1、考研数学三-16 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：50，分数：100.00)1.设x n与y n均无界，z n有界，则以下命题正确的是 A.xn+yn无界 B.xxyn无界 C.xn+zn无界 D.xnzn无界（分数：2.00）A.B.C.D.2.设 f(x)，g(x)与 h(x)均为定义在(-，+)上的非零函数，且 g(x)为奇函数，h(x)为偶函数，则 A.f(g(x)必为奇函数 B.g(f(x)必为奇函数 C.f(h(x)必为偶函数 D.h(f(x)必为偶函数（分数：2.00）A.B.C.D.3.设 f(x)与 g(x)分别为定义在(-
2、，+)上的严格增函数与严格减函数，则 A.f(g(x)为严格减函数 B.f(g(x)为严格增函数 C.f(x)g(x)为严格减函数 D.f(x)g(x)为严格增函数（分数：2.00）A.B.C.D.4.下述命题正确的是 A设 f(x)在(-，+)上连续，则 f(x)在(-，+)上有界 B设 不存在，则存在 ，当 时 f(x)无界 C设存在 ，当 时 f(x)无界，则必有 D设 ，则必存在 ，当 时 f(x)无界 注 这里 （分数：2.00）A.B.C.D.5.下述命题设 f(x)在任意的闭区间a，b上连续，则 f(x)在(-，+)上连续设 f(x)在任意的闭区间a，b上有界，则 f(x)在(-
3、，+)上有界设 f(x)在(-，+)上为正值的连续函数，则 在(-，+)上也是正值的连续函数设 f(x)在(-，+)上为正值的有界函数，则 （分数：2.00）A.B.C.D.6.下述命题正确的是A设 存在，则必存在 0，当 时，f(x)必存在B设 f(x)在 x=x0处连续，则必存在 0，当 时，f(x)亦连续C设 x=x0为 f(x)的间断点，则 必不存在D设 f(x0)不存在，则 （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 xx 0时 f(x)不是无穷大，则下述结论正确的是 A.设 xx 0时 g(x)是无穷小，则 f(x)g(x)必是无穷小 B.设 xx 0时 g(x)不是无穷小，则 f(
4、x)g(x)必不是无穷小 C.设在 x=x0去心邻域 g(x)无界，则 xx 0时 f(x)g(x)必是无穷大 D.设在 x=x0去心邻域 g(x)有界，则 xx 0时 f(x)g(x)必不是无穷大（分数：2.00）A.B.C.D.8.设 则正确的是 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.9.下述命题设 ，则 设 ，则 设 ，则 设 ，则 （分数：2.00）A.B.C.D.10.下列运算（分数：2.00）A.B.C.D.11.下列运算过程没有错误的是 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.12.已知 下列计算中，运算过程没有错误的是 A B C D （分数：2.00）A
5、.B.C.D.13.设 （分数：2.00）A.B.C.D.14.下列极限正确的是 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.15.考察下列运算：由于分子与分母一直反复，所以该极限不存在由于 ，另一方面， 为“ 型”，由洛必达法则， ，所以 （分数：2.00）A.B.C.D.16.设 u(x)，v(x)，w(x)为定义在 x=0的某去心邻域内的函数，且 ，下述结论：x0 时(1+u(x) v(x)-1v(x)u(x) （分数：2.00）A.B.C.D.17.当 x0 时，下述一些无穷小与 x3为同阶无穷小的是Aa(x)=x 3+x2 B C （分数：2.00）A.B.C.D.18.设 ，
6、则 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.19.下述极限不正确的是 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.20.设 lnxnlnz nlny n(n=1，2，)，且 ，则 （分数：2.00）A.B.C.D.21.设 lnxnlnalny n(n=1，2，)，且 其中 a是常数，则 与 （分数：2.00）A.B.C.D.22.设 zn=xnyn(n=1，2，)，且 则下述命题正确的是A必有 或 B若 ，则x n必为有界数列C若 ，则必有 （分数：2.00）A.B.C.D.23.设a n收敛，b n发散则 A.anbn必收敛 B.anbn必发散 C.an+bn必收敛 D.a
