1、考研数学三-169 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1. （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x)在(a，b)内可微，且f(a)=f(b)=0，f(a)0，f(b)0，则方程 f(x)=0 在(a，b)内_A没有实根 B有且仅有一个实根C有且仅有两个不等实根 D至少有两个不等实根（分数：4.00）A.B.C.D.3.设 f(x)有二阶连续导数，且(x 0，f(x 0)为曲线 y=f(x)的拐点，则（分数：4.00）A.B.C.D.4.设 D=(x，y)|x 2+y2R 2，R0，常数 0，则积分 （分数：4.00）A.B
2、.C.D.5. （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 A 是三阶矩阵，P 是三阶可逆矩阵，已知 P-1AP= （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 A，B 为随机事件，P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，则 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设总体 X 服从正态分布 N(0， 2)( 2已知)，X 1，X 2，X n是取自总体 X 的简单随机样本，S 2为样本方差，则_ABCD （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10. （分数：4.00）填空项 1:_11.微分方程 y“+y=x2的特解形式为_（分
3、数：4.00）填空项 1:_12.已知 u= ，计算(1) =_；(2) （分数：4.00）填空项 1:_13.设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 A 的秩为 n-1，则线性方程组 AX=0 的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 X 的分布函数为（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 f(x)在a，b(a0)上连续，在(a，b)内可微，且 f(x)0证明存在 ，(a，b)，使得（分数：10.00）_16.设函数 y=y(x)由方程组 所确定，试求 （分数：10.00）_17.设 f(x)在0，1上连续，且满足f(0
4、)=1，f(x)=f(x)+ax-a求 f(x)，并求 a 的值使曲线 y=f(x)与 x=0，y=0，x=1 所围平面图形绕 x 轴旋转一周所得的体积最小（分数：10.00）_18.求解差方方程 3yx+1-9yx=x3x+1（分数：10.00）_19.计算二重积分 I= （分数：10.00）_20.用配方法化二次型f(x，y，z)=x 2+2y2+5z2+2xy+6yz+2zx 为标准形，并求所用的可逆线性变换（分数：11.00）_21.已知线性方程组（分数：11.00）_某种产品的寿命 T(单位：年)服从指数分布：（分数：11.00）(1).求产品的平均寿命（分数：5.50）_(2).产
5、品每件售价 1 万元，厂家规定：若产品在一年内损坏，厂家赔偿顾客 0.8 万元，若寿命超过一年，但不到平均寿命，厂家赔偿顾客 0.5 万元；若达到或超过平均寿命，厂家就不赔偿，问其出一件产品，厂家的期望收入是多少?（分数：5.50）_设(X，Y)f(x，y)= （分数：11.00）(1).求联合分布函数 F(x，y)（分数：5.50）_(2).求*（分数：5.50）_考研数学三-169 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1. （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 极限函数为幂指函数，可用换底法求其极限解一 ，而 ，故 仅 B
