x 00,f(x)在 x0处不连续,f(x)在*内的任意无理数 x0处均不连续

    23、所以(B)不正确这里并不要求读者掌握这个例子,而只要求知道(B)不正确(C)的反例:设 x=x0为 f(x)的可去间断点,而*是存在的(D)的反例:函数值存在与否与该处极限值存在与否各不相干,所以(D)不正确本题的核心是理解极限的定义,连续与间断的定义7.设 xx 0时 f(x)不是无穷大,则下述结论正确的是 A.设 xx 0时 g(x)是无穷小,则 f(x)g(x)必是无穷小 B.设 xx 0时 g(x)不是无穷小,则 f(x)g(x)必不是无穷小 C.设在 x=x0去心邻域 g(x)无界,则 xx 0时 f(x)g(x)必是无穷大 D.设在 x=x0去心邻域 g(x)有界,则 xx 0时

    24、f(x)g(x)必不是无穷大(分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析 由(D)的条件,在 x=x0的邻域 g(x)有界,所以存在 M0 及 U (x0)使 xU (x0)时|g(x)|M于是|f(x)g(x)|M|f(x)|若(D)的结论不成立即有*由上式立即推得*,与*不是无穷大矛盾所以(D)的结论成立评注 (A)的反例:*,g(x)=x,当 x0 时 f(x)不是无穷大,g(x)是无穷小,但*不是无穷小(B)的反例 f(x)=x,g(x)=1,当 x0 时 f(x)不是无穷大,g(x)不是无穷小,但 f(x)g(x)=x当 x0 时是无穷小(C)的反例 f(x)=x,当 x0 时它不

    25、是无穷大,*,在 x0 的去心邻域它无界。但*当 x0 时它不是无穷大8.设 则正确的是 A B C D (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析 证明(C)正确由于*,所以存在*,当 X*时 f(x)0,从而*因*,故知存在*,当 x*时*于是在 x0的去心邻域内,*因*,所以*证毕容易举出例子说明(A)、(B)、(D)都不正确(例略)9.下述命题设 ,则 设 ,则 设 ,则 设 ,则 (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析 是一条定理,正确也是正确的,证明如下:任给 M0,由*=+,故存在 0,当*时*同理,由*,故存在 0,当*时,*取 与 中的小者,例如 ,则当*时, *

    26、 于是 f(x)+g(x)M这就证明了*正确 看起来似乎是一条定理“无穷小的倒数是无穷大”,但实际上该定理还要有一条件“f(x)0”例如*,有*,所以当*时,*无定义,因此无法讨论*所以不正确 是不正确的,反例如下:*,但*10.下列运算(分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析 等号不正确这是因为右边拆开的两个极限都不存在,不能使用“和的极限等于极限的和”这条性质等号也不正确,理由同上在等号的左边已拆开的情况下,等号是正确的,等号当然是正确的与不正确 评注 在*与*都存在的条件才有 * 如果*中一个存在,另一个不存在,则直接给出结论: *不存在 如果*两个都不存在,那么*可能两个都不存在

    27、,也可能一个存在一个不存在,但绝对不会两个都存在不管怎么样,在这种情形,不能将 * 以上这些话应理解、掌握并正确运用。11.下列运算过程没有错误的是 A B C D (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析 需要指出的是:(C)中等式是正确的,其原因是右边两个分开来写的极限都存在 评注 由上题的点评知,(A)的等号是不正确的,因为式右边两个极限都不存在,不能用“和的极限等于极限之和”的定理等号也是不正确的(B)的等号是不对的,它不是整个式子的等价无穷小替换,而是部分式子去用等价无穷小替换(D)看起来与(C)差不多,但是(C)的将极限拆成各自独立的两个极限,然后用等价无穷小替换而(D)中并