7、n+bn必发散（分数：2.00）A.B.C.D.24.设 un0(n=1，2，)并设数列u n无上界，则A数列 必有上界B必有 （分数：2.00）A.B.C.D.25.设函数 f(x)在区间(-，+)内连续，x n为一个数列下列命题正确的为 A.若(x n收敛，则f(x n)亦收敛 B.若x n单调，则f(x n)收敛 C.若f(x n)收敛，则x n收敛 D.若f(x n)单调，则x n收敛（分数：2.00）A.B.C.D.26.设 （分数：2.00）A.B.C.D.27.下列等式正确的是 (A) (B) (C) (D) （分数：2.00）A.B.C.D.28.将 x0 +时的三个无穷小量
8、（分数：2.00）A.B.C.D.29.当 x0 时，与 为同阶无穷小的是 A B Cx D （分数：2.00）A.B.C.D.30.设 x0 +时，f(x)x m(m0)， （分数：2.00）A.B.C.D.31.下列函数在区间-1，1上连续的是 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.32.函数 （分数：2.00）A.B.C.D.33.函数 （分数：2.00）A.B.C.D.34.设 在 x=0处连续，则常数 a= A1 B （分数：2.00）A.B.C.D.35.设常数 ai0(i=1，2，3)，b 1，b 2，b 3互不相等则方程（分数：2.00）A.B.C.D.36.设 f
9、(x)与 g(x)在(-，+)上都有定义，且 x=x1是 f(x)的唯一间断点，x=x 2是 g(x)的唯一间断点则 A.当 x1=x2时，f(x)+g(x)必有唯一的间断点 x=x1 B.当 x1x 2时，f(x)+g(x)必有两个间断点 x=x1与 x=x2 C.当 x1=x2时，f(x)g(x)必有唯一的间断点 x=x1 D.当 x1x 2时，f(x)g(x)必有两个间断点 x=x1与 x=x2（分数：2.00）A.B.C.D.37.设 在(-，+)内连续，且 （分数：2.00）A.B.C.D.38.设 （分数：2.00）A.B.C.D.39.函数 （分数：2.00）A.B.C.D.40
10、.设 f(x)与 g(x)在所讨论的点的某邻域均有定义，下列命题正确的是A设 g(x)在 x=x0处连续，u 0=g(x0)，f(u)在 x=x0处不连续，则 f(g(x)在 x=x0必不连续B设 g(x)在 x=x0处不连续，f(x)在 x=x0处连续，则 f(x)g(x)在 x=x0处必不连续C设 g(x)在 x=x0处不连续，f(x)在 x=x0处连续，则 f(x)+g(x)在 x=xo0处必不连续D设 g(x)与 f(x)在 x=x0处连续，则 （分数：2.00）A.B.C.D.41.下列命题正确的是A设 与 均存在，则 f(x)在 x=x0处必连续B设 f-(x0)与 f+(x0)均
11、存在，则 f(x)在 x=x0处必连续C设 与 均存在，则 f(x)在 x=x0处必连续D设 与 （分数：2.00）A.B.C.D.42.设 ，(xy，且 xy0)， （分数：2.00）A.B.C.D.43.设 F(x)可导，则下述命题不正确的是 A.若 F(x)为奇函数，则 F(x)必为偶函数 B.若 F(x)为偶函数，则 F(x)必为奇函数 C.若 F(x)为周期函数，则 F(x)必为周期函数 D.若 F(x)不是周期函数，则 F(x)必不是周期函数（分数：2.00）A.B.C.D.44.设 （分数：2.00）A.B.C.D.45.设 g(x)在 x=0的某邻域内二阶导数连续，且 g(0)
12、=1，g(0)=2，g“(0)=1，且设（分数：2.00）A.B.C.D.46.设 f(0)=0且 （分数：2.00）A.B.C.D.47.设 f(x)在 x=0的某邻域内有定义，并且 （分数：2.00）A.B.C.D.48.设 f(x)，g(x)，h(x)在 x=x0的邻域均有定义，且 f(x)与 g(x)在 x=x0处不可导，h(x)在 x=x0处可导，则下述论断正确的是 A.f(x)+g(x)在 x=x0处必不可导 B.f(x)+h(x)在 x=x0处必不可导 C.f(x)g(x)在 x=x0处必不可导 D.f(x)h(x)在 x=x0处必不可导（分数：2.00）A.B.C.D.49.设
13、 f(x)在 x=x0处可导，则A必存在 0，在 xU (x0)内 f(x)连续B在 x=x0处 f(x)必连续，但不能保证存在 0，在 内 f(x)也连续C若 f(x0)0，则存在 0，在 xU (x0)内 f(x)严格单调增D若 f(x0)0，则存在 0，在 （分数：2.00）A.B.C.D.50.设 f(x)在 x=0处可导，且 f(0)=0，f(0)0则下述极限存在且为零的是 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.考研数学三-16 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：50，分数：100.00)1.设x n与y n均无界，z n有