6、 入选解二 原式=2.设 f(x)在(a，b)内可微，且f(a)=f(b)=0，f(a)0，f(b)0，则方程 f(x)=0 在(a，b)内_A没有实根 B有且仅有一个实根C有且仅有两个不等实根 D至少有两个不等实根（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 利用极限的保号性及 f(a)0，f(b)0先证明存在一点 c(a，b)，使 f(c)=0于是f(x)有三个零点，两次使用罗尔定理便得到结论 D 成立因 ，利用极限的保号性，在 a 的右邻域内必存在点 x1，使 f(x1)0，其中 ax 1 同理由 f(b)0 知，必存在一点 x2，使 f(x2)0，其中 x 2b由连续函数的零点定理知
7、，必存在 c(x 1，x 2)3.设 f(x)有二阶连续导数，且(x 0，f(x 0)为曲线 y=f(x)的拐点，则（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 因 f(x)有二阶连续导数，故可对左边的极限式两次使用洛必达法则，利用题设有 f“(x0)=0，从而所求极限的值即可得到4.设 D=(x，y)|x 2+y2R 2，R0，常数 0，则积分 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 化为直角坐标系下的二重积分，便于利用积分的对称性及被积分函数的奇偶性求解原式=因 D 关于 y=x 对称，故又 D 关于 y 轴对称，而 ex -e-x 为奇函数(自变量带相反符号的两同名函数之差为奇
8、函数)，故，即5. （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 利用行列式性质求之6.设 A 是三阶矩阵，P 是三阶可逆矩阵，已知 P-1AP= （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 P 的三个列向量是 A 的对应于特征值的特征向量，判别时要利用下述三条原则：(1)A 的对于同一特征值的特征向量 1， 2的线性组合如 k 1，k 1+k2 2仍是 A 的属于同一特征值的特征向量；(2)对于不同特征值的特征向量的线性组合(例如其和或其差)不再是 A 的特征向量；(3)P 中特征向量的排列次序与对角阵中特征值的排列次序一致利用上述原则即可判定正确的选项解一 A中 1+ 3不是 A 的
9、特征向量，D 中 2+ 3， 3+ 1也不再是 A 的特征向量，B 中特征向量与对角阵中特征值排列不一致，故均不能充当 P仅 C 入选解二 因为 1、 2是 =1 的特征向量， 3是 =0 的特征向量，2 1+3 2，-8 2仍是 =1 的特征向量，4 3仍是 =0 的特征向量，且其排列次序与对角阵中特征值的排列次序一致，仅 C 入选7.设 A，B 为随机事件，P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，则 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 先用事件的运算将 化为 ，则所求概率归结为求利用全集分解有P(AB)+P( )=P(AB)+P(A-B)=P(A)仅 C 入选8.设总体 X 服
10、从正态分布 N(0， 2)( 2已知)，X 1，X 2，X n是取自总体 X 的简单随机样本，S 2为样本方差，则_ABCD （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 利用 2分布的下述可加性求之设 Xi 2(mi)(i=1，2，k)，X 1，X 2，X k相互独立，则X1+X2+Xk 2(m1+m2+mk)因 XiN(0， 2)，则 ，即，故 又 ，且 与 S2相互独立，由 2分布的可加性得到二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 先作代换 1/x=t，再用换底法求其极限原式10. （分数：4.00）填空项 1:_
11、（正确答案： ）解析：解析 作变量代换去掉无理根式，再积分求之因 ，作变量代换 =t，则，即 两端微分得到 =2tdt，于是11.微分方程 y“+y=x2的特解形式为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：x(ax 2+bx+c)）解析：解析 先求出对应齐次方程的特征方程的根 r1，r 2，再根据方程右端所含的自由项 f(x)的形式设出特解 y*的形式(1)若 f(x)=Pm(x)ex ，则特解 y*=xkQm(x)ex ，其中 Qm(x)是与 Pm(x)同次的待定多项式(2)若 f(x)=ex Pt(x)cosox+P n(x)sinx，则设特解为y*-xkex ，其中 ， 是 m
