1、考研数学三-167 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设曲线 y= （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x)的导数在点 x=a 处连续，又 （分数：4.00）A.B.C.D.3.二元函数 f(x，y)= （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f(x)连续，则 =_A f(t)(t-x)dt B f(x)(x-t)dxC f(t)(x-t)dt D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A= ，B=则必有_P1= ，P 2= （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 1， 2， 3， 4为四维非零列向量，A= 1
2、， 2， 3， 4，A *为 A 的伴随矩阵，又知方程组AX=0 的基础解系为-1，0，2，0 T，则方程组 A*X=0 的基础解系为_A 1， 2，a 3 B 1+ 2， 2+ 3， 3+ 1C 2， 3， 4 D 1+ 2， 2+ 3， 3+ 4， 4+ 1（分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从正态分布 N(0，1)则_AP(X+Y0)=1/4 BP(X-Y0)=1/4CP(max(X，Y)0)=1/4 DP(min(X，Y)0)=1/4（分数：4.00）A.B.C.D.8.将一枚硬币随意投掷 n 次，设 Xn表示“正面”出现的次数，(x)为标准正
3、态分布的分布函数，则_A BC D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.由曲线 x2+(y-2a)2a 2所围成平面图形绕 x 轴旋转得到的旋转体体积等于_（分数：4.00）填空项 1:_11.已知 f(x)=arctan(x-1)2，f(0)=0，则 （分数：4.00）填空项 1:_12.设 z=z(u)，且 u=(u)+ ，其中 z(u)为可微函数，且 (u)连续，(u)1，p(t)连续，则（分数：4.00）填空项 1:_13.A，B 均是 n 阶矩阵，且 A2-2AB=E，则秩 r(AB-BA+A)=_（
4、分数：4.00）填空项 1:_14.设 X，Y 为相互独立的随机变量，且 XN(1，2)，Y 服从参数 =3 的泊松分布，则 D(XY)=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，当 x0 时，f(x)0证明对任意自然数 k，存在 (0，1)，使（分数：11.00）_16.求方程 y“+y=4sinx 的通解（分数：10.00）_17.计算 ，D 是下图中的阴影区域（分数：10.00）_已知某产品总产量的变化率为（分数：15.00）(1).投产多少年后可使平均产量达最大值，此最大值是多少?（分
5、数：7.50）_(2).在达到平均年产量最大时，再生产 3 年，求这 3 年的平均年产量（分数：7.50）_18.设 f(x)在(0，+)内连续，f(1)=3，且（分数：5.00）_19.设有 2 个四元齐次线性方程组：() () （分数：10.00）_设 A 为三阶矩阵，有三个不同特征值 1， 2， 3，对应的特征向量依次为 1， 2， 3，令= 1+ 2+ 3（分数：11.01）(1).证明： 不是 A 的特征向量（分数：3.67）_(2).，A，A 2 线性无关（分数：3.67）_(3).若 A3=A，计算行列式|2A+3E|（分数：3.67）_设 X1，X 2，X n是取自总体 X 的
6、简单随机样本，X 的概率密度为（分数：11.00）(1). 的矩估计（分数：5.50）_(2).检验所得矩估计是否为无偏估计（分数：5.50）_设随机变量 X 服从(0，2)上的均匀分布，Y 服从参数 =2 的指数分布，且 X，Y 相互独立，记随机变量Z=X+2Y.（分数：11.00）(1).求 Z 的概率密度（分数：5.50）_(2).求 E(Z)，D(Z)（分数：5.50）_考研数学三-167 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设曲线 y= （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 利用渐近线的下述定义求之：若 f(x)