14、界，则以下命题正确的是 A.xn+yn无界 B.xxyn无界 C.xn+zn无界 D.xnzn无界（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 用反证法，设x n+zn有界，则存在 M0 与 M10，对一切 n，|x n+xn|M，且|z n|M 1由不等式|xn|=|xn+zn-zn|x n+zn|+|zn|M+M 1，从而x n有界，与题设矛盾其它(A)、(B)、(D)均可举出反例评注 有界数列与有界数列之和或差、或积，均为有界，但其商未必有界；有界数列与无界数列之和或差必无界；有界数列与无界数列之积或商未必有界，也未必无界，无界数列与无界数列之和、差、积或商均未必无界也未必有界，应具体
15、分析2.设 f(x)，g(x)与 h(x)均为定义在(-，+)上的非零函数，且 g(x)为奇函数，h(x)为偶函数，则 A.f(g(x)必为奇函数 B.g(f(x)必为奇函数 C.f(h(x)必为偶函数 D.h(f(x)必为偶函数（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 讨论函数的奇、偶性，一般按定义讨论之记 F(x)=f(h(x)，于是 F(-x)=f(h(-x)=f(h(x)=F(x)， 故 F(x)=f(h(x)为偶函数 评注 (1)由于不知道 f(x)具有什么性质，例如对于(A)，f(g(-x)=f(-g(x)，不知道它与 f(g(x)有什么关系所以不选(A)同理不选(B)与(D
16、) (2)一般，设f(x)与 g(x)为定义在(-，+)上的偶函数，h(x)与 k(x)为定义在(-，+)上的奇函数，则有结论： f(g(x)，f(h(x)，h(f(x)均为偶函数，h(k(x)为奇函数 f(x)g(x)，h(x)k(x)均为偶函数，f(x)h(x)为奇函数3.设 f(x)与 g(x)分别为定义在(-，+)上的严格增函数与严格减函数，则 A.f(g(x)为严格减函数 B.f(g(x)为严格增函数 C.f(x)g(x)为严格减函数 D.f(x)g(x)为严格增函数（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 可导函数讨论单调性用导数的符号讨论之，未设可导的函数讨论单调性用定义讨
17、论之记 F(x)=f(g(x)，设 x1x 2，则有 g(x1)g(x 2)，于是F(x1)=f(g(x1)f(g(x 2)=F(x2)，故 F(x)为严格单调减函数评注 一般，设 f(x)与 g(x)为定义在(-，+)上的严格增函数，h(x)与 k(x)为定义在(-，+)上的严格减函数，则有结论：f(g(x)与 h(k(x)为严格增函数，f(h(x)与 h(f(x)为严格减函数至于 f(x)g(x)，f(x)h(x)，h(x)k(x)是否具有某种单调性，就不一定了例如 f(x)=x3与 g(x)=x都是严格单调增函数，而 f(x)g(x)=x4不是单调函数4.下述命题正确的是 A设 f(x)
18、在(-，+)上连续，则 f(x)在(-，+)上有界 B设 不存在，则存在 ，当 时 f(x)无界 C设存在 ，当 时 f(x)无界，则必有 D设 ，则必存在 ，当 时 f(x)无界 注 这里 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 设*，由定义，对于任给 M0，存在 0，当 0|x-x 0| 时，|f(x)|M满足在x0的去心邻域*内 f(x)无界的要求，故 f(x)在*内无界评注 (1)有的考生弄不清*与*内 f(x)无界的差异正确的结论是，由前者可推出后者，而由后者推不出前者所以(C)不正确(2)在闭区间上的连续函数必有界，而在开区间上的连续函数以及无穷区间上的连续函数，可能有界，
19、也可能无界例如*在区间(0，1)上无界，但在区间(*，1)上有界又如 f(x)=sinx在(-，+)上有界，但 f(x)=x在(-，+)上无界所以(A)不正确(3)*不存在，可以包含多种含义，如果是*与*都存在但不相等的那种*不存在，那么还是存在*，当*时 f(x)有界所以(B)也不正确关于有界的充分条件与无界的充分条件，一般的教科书上都有，但分散在各章节，查找不方便，同学们可以将有关定理汇总利用导函数讨论函数的有界性问题，后面还要介绍数学(一)、(二)、(三)都考过讨论有界性的题5.下述命题设 f(x)在任意的闭区间a，b上连续，则 f(x)在(-，+)上连续设 f(x)在任意的闭区间a，b