12、次多项式，m=maxl，n，12.已知 u= ，计算(1) =_；(2) （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0，0）解析：解析 根据三阶行列式的计算法则，得到u=yz2+xy2+x2z-x2y-xz2-zy2，于是则又于是13.设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 A 的秩为 n-1，则线性方程组 AX=0 的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：C）解析：解析 A 的各行元素之和均为零，这就告诉我们1，1，1 T为 AX=0 的非零解向量再利用线性方程组解的结构求其通解，因 r(A)=n-1，故 AX=0 的一个基础解系只含一个解向量又由题设有A1，1，1
13、 T=0，0，0 T因而 =1，1，1 T为 AX=0 的一个非零解向量，它也为 AX=0 的一个基础解系，故其通解为 C，其中 C 为任意常数14.设随机变量 X 的分布函数为（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：27/512）解析：解析 设随机变量 Y 为 3 次观测试验中不超过 1 的次数，则yB(3，p)，其中 p=P(X1).为求 P(Y=3)= p3(1-p)3-3，首先必求出 pp=P(X1)=F(1)=3/8，则 P(Y=3)=三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 f(x)在a，b(a0)上连续，在(a，b)内可微，且 f(x)0证明存在 ，(a，b)
14、，使得（分数：10.00）_正确答案：(证明 令 g(x)=lnx，则 g(x)与 f(x)在a，b上满足柯西中值定理的条件，故存在(a，b)，使得，即 lnb-lna= ，从而 分别对 g(x)，f(x)在a，b上使用拉格朗日中值定理，则分别存在 ，(a，b)使得，将式与式代入式得，即 )解析：解析 由16.设函数 y=y(x)由方程组 所确定，试求 （分数：10.00）_正确答案：(由 eysint-y+1=0 中可得于是 ，因为 y|t=0=1， =e，于是 注意 对参数方程求二阶导数时，要用复合函数求导法则：)解析：解析 由方程 eysint-y+1=0 所确定的隐函数 y(t)，其导
15、数可在等式两边对 t 求导得到，然后再用参数方程求导公式计算即可17.设 f(x)在0，1上连续，且满足f(0)=1，f(x)=f(x)+ax-a求 f(x)，并求 a 的值使曲线 y=f(x)与 x=0，y=0，x=1 所围平面图形绕 x 轴旋转一周所得的体积最小（分数：10.00）_正确答案：(方程 f(x)=f(x)+ax-a 可以改写为f(x)-f(x)=ax-a，则 f(x)=exe -x(ax-a)dx+C=ex(-axe-x+C)=Cex-ax由 f(0)=1 知 C=1，所以 f(x)=ex-axVx(a)=将 Vx(a)对 a 求导数，并令 Vx(a)= =0，得 a=3又由
16、 V“x(a)= )解析：解析 先求解一阶微分方程，求出 f(x)，再求旋转体体积，最后求其最值18.求解差方方程 3yx+1-9yx=x3x+1（分数：10.00）_正确答案：(先将方程化为标准方程yx+1-3yx=x3x， 其特征方程为 -3=0，得 =3故齐次方程的通解为=C3x，C 为任意常数由于非齐次项的底数 3 即 b=3 是特征根，故可设方程的特解为=x(A0+A1x)3x，代入方程得(x+1)A0+A1(x+1)3x+1-3x(A0+A1x)3x=x3x，整理并比较两端同次幂的函数，得解得 A0=-1/6，A 1=1/6故一个特解为 =x(-1/6+x/6)3x，原方程的通解是
17、(显然，与原方程同解)yx= +y*=C3x+x(-1/6+x/6)3x注意对形如 yx+1-ayx=f(x)的一阶线性差方方程，求其通解的步骤如下(1)求解特征方程 -a=0 对应的齐次差方方程 yx+1-ayx=0 的通解 =Cax，其中 C 为任意常数；(2)依据非齐次项 f(x)的结构特点设特解形式，为方便计称 b 为 f(x)的底数：若 f(x)=Axn(=Axn1x)，则若 f(x)=Abx，则若 f(x)=xnbx，则 )解析：解析 将所给方程化为标准差分方程得到yx+1-3yx=x3x关键在于正确写出特解形式因特征方程为 -3=0，故特征根为 =3，与底数 b=3 相等，故该特
