1、考研数学三-168 及答案解析(总分：154.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在 x=x0的某邻域内存在二阶导数，且 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 A是三阶矩阵，有特征值 1=0， 2=1， 3=-1对应的特征向量分别是 1， 2， 3，则非齐次线性方程组 AX= 2+ 3的通解是 ( )（分数：4.00）A.k1 1+k2 2+ 3B.)k1 1+k2 3+ 2C.k 1- 2+ 3D.k 1+ 2- 33. （分数：4.00）A.B.C.D.4.设随机变量 X的分布函数为 F(x)，则不能作分布函数的有 ( )（分数：4.0
2、0）A.F2(x)B.C.F(x+x3)(I)F(x 2)5.设 ，则AB （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 f(x)与 g(x)在 x=0的某去心邻域内有定义，并且当 x0 时 f(x)与 g(x)都与 x为同阶无穷小则当x0 时， ( )（分数：4.00）A.f(x)-g(x)必是 x的同阶无穷小B.f(x)-g(x)必是 x的高阶无穷小C.f(g(x)必是 x的同阶无穷小D.f(g(x)必是 x的高阶无穷小7. 在 x=2处条件收敛，则 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 f(x)为连续函数，a 是常数，下述命题正确的是 ( )（分数：4.00）A.若 f(t)为奇函数，B
3、.若 f(t)为偶函数，C.若 f(t)为奇函数D.若 f(t)为偶函数，二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 y(x)是微分方程 y“+(x+1)y+x2y=x，的满足 y(0)=0y(0)=1 的解并设 （分数：4.00）填空项 1:_10. （分数：4.00）填空项 1:_11.设函数 f(x)在(0，+)上连续，且对任意正值 a与 b积分 （分数：4.00）填空项 1:_12. （分数：4.00）填空项 1:_13.A是二阶矩阵，有特征值 1=1， 2=2，B=A 2-3A-E，则 B=kE其中 k=_（分数：4.00）14.设随机变量 X服从参数为 1的指数分布 E(1)
4、，则随机变量 Y=X+1的概率密度函数为 fY(y)_（分数：4.00）_三、解答题(总题数：9，分数：98.00)15.过坐标原点作曲线 y=ex的切线，该切线与曲线 y=ex及 x轴围成的向 x轴负向无限伸展的平面图形记为D()求 D的面积；()求 D绕直线 x=1旋转所成旋转体体积 V（分数：10.00）_16.求不定积分 （分数：10.00）_17.设 ，其中 f，g， 在其定义域内均可微，求 （分数：10.00）_18.设 f(x)在区间(O1)内可导，且导函数 f(x)有界，证明：（分数：10.00）_19.某人向银行贷款购房，货款 A0(万元)，月息 r，分 n个月归还，每月归还
5、货款数相同，为 A(万元)(此称等额还贷，目前各银行都采用这个办法还贷)设至第 t个月，尚欠银行 yt(万元)()试建立 yt，关于 t的一阶差分方程并求解；()利用 t=n时 yt=0，建立每月应向银行还贷 A(万元)依赖于 n的计算公式（分数：10.00）_20.已知 A是三阶矩阵，A 的每行元素之和为 3，且线性齐次方程组 AX=0有通解 k11，2-2T+k22，1，2 T，=1，1，1 T其中 k1，k 2是任意常数()证明：对任意的一个三维向量 ，向量 A 和 线性相关；()若 =3，6，-3 T，求 A（分数：11.00）_21.设 A= T+ T，其中 ， 是相互正交的三维单位
6、列向量()求|A|()验证 +，- 是 A的特征向量()证 A，并求 （分数：11.00）_22.设随机变量 （分数：15.00）_23.设随机变量 和随机变量 YN(0，1)，且 X与 Y相互独立令Z=(X-1)Y，记(Y，Z)的分布函数为 F(y，z)求：()Z 的分布函数 FZ(z)；()F(1，1)的值，已知 （分数：11.00）_考研数学三-168 答案解析(总分：154.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在 x=x0的某邻域内存在二阶导数，且 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：*2.设 A是三阶矩阵，有特征值 1=0， 2