20、上有界，则 f(x)在(-，+)上有界设 f(x)在(-，+)上为正值的连续函数，则 在(-，+)上也是正值的连续函数设 f(x)在(-，+)上为正值的有界函数，则 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 与是正确的，与是不正确的，正确的个数为 2是正确的，理由如下：设 x0为区间(-，+)上任意确定的一点，那么它必含于某闭区间a，b中，由于 f(x)在任意闭区间上连续，所以 f(x)在 x0处连续，所以 f(x)在(-，+)上连续这里论证的关键之处是：函数 f(x)的连续性是按点来讨论的在区间上每一点连续，就说它在该区间上连续函数 f(x)在a，b上有界性的“界”是与区间有关的，例如
21、 f(x)=x在区间a，b上，*，所以 f(x)在a，b上有界这个“界”与a，b有关容易看出，若在区间(-，+)上讨论，f(x)=x 就无界了不正确是正确的，其理由是：设 x0为(-，+)内任意一点，所以 f(x)在 x0处连续且 f(x0)0，由连续函数四则运算定理知，*在 x=x0处也连续所以正确是不正确的例如函数*，在区间(-，+)上有 0f(x)1，所以 f(x)在(-，+)上有界但*在(-，+)上无界，这是因为当 x时*+6.下述命题正确的是A设 存在，则必存在 0，当 时，f(x)必存在B设 f(x)在 x=x0处连续，则必存在 0，当 时，f(x)亦连续C设 x=x0为 f(x)
22、的间断点，则 必不存在D设 f(x0)不存在，则 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 由*存在的定义中的要求知，凡讲到*，那么在 x=x0的某去心邻域内 f(x)必先要有定义所以(A)正确评注 有的考生常有下述误解，认为 f(x)在 x0处连续，则必存在 0，在*内 f(x)亦连续这是不对的反例如下：设 D(x)为狄利克雷函数：*命 f(x)=xD(x)有 f(0)=0，*(无穷小乘有界函数的仍为无穷小)。若 x00 且为无理数，则 f(x0)=x00=0，当 x沿有理数趋于 x0时，f(x)=xD(x)x 00，f(x)在 x0处不连续，f(x)在*内的任意无理数 x0处均不连续
23、所以(B)不正确这里并不要求读者掌握这个例子，而只要求知道(B)不正确(C)的反例：设 x=x0为 f(x)的可去间断点，而*是存在的(D)的反例：函数值存在与否与该处极限值存在与否各不相干，所以(D)不正确本题的核心是理解极限的定义，连续与间断的定义7.设 xx 0时 f(x)不是无穷大，则下述结论正确的是 A.设 xx 0时 g(x)是无穷小，则 f(x)g(x)必是无穷小 B.设 xx 0时 g(x)不是无穷小，则 f(x)g(x)必不是无穷小 C.设在 x=x0去心邻域 g(x)无界，则 xx 0时 f(x)g(x)必是无穷大 D.设在 x=x0去心邻域 g(x)有界，则 xx 0时
24、f(x)g(x)必不是无穷大（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 由(D)的条件，在 x=x0的邻域 g(x)有界，所以存在 M0 及 U (x0)使 xU (x0)时|g(x)|M于是|f(x)g(x)|M|f(x)|若(D)的结论不成立即有*由上式立即推得*，与*不是无穷大矛盾所以(D)的结论成立评注 (A)的反例：*，g(x)=x，当 x0 时 f(x)不是无穷大，g(x)是无穷小，但*不是无穷小(B)的反例 f(x)=x，g(x)=1，当 x0 时 f(x)不是无穷大，g(x)不是无穷小，但 f(x)g(x)=x当 x0 时是无穷小(C)的反例 f(x)=x，当 x0 时它不
25、是无穷大，*，在 x0 的去心邻域它无界。但*当 x0 时它不是无穷大8.设 则正确的是 A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 证明(C)正确由于*，所以存在*，当 X*时 f(x)0，从而*因*，故知存在*，当 x*时*于是在 x0的去心邻域内，*因*，所以*证毕容易举出例子说明(A)、(B)、(D)都不正确(例略)9.下述命题设 ，则 设 ，则 设 ，则 设 ，则 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 是一条定理，正确也是正确的，证明如下：任给 M0，由*=+，故存在 0，当*时*同理，由*，故存在 0，当*时，*取 与 中的小者，例如 ，则当*时， *
26、 于是 f(x)+g(x)M这就证明了*正确 看起来似乎是一条定理“无穷小的倒数是无穷大”，但实际上该定理还要有一条件“f(x)0”例如*，有*，所以当*时，*无定义，因此无法讨论*所以不正确 是不正确的，反例如下：*，但*10.下列运算（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 等号不正确这是因为右边拆开的两个极限都不存在，不能使用“和的极限等于极限的和”这条性质等号也不正确，理由同上在等号的左边已拆开的情况下，等号是正确的，等号当然是正确的与不正确 评注 在*与*都存在的条件才有 * 如果*中一个存在，另一个不存在，则直接给出结论： *不存在 如果*两个都不存在，那么*可能两个都不存在