18、解形式为19.计算二重积分 I= （分数：10.00）_正确答案：(已知积分区域D=(x，y)|0x1，1- yx，如下图所示，利用极坐标，则D=(r，)|0 ，0r2sin，因此因为 ，故 )解析：解析 由所给的累次积分画出积分域 D 的草图，然后根据 D 的形状及被积分函数的情况选择坐标系与积分次序20.用配方法化二次型f(x，y，z)=x 2+2y2+5z2+2xy+6yz+2zx 为标准形，并求所用的可逆线性变换（分数：11.00）_正确答案：(用配方法，先集中含 x 的项，配方得到f(x，y，z)=x 2+2(y+z)x+2y2+5z2+6yz=(x+y+z)2-(y+z)2+2y2
19、+5z2+6yz=(x+y+z)2+y2+4z2+4yz=(x+y+z)2+(y+2z)2令则有 f(x，y，z)=x 2+y2且所用的线性变换(即用新变量 x，y，z表示旧变量 x，y，z 的线性变换)为可逆的线性变换：，其中 )解析：21.已知线性方程组（分数：11.00）_正确答案：(解一 (1)当 a=1，b=3 时，r(A)=2=r( )，方程组有解(2)当 a=1，b=3 时，对变换矩阵 B1进一步用初等行变换将其化为含最高阶单位矩阵(2 阶单位矩阵)的矩阵，再用基础解系和特解的简便求法即可写出其基础解系和特解，从而写出其全部解：，则其基础解系含 3 个解向量： 1=1，-2，1，
20、0，0 T， 2=1，-2，0，1，0 T， 3=5，-6，0，0，1 T，其一个特解 =-2，3，0，0，0 T(3)所求的全部解为X=+k 1 1+k2 2+k3 3，其中 k1，k 2，k 3为任意常数解二 因该方程组的参数仅出现在方程右端的常数项，可先用观察法求出方程组有解的参数取值观察左边的各个方程，有下述关系：因此要使方程组有解，其右端也应有相同关系：2a+0=2，3a-0=b解之得 a=1，b=3下同解一解三 用高斯消元法求解由式中矩阵 B2得到同解的齐次方程组为)解析：解析 利用有解的充要条件r(A)=r( )=r(A b)求 a，bA 与 分别为上述方程组的系数矩阵与增广矩阵
21、，可利用基础解系和特解的简便求法求解(参阅考研数学三常考题型解题方法技巧归纳(第二版)P297)：设非齐次线性方程组 AX=b 有无穷多个解，其中 A 为 mn 矩阵设秩(A)= =r，对增广矩阵 用初等行变换，将其化为，其中 A1是将 A 化为含 r 阶(最高阶)的单位矩阵的矩阵如果这 r 阶单位矩阵在 A1的第 j1，j 2，j r列，则基础解系的 n-r 个解向量 1， 2， n-r的第 j1，j 2，j r个分量依次是 A1中除 r 阶单位矩阵所在的 r 列以外的其余 n-r 列的前 r 个分量反号，而 1， 2， n-r的其余 n-r 个分量依次组成 n-r阶单位矩阵而特解 的第 j
22、1，j 2，j r个分量依次为某种产品的寿命 T(单位：年)服从指数分布：（分数：11.00）(1).求产品的平均寿命（分数：5.50）_正确答案：(平均寿命 E(T)= )解析：(2).产品每件售价 1 万元，厂家规定：若产品在一年内损坏，厂家赔偿顾客 0.8 万元，若寿命超过一年，但不到平均寿命，厂家赔偿顾客 0.5 万元；若达到或超过平均寿命，厂家就不赔偿，问其出一件产品，厂家的期望收入是多少?（分数：5.50）_正确答案：(设售出一件产品厂家的收入为 Y，按题意有期望收入E(Y)=0.2P(T1)+0.5P(1T3)+1P(T3)= )解析：解析 (1)求平均寿命就是求寿命 T 的期望
23、 E(T)(2)为求厂家的期望收入，首先要求出收入函数 y，再依期望定义求之设(X，Y)f(x，y)= （分数：11.00）(1).求联合分布函数 F(x，y)（分数：5.50）_正确答案：(f(x，y)的非零定义域为下图阴影所示当 x0 或 y0 时，F(x，y)=0；当 0x1，0yx 时，F(x，y)= ；当 0x1，yx 时，F(x，y)= ；当 x1，0y1 时，；当 x1，y1 时，F(x，y)=1，综上所述， )解析：(2).求*（分数：5.50）_正确答案：(当 0x1 时，f X(x)= 3xdy=3x2，则当 0x1 时，于是 )解析：解析 (1)可依据分分布数的定义分段求出即可；(2)先求 fY|X(y|x)，然后利用 fY|X(y|x)再计算