    28、没有先将极限拆开,等号是加、减项用等价无穷小:瞥换,这就不对了本题中哪几步是正确的,哪几步是错误的,希望考生切记、理解,勿犯类似的错误12.已知 下列计算中,运算过程没有错误的是 A B C D (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析 由于(D)的等式右边两个极限分别存在,并且之后的运算都正确,所以(D)正确 评注 (A)的加、减项用等价无穷小替换,是错误的(B)的,将一个极限中的某个部分先求极限,这是错误的,如果可以的话,那么 * 而实际上, * (C)的,已多次说过,是不对的也是不对的13.设 (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析 取*,则当 n时 xn0,f(x n)=

    29、(n) 2sin=0,所以当 x取 xn0 时 f(x)0若取*,则当 n时,x n0,*sin(2n+*)=*所以对于一般的 x0,可见 f(x)*,但因 f(xn)可以任意大(只要 n无限变大),所以 f(x)无界评注 本题是一个很典型的例子,无界但*,记住这个例子是很有好处的14.下列极限正确的是 A B C D (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析 * 评注 (A)应是*(C)应是*为不存在(D)中当 x时,其分母*可以取到 0值,该分式没有定义,无法讨论其极限15.考察下列运算:由于分子与分母一直反复,所以该极限不存在由于 ,另一方面, 为“ 型”,由洛必达法则, ,所以

    30、(分数:2.00)A. B.C.D.解析:解析 按照做下去,只说明分母方次越来越大,但分子仍趋于 0,得不出结果,不满足洛必达法则条件的第(3)条,洛必达法则不能用,而不能说趋于同样,按做下去也做不出结果,不能说极限为或存在此题不能用洛必达法则对于,事实上*不存在,也不为,所以不满足洛必达法则的第(3)个条件,不能用洛必达法则结论没有一个是对的评注 一般教科书上都讲到使用洛必达法则应满足 3个条件,以*的“*型”为例,设(1)*;(2)存在 0,当*时 f(x)与 g(x)均可导,且 g(x)0;(3)*存在或为,则* (*)其中条件(1)一般都知道去检查,但条件(2)就不那么注意了在此特别提

    31、醒,若仅设 f(x0)与 g(x0)存在而未设在*中 f(x)与 g(x)均可导,是不能用洛必达法则的,此时要凑成导数的定义式去处理至于条件(3),就是本题中讲到的,当*不存在也不为时,是不能用洛必达法则的洛必达法则只能由(*)的右边存在或为推得左边相应地为存在或为,而不能由左边存在或为推得右边相应地为存在或为16.设 u(x),v(x),w(x)为定义在 x=0的某去心邻域内的函数,且 ,下述结论:x0 时(1+u(x) v(x)-1v(x)u(x) (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析 应增设条件“*,且 v(x)0,u(x)0”在此条件下,*所以当 x0 时(1+u(x) v(

    32、x)-1v(x)u(x)如果不满足这个增设条件,那么上述等价关系可以不成立例如 u(x)=x,v(x)=*,*,当 x0 时*根本不是无穷小应增设“*存在不等于 0,且*也存在”,在此条件下,成立其证明留给读者应增设条件“u(x)0”,不然指数上的*无意义在此条件下,成立评注 增添上述一些条件下,、成立,可以当作公式用17.当 x0 时,下述一些无穷小与 x3为同阶无穷小的是Aa(x)=x 3+x2 B C (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析 逐个考察之以(C)为例*所以当 x0 时 y(x)与 x3为同阶无穷小,(C)正确其中第 2个等式使用洛必达法则时用到变上限求导定理第 3个

    33、等式用到等价无穷小替换:当 u0 时 eu-1u第 4个等式用等价无穷小替换,当 u0 时,ln2(1+u)u 2评注 其它几个(A)、(B)、(D)考察如下(A)当 x0 时 (x)=x 3+x2x 2一般,设 (x)=x m+xn,mn,则当 x0 时 xm+xnx n(方次低的那个大,与方次低的那个等价)(B)*,(当 x0,x0 时)(D)(x)=(1+sinx) ln(1+x)-1=eln(1+x)ln(1+sinx)-1ln(1+x)ln(1+sinx)xsinxx 2(当 x0,x0 时)18.设 ,则 A B C D (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析 由于 f(x