27、，也可能一个存在一个不存在，但绝对不会两个都存在不管怎么样，在这种情形，不能将 * 以上这些话应理解、掌握并正确运用。11.下列运算过程没有错误的是 A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 需要指出的是：(C)中等式是正确的，其原因是右边两个分开来写的极限都存在 评注 由上题的点评知，(A)的等号是不正确的，因为式右边两个极限都不存在，不能用“和的极限等于极限之和”的定理等号也是不正确的(B)的等号是不对的，它不是整个式子的等价无穷小替换，而是部分式子去用等价无穷小替换(D)看起来与(C)差不多，但是(C)的将极限拆成各自独立的两个极限，然后用等价无穷小替换而(D)中并
28、没有先将极限拆开，等号是加、减项用等价无穷小：瞥换，这就不对了本题中哪几步是正确的，哪几步是错误的，希望考生切记、理解，勿犯类似的错误12.已知 下列计算中，运算过程没有错误的是 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 由于(D)的等式右边两个极限分别存在，并且之后的运算都正确，所以(D)正确 评注 (A)的加、减项用等价无穷小替换，是错误的(B)的，将一个极限中的某个部分先求极限，这是错误的，如果可以的话，那么 * 而实际上， * (C)的，已多次说过，是不对的也是不对的13.设 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 取*，则当 n时 xn0，f(x n)=
29、(n) 2sin=0，所以当 x取 xn0 时 f(x)0若取*，则当 n时，x n0，*sin(2n+*)=*所以对于一般的 x0，可见 f(x)*，但因 f(xn)可以任意大(只要 n无限变大)，所以 f(x)无界评注 本题是一个很典型的例子，无界但*,记住这个例子是很有好处的14.下列极限正确的是 A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 * 评注 (A)应是*(C)应是*为不存在(D)中当 x时，其分母*可以取到 0值，该分式没有定义，无法讨论其极限15.考察下列运算：由于分子与分母一直反复，所以该极限不存在由于 ，另一方面， 为“ 型”，由洛必达法则， ，所以
30、（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 按照做下去，只说明分母方次越来越大，但分子仍趋于 0，得不出结果，不满足洛必达法则条件的第(3)条，洛必达法则不能用，而不能说趋于同样，按做下去也做不出结果，不能说极限为或存在此题不能用洛必达法则对于，事实上*不存在，也不为，所以不满足洛必达法则的第(3)个条件，不能用洛必达法则结论没有一个是对的评注 一般教科书上都讲到使用洛必达法则应满足 3个条件，以*的“*型”为例，设(1)*；(2)存在 0，当*时 f(x)与 g(x)均可导，且 g(x)0；(3)*存在或为，则* (*)其中条件(1)一般都知道去检查，但条件(2)就不那么注意了在此特别提
31、醒，若仅设 f(x0)与 g(x0)存在而未设在*中 f(x)与 g(x)均可导，是不能用洛必达法则的，此时要凑成导数的定义式去处理至于条件(3)，就是本题中讲到的，当*不存在也不为时，是不能用洛必达法则的洛必达法则只能由(*)的右边存在或为推得左边相应地为存在或为，而不能由左边存在或为推得右边相应地为存在或为16.设 u(x)，v(x)，w(x)为定义在 x=0的某去心邻域内的函数，且 ，下述结论：x0 时(1+u(x) v(x)-1v(x)u(x) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 应增设条件“*，且 v(x)0，u(x)0”在此条件下，*所以当 x0 时(1+u(x) v(
32、x)-1v(x)u(x)如果不满足这个增设条件，那么上述等价关系可以不成立例如 u(x)=x，v(x)=*，*，当 x0 时*根本不是无穷小应增设“*存在不等于 0，且*也存在”，在此条件下，成立其证明留给读者应增设条件“u(x)0”，不然指数上的*无意义在此条件下，成立评注 增添上述一些条件下，、成立，可以当作公式用17.当 x0 时，下述一些无穷小与 x3为同阶无穷小的是Aa(x)=x 3+x2 B C （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 逐个考察之以(C)为例*所以当 x0 时 y(x)与 x3为同阶无穷小，(C)正确其中第 2个等式使用洛必达法则时用到变上限求导定理第 3个