7、=1， 3=-1对应的特征向量分别是 1， 2， 3，则非齐次线性方程组 AX= 2+ 3的通解是 ( )（分数：4.00）A.k1 1+k2 2+ 3B.)k1 1+k2 3+ 2C.k 1- 2+ 3D.k 1+ 2- 3 解析：由题设条件知 A 1=0 1=0，A 2= 2，A 3=- 3且 A有三个不同的特征值故*故 r(A)=2方程组 AX= 2+ 3通解的结构形式为k+其中， 是对应的齐次方程的解 是非齐次方程的特解由题设条件，AX=0 有解 1，AX= 2有解 2，AX=- 3有解 3，故可取 = 1，= 2- 3即 AX= 2+ 3的通解为 k 1+ 2- 3应选(D)3. （
8、分数：4.00）A.B.C. D.解析：*4.设随机变量 X的分布函数为 F(x)，则不能作分布函数的有 ( )（分数：4.00）A.F2(x)B.C.F(x+x3)(I)F(x 2)解析：分布函数 F(X)应满足充要条件：F(x)单调不减；*F(x)右连续不难验证(A)，(B)，(C)选项的函数均满足上述三条件而对 F(x2)，有*，不满足充要条件(2)故 F(x2)不能作为分布函数5.设 ，则AB （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：将 A的 1，3 行互换，且 1，3 列互换得 B，即*6.设 f(x)与 g(x)在 x=0的某去心邻域内有定义，并且当 x0 时 f(x)与 g(x
9、)都与 x为同阶无穷小则当x0 时， ( )（分数：4.00）A.f(x)-g(x)必是 x的同阶无穷小B.f(x)-g(x)必是 x的高阶无穷小C.f(g(x)必是 x的同阶无穷小 D.f(g(x)必是 x的高阶无穷小解析：*(A)的反例：f(x)=x+x 2，g(x)=x 当 x0 时，f(x)与 g(x)均为 x的同阶无穷小，而 f(x)-g(x)=x2为 x的高阶无穷小不选(A)(B)的反例：f(x)=2x，g(x)=x当 x0 时 f(x)与 g(x)均为 x的同阶无穷小，不选(B)选了(C)当然不选(D)7. 在 x=2处条件收敛，则 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：*8
10、.设 f(x)为连续函数，a 是常数，下述命题正确的是 ( )（分数：4.00）A.若 f(t)为奇函数，B.若 f(t)为偶函数，C.若 f(t)为奇函数 D.若 f(t)为偶函数，解析：设 F(t)是 f(t)的一个原函数，由于 f(t)是奇函数，所以 f(t)的任一原函数是偶函数*因 F(x)为偶函数，所以 xF(x)为 x的奇函数；F(y)为偶函数，所以*为 x的奇函数，所以*为 x的奇函数(C)正确至于(A)，(B)，(C)，(D)为什么不正确请读者论证之二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 y(x)是微分方程 y“+(x+1)y+x2y=x，的满足 y(0)=0y(0)
11、=1 的解并设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*10. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*11.设函数 f(x)在(0，+)上连续，且对任意正值 a与 b积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*12. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*13.A是二阶矩阵，有特征值 1=1， 2=2，B=A 2-3A-E，则 B=kE其中 k=_（分数：4.00）解析：A 是二阶矩阵，有两个不同的特征值 1=1， 2=2，故存在可逆阵 P，使得*14.设随机变量 X服从参数为 1的指数分布 E(1)，则随机变量 Y
12、=X+1的概率密度函数为 fY(y)_（分数：4.00）_解析：Y 的分布FY(y)=PYy三、解答题(总题数：9，分数：98.00)15.过坐标原点作曲线 y=ex的切线，该切线与曲线 y=ex及 x轴围成的向 x轴负向无限伸展的平面图形记为D()求 D的面积；()求 D绕直线 x=1旋转所成旋转体体积 V（分数：10.00）_正确答案：(设切点坐标为 P(x0，y 0)，于是曲线 y=ex在点 P的切线斜率为*切线方程为*()取水平条为 A的面积元素，*()D 绕直线 x=1旋转一周所成的旋转体体积微元为*从而 *)解析：16.求不定积分 （分数：10.00）_正确答案：(*)解析：17.