    34、)中有*,所以讨论 x0 时应分 x0 +与 x0 -讨论之*=0,由洛必达法则,*所以*不存在,也不为,选(D)评注 见到*,*要分左右极限讨论之,其中x表示不超过 x的最大整数,称取整函数,n 为整数19.下述极限不正确的是 A B C D (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析 以(D)为例计算之*所以 *所以(D)不正确,选(D)评注 (A)*是正确的事实上,x x=exlnx,*,所以*对于(B),*对于(C),*做这种极限时,必须注意 x0 +,x0 -的区别,也必须注意趋于+,-的不同(A)、(B)、(C)三个结论可以记住,以备应用20.设 lnxnlnz nlny n(

    35、n=1,2,),且 ,则 (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析 举例说明*可以存在,可以不存在例如,取*,有lnxnlnz nlny n,且*但*(不存在)又如,取*,有lnxnlnz nlny n且*而*存在21.设 lnxnlnalny n(n=1,2,),且 其中 a是常数,则 与 (分数:2.00)A. B.C.D.解析:解析 由 lnxnlnalny n有 ynax n0所以*令 n,由夹逼定理,有*所以*22.设 zn=xnyn(n=1,2,),且 则下述命题正确的是A必有 或 B若 ,则x n必为有界数列C若 ,则必有 (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析 若

    36、*,可以认为 xn0(n 充分大时),于是*=0(C)正确(A)、(B)、(D)均可举出反例(A)的反例:*,n=1,2,有 xnyn=*(1-1)=0*,但*与*均不存在对于(B)有界数列乘无穷小必为无穷小,但无穷小未必是有界数列与无穷小乘积的结果例如 xn=n,*,但x n不是有界数列(D)的反例,*,n=1,2,均是无界数列,但*23.设a n收敛,b n发散则 A.anbn必收敛 B.anbn必发散 C.an+bn必收敛 D.an+bn必发散(分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析 b n=an+bn-an若*存在,又因*存在,所以*存在与b n发散矛盾故*不存在,即a n+bn

    37、发散24.设 un0(n=1,2,)并设数列u n无上界,则A数列 必有上界B必有 (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析 按u n无上界的定义,对于任意给定的 M0,相应地总存在 n,使 unM如果这样的 n只有有限个,取这有限个 un的最大值,记为 u,则当任意给定的 Mu *时,u n中没有一个 un大于 M与un无上界矛盾故(D)正确选(D)评注 (A)的反例:*,u n无上界此u n的*;1,2,*仍是无上界(B)为反例:*,有*un无上界,但*(C)的反例同(B)的反例u n,u n无上界,但对于 M=2,u nM 为 n仍有无限个多(凡 n为奇数时,un=12=M)抓住u

    38、 n无上界的实质,是解决本题的关键25.设函数 f(x)在区间(-,+)内连续,x n为一个数列下列命题正确的为 A.若(x n收敛,则f(x n)亦收敛 B.若x n单调,则f(x n)收敛 C.若f(x n)收敛,则x n收敛 D.若f(x n)单调,则x n收敛(分数:2.00)A. B.C.D.解析:解析 若x n收敛,即*存在,记其极限为 x0,于是由 f(x)的连续性知,*故f(x n)亦收敛评注 (B)不正确,反例如下:f(x)=x,x n=nf(x)连续,x n单调,但f(x n)=n却不收敛(C)不正确,反例如下:f(x)=arctanx,在(-,+)内 f(x)有界x n=