33、等式用到等价无穷小替换：当 u0 时 eu-1u第 4个等式用等价无穷小替换，当 u0 时，ln2(1+u)u 2评注 其它几个(A)、(B)、(D)考察如下(A)当 x0 时 (x)=x 3+x2x 2一般，设 (x)=x m+xn，mn，则当 x0 时 xm+xnx n(方次低的那个大，与方次低的那个等价)(B)*，(当 x0，x0 时)(D)(x)=(1+sinx) ln(1+x)-1=eln(1+x)ln(1+sinx)-1ln(1+x)ln(1+sinx)xsinxx 2(当 x0，x0 时)18.设 ，则 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 由于 f(x
34、)中有*，所以讨论 x0 时应分 x0 +与 x0 -讨论之*=0，由洛必达法则，*所以*不存在，也不为，选(D)评注 见到*，*要分左右极限讨论之，其中x表示不超过 x的最大整数，称取整函数，n 为整数19.下述极限不正确的是 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 以(D)为例计算之*所以 *所以(D)不正确，选(D)评注 (A)*是正确的事实上，x x=exlnx，*，所以*对于(B)，*对于(C)，*做这种极限时，必须注意 x0 +，x0 -的区别，也必须注意趋于+，-的不同(A)、(B)、(C)三个结论可以记住，以备应用20.设 lnxnlnz nlny n(
35、n=1，2，)，且 ，则 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 举例说明*可以存在，可以不存在例如，取*，有lnxnlnz nlny n，且*但*(不存在)又如，取*，有lnxnlnz nlny n且*而*存在21.设 lnxnlnalny n(n=1，2，)，且 其中 a是常数，则 与 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 由 lnxnlnalny n有 ynax n0所以*令 n，由夹逼定理，有*所以*22.设 zn=xnyn(n=1，2，)，且 则下述命题正确的是A必有 或 B若 ，则x n必为有界数列C若 ，则必有 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 若
36、*，可以认为 xn0(n 充分大时)，于是*=0(C)正确(A)、(B)、(D)均可举出反例(A)的反例：*，n=1，2，有 xnyn=*(1-1)=0*，但*与*均不存在对于(B)有界数列乘无穷小必为无穷小，但无穷小未必是有界数列与无穷小乘积的结果例如 xn=n，*，但x n不是有界数列(D)的反例，*，n=1，2，均是无界数列，但*23.设a n收敛，b n发散则 A.anbn必收敛 B.anbn必发散 C.an+bn必收敛 D.an+bn必发散（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 b n=an+bn-an若*存在，又因*存在，所以*存在与b n发散矛盾故*不存在，即a n+bn
37、发散24.设 un0(n=1，2，)并设数列u n无上界，则A数列 必有上界B必有 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 按u n无上界的定义，对于任意给定的 M0，相应地总存在 n，使 unM如果这样的 n只有有限个，取这有限个 un的最大值，记为 u，则当任意给定的 Mu *时，u n中没有一个 un大于 M与un无上界矛盾故(D)正确选(D)评注 (A)的反例：*，u n无上界此u n的*；1，2，*仍是无上界(B)为反例：*，有*un无上界，但*(C)的反例同(B)的反例u n，u n无上界，但对于 M=2，u nM 为 n仍有无限个多(凡 n为奇数时，un=12=M)抓住u
38、 n无上界的实质，是解决本题的关键25.设函数 f(x)在区间(-，+)内连续，x n为一个数列下列命题正确的为 A.若(x n收敛，则f(x n)亦收敛 B.若x n单调，则f(x n)收敛 C.若f(x n)收敛，则x n收敛 D.若f(x n)单调，则x n收敛（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 若x n收敛，即*存在，记其极限为 x0，于是由 f(x)的连续性知，*故f(x n)亦收敛评注 (B)不正确，反例如下：f(x)=x，x n=nf(x)连续，x n单调，但f(x n)=n却不收敛(C)不正确，反例如下：f(x)=arctanx，在(-，+)内 f(x)有界x n=