13、设 ，其中 f，g， 在其定义域内均可微，求 （分数：10.00）_正确答案：(复合关系复杂，又夹有隐函数微分法，用微分形式不变性做方便由 z=f(x，y)，有dz=f1dx+f2dy (*)*这里设分母不为 0)解析：18.设 f(x)在区间(O1)内可导，且导函数 f(x)有界，证明：（分数：10.00）_正确答案：(*)解析：19.某人向银行贷款购房，货款 A0(万元)，月息 r，分 n个月归还，每月归还货款数相同，为 A(万元)(此称等额还贷，目前各银行都采用这个办法还贷)设至第 t个月，尚欠银行 yt(万元)()试建立 yt，关于 t的一阶差分方程并求解；()利用 t=n时 yt=0
14、，建立每月应向银行还贷 A(万元)依赖于 n的计算公式（分数：10.00）_正确答案：()设至第 t个月欠贷 yt(万元)，经一个月本息共计欠贷(1+r)y t(万元)，还了 A(万元)，尚欠(1+r)yt-A=yt+1，即 y t+1-(1+r)yt=-A此为一阶常系数线性差分方程，解之得通解*()因 t=n时 yt=0代入上式，得*这就是按月应还贷的数额)解析：20.已知 A是三阶矩阵，A 的每行元素之和为 3，且线性齐次方程组 AX=0有通解 k11，2-2T+k22，1，2 T，=1，1，1 T其中 k1，k 2是任意常数()证明：对任意的一个三维向量 ，向量 A 和 线性相关；()若
15、 =3，6，-3 T，求 A（分数：11.00）_正确答案：()由题条件，A 的每行元素之和为 3，则*即 A有特征值 1=3，对应的特征向量为 1=1，1，1 TAx=0有通解 k 11，2，-2 T+k22，1，2 T知 A有特征值 2= 3=0，对应的特征向量为 2=1，2，-2 T， 32，1，2 T因 1， 2 3线性无关，故任意三维向量 均可由 1， 2， 3线性表出，设=x 1 1+x2 2+x3 3，从而有*得证 A 和 线性相关()当 =3，6，-3 T时令 =x 1 1+x2 2+x3 3，即解非齐次线性方程组*对(*)的增广矩阵作初等行变换，得*)解析：注 初等行变换中第
16、二个矩阵为台阶形，可直接求解(先求 x2)21.设 A= T+ T，其中 ， 是相互正交的三维单位列向量()求|A|()验证 +，- 是 A的特征向量()证 A，并求 （分数：11.00）_正确答案：()因 r(A)=r(a T+ T)r(a T)+r( T)r()+r()2故|A|=0。()因已知 aT= T=0， T= T=1，故A(+)=(a T+ T)(+)= T(+)+ T(+)=( T)+( T)+( T)+( T)=+故 + 是 A的对应于 =1 的特征向量同理 A(-)=(a T+ T)(-)=a T-a T+ T- T=-+=-(-)，故 - 是 A的对应于 =-1 的特征向
17、量()由()，|A|=0，A 有 1=0由(2)，A 有 2=1， 3=-1A有三个互不相同的特征值，故*)解析：22.设随机变量 （分数：15.00）_解析：分析 *cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)，已知 cov(X，Y)，就可以求出 E(XY)，而 XY的取值也一定为 0，1，E(XY)=1PXY=1+0PxY=0=PXY=123.设随机变量 和随机变量 YN(0，1)，且 X与 Y相互独立令Z=(X-1)Y，记(Y，Z)的分布函数为 F(y，z)求：()Z 的分布函数 FZ(z)；()F(1，1)的值，已知 （分数：11.00）_正确答案：()可以用全概率公式推导 Fz(z)：Fz(z)=PZz=P(X-1)Yz=PX=0P(X-1)Yz |X=0+PX=1P(X-1)Yz|X=1+PX=2P(X-1)Yz|X=2*()*)解析：*YN(0，1)，设标准正态分布的分布函数为 (x)而 Z=(X-1)Y是离散型与连续型随机变量之积，讨论 Fz(z)=PZz，可将 X=0，1，2 分情况讨论*