    39、n,f(x n)=arctann*(当 n),它收敛,但*不收敛(D)不正确,反例用(C)的反例f(x n)=arctann单调,但*不收敛26.设 (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析 因为*,所以存在 x=0的一个去心 邻域*,当 x*时 f(x)有界又当 x时*,所以存在 x0,当|x|X 时*有界又 sinx有界有界函数乘有界函数仍有界又,连续函数在闭区间上有界综合以上各点,所以 f(x)在(-,+)上有界 评注 掌握判别函数关于有界、无界的若干充分条件27.下列等式正确的是 (A) (B) (C) (D) (分数:2.00)A. B.C.D.解析:解析 *(式中 u=sin

    40、x)(A)正确 (B)*,当 m-n=奇数时,该极限值为*(B)不正确 (C)*其中“等”表示等价无穷小替换(C)不正确 (D)*(D)不正确28.将 x0 +时的三个无穷小量 (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析 *,欲使上式存在且不为零,取 k=1,有*,所以当 x0 +时 与 x为同阶无穷小*欲使上式存在且不为零,取 k=3有*所以当 x0 +时, 与 x3为同阶无穷小*欲使上式存在且不为零,取 k=2,有*所以按照排在后面一个是前面一个的高阶无穷小的次序是,选(B)29.当 x0 时,与 为同阶无穷小的是 A B Cx D (分数:2.00)A. B.C.D.解析:解析 当

    41、x0 时*,选(A)30.设 x0 +时,f(x)x m(m0), (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析 * 要使上述极限存在且不为零,其充要条件是 k=mn+n选(B)选了(B)当然就不选其它的31.下列函数在区间-1,1上连续的是 A B C D (分数:2.00)A. B.C.D.解析:解析 由于分段函数的每一段都是用初等函数表达,并且每一段的内部都是连续的,所以为考察连续性(间断点),只要考察分界点处的连续性即可逐个考察之,以(A)为例, *, 所以(A)的 f(x)在x=0处连续,从而知 f(x)在区间-1,1上是连续的选(A) 评注 其它(B)、(C)、(D)在 x=1都

    42、是不连续的,例如(D), * 01,所以(D)的 f(x)在 x=1处极限不存在,从而不连续 在计算左、右极限及函数值时,应注意函数在该处左、右侧的表达式以及在该处的取值32.函数 (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析 应先计算出 f(x)的表达式,一般说来,它是一个分段函数由于有 x2n+1,x n,所以宜分|x|1,|x|=1,|x|1 讨论之当|x|1 时,*;当|x|=1,又分 x=1与 x=-1当 x=1,f(x)=0,当 x=-1,f(x)=-1当|x|1,*所以*所以 x=1是 f(x)的第一类间断点,x=-1 是 f(x)的连续点(B)正确,其它(A)、(C)、(D)

    43、当然不正确评注 一般,设*,应先将极限算出,得到 f(x)的表达式(一般是分段表达式),然后以此讨论 f(x)的性质,例如讨论它的连续性,可导性,可积性等等应分两步走,不要企图一步到位33.函数 (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析 注意到式中有 sinx 与(2x) 2n,所以应将 x的区间(-,+)划分,并计算出 f(x)*故知 f(x)正好有 2个间断点为*,选(C)34.设 在 x=0处连续,则常数 a= A1 B (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析 若 a=0,显然当 x0 时 f(x)1,f(0)=e,f(x)在 x=0处不连续当 a0 时,*f(x)在 x=0处连续的充要条件是 e2a=e,所以*35.设常数 ai0(i=1,2,3),b 1,b 2,b 3互不相等则方程(分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析 显然 x=b1,b 2,b 3均不是该方程的根在该方程两边同乘(x-b 1)(x-b2)(x-b3),得a1(x-b2)(x-b3)+a2(x-b1)(x-b3)+a3(x-b1)(x-b2)=0 (*)不妨认为 b1b 2b 3不然,只要交换 a1,a 2,a 3的位置即可记方程(*)的左边为 f(x),于是有f(b1)=a1(b1-b2)(b1-b3)0,f(b2)=a2(b2-b1)(b2-b3


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