39、n，f(x n)=arctann*(当 n)，它收敛，但*不收敛(D)不正确，反例用(C)的反例f(x n)=arctann单调，但*不收敛26.设 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为*，所以存在 x=0的一个去心 邻域*，当 x*时 f(x)有界又当 x时*，所以存在 x0，当|x|X 时*有界又 sinx有界有界函数乘有界函数仍有界又，连续函数在闭区间上有界综合以上各点，所以 f(x)在(-，+)上有界 评注 掌握判别函数关于有界、无界的若干充分条件27.下列等式正确的是 (A) (B) (C) (D) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 *(式中 u=sin
40、x)(A)正确 (B)*，当 m-n=奇数时，该极限值为*(B)不正确 (C)*其中“等”表示等价无穷小替换(C)不正确 (D)*(D)不正确28.将 x0 +时的三个无穷小量 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 *，欲使上式存在且不为零，取 k=1，有*，所以当 x0 +时 与 x为同阶无穷小*欲使上式存在且不为零，取 k=3有*所以当 x0 +时， 与 x3为同阶无穷小*欲使上式存在且不为零，取 k=2，有*所以按照排在后面一个是前面一个的高阶无穷小的次序是，选(B)29.当 x0 时，与 为同阶无穷小的是 A B Cx D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 当
41、x0 时*，选(A)30.设 x0 +时，f(x)x m(m0)， （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 * 要使上述极限存在且不为零，其充要条件是 k=mn+n选(B)选了(B)当然就不选其它的31.下列函数在区间-1，1上连续的是 A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 由于分段函数的每一段都是用初等函数表达，并且每一段的内部都是连续的，所以为考察连续性(间断点)，只要考察分界点处的连续性即可逐个考察之，以(A)为例， *， 所以(A)的 f(x)在x=0处连续，从而知 f(x)在区间-1，1上是连续的选(A) 评注 其它(B)、(C)、(D)在 x=1都
42、是不连续的，例如(D)， * 01，所以(D)的 f(x)在 x=1处极限不存在，从而不连续 在计算左、右极限及函数值时，应注意函数在该处左、右侧的表达式以及在该处的取值32.函数 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 应先计算出 f(x)的表达式，一般说来，它是一个分段函数由于有 x2n+1，x n，所以宜分|x|1，|x|=1，|x|1 讨论之当|x|1 时，*；当|x|=1，又分 x=1与 x=-1当 x=1，f(x)=0，当 x=-1，f(x)=-1当|x|1，*所以*所以 x=1是 f(x)的第一类间断点，x=-1 是 f(x)的连续点(B)正确，其它(A)、(C)、(D)
43、当然不正确评注 一般，设*，应先将极限算出，得到 f(x)的表达式(一般是分段表达式)，然后以此讨论 f(x)的性质，例如讨论它的连续性，可导性，可积性等等应分两步走，不要企图一步到位33.函数 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 注意到式中有 sinx 与(2x) 2n，所以应将 x的区间(-，+)划分，并计算出 f(x)*故知 f(x)正好有 2个间断点为*，选(C)34.设 在 x=0处连续，则常数 a= A1 B （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 若 a=0，显然当 x0 时 f(x)1，f(0)=e，f(x)在 x=0处不连续当 a0 时，*f(x)在 x=0处连续的充要条件是 e2a=e，所以*35.设常数 ai0(i=1，2，3)，b 1，b 2，b 3互不相等则方程（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 显然 x=b1，b 2，b 3均不是该方程的根在该方程两边同乘(x-b 1)(x-b2)(x-b3)，得a1(x-b2)(x-b3)+a2(x-b1)(x-b3)+a3(x-b1)(x-b2)=0 (*)不妨认为 b1b 2b 3不然，只要交换 a1，a 2，a 3的位置即可记方程(*)的左边为 f(x)，于是有f(b1)=a1(b1-b2)(b1-b3)0，f(b2)=a2(b2-b1)(b2-b3