7、=c，则 y=c 为曲线 y=f(x)的水平渐近线；若 f(x)=，则 x=x0为曲线 y=f(x)的铅直渐近线；若 ， ，则 y=ax+b 为斜渐近线因为 于是，x=0 是曲线的一条铅直渐近线又因为 ，于是，y=x 是曲线的一条斜渐近线又因为2.设 f(x)的导数在点 x=a 处连续，又 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 解一 因 f(x)的导数在点 x=a 处连续， ，故 f(a)=0，且 f“(a)=-2由二阶导数判别法知，点 x=a 是 f(x)的极大值点仅 B 入选解二 由 可知，在 x=a 的近邻域内当 xa 时，f(x)0，当 xa 时，f(x)0，由一阶导数判别法
8、即知仅 B 入选注意 一般若 f(x)连续，则3.二元函数 f(x，y)= （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 先求极限，再求偏导数即可判别因 与 k 值有关，故该极限不存在，从而 f(x，y)在点(0，0)处不连续，排除 A、B，但偏导可能存在事实上，4.设 f(x)连续，则 =_A f(t)(t-x)dt B f(x)(x-t)dxC f(t)(x-t)dt D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 利用分部积分法求之5.设 A= ，B=则必有_P1= ，P 2= （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 利用初等变换与初等矩阵关系求之AP2表示将 A 的第 3
9、 列乘以 1 加到第 2 列得到AP2=(AP2)P1表示将 AP2的第 1 列与第 3 列对调得到(AP2)P1=6.设 1， 2， 3， 4为四维非零列向量，A= 1， 2， 3， 4，A *为 A 的伴随矩阵，又知方程组AX=0 的基础解系为-1，0，2，0 T，则方程组 A*X=0 的基础解系为_A 1， 2，a 3 B 1+ 2， 2+ 3， 3+ 1C 2， 3， 4 D 1+ 2， 2+ 3， 3+ 4， 4+ 1（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由 AX=0 的基础解系所含解向量个数为 1 知，n-r(A)=4-r(A)=1，故 r(A)=3因而可确定 r(A*)
10、=1，于是 A*X=0 的一个基础解系含 3 个解向量解一 由 AX=0 的基础解系仅含有一个解向量知，r(A)=3，从而 r(A*)=1，于是方程组 A*X=0 的基础解系中仅含 3 个解向量又 A*A=A* 1， 2， 3， 4=|A|E=O，所以向量 1， 2， 3， 4是方程组 A*X=0 的解，因为1，0，2，0 T是 AX=O 的解，故有 1+2 3=0，即 1， 3线性相关，从而向量组 1， 2， 3和向量组 1， 2， 3， 4均线性相关，故排除 A、B、D仅 C 入选解二 由解一知， 1， 2， 3， 4均为 A*X=0 的解向量，且其基础解系只含 3 个解向量由 1+2 3
11、=0得 1=0 2-2 3+0 4，即 1可由 2， 3， 4线性表示，又r( 1， 2， 3， 4)=3，所以 2， 3， 4线性无关，即 2， 3， 4为 A*X=0 的一个基础解系仅 C 入选7.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从正态分布 N(0，1)则_AP(X+Y0)=1/4 BP(X-Y0)=1/4CP(max(X，Y)0)=1/4 DP(min(X，Y)0)=1/4（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 首先求出 X+Y 与 X-Y 的分布，如果 X+YN(， 2)，则 P(X+Y)=1/2 这个结论经常用到求与 max(X，Y)或 min(X，Y)有关的概率常用
12、下述事件分解法求之：max(X，Y)c=Xc+Yc，min(X，Y)c=Xc+Yc解一 记事件 A=X0，B=Y0，则 A 与 B 相互独立，且，故 P(max(X，Y)0)=P(X0)Y0)=P(AB)=1-=1-=1-因 X，Y 独立，且 XN(0，1)，YN(0，1)，故 X+YN(0，2)， X-YN(0，2)，于是 P(X+Y0)= ，P(X-Y0)= 因此 P(X+Y0)=1-P(X+Y0)=1 ，P(X-Y0)=8.将一枚硬币随意投掷 n 次，设 Xn表示“正面”出现的次数，(x)为标准正态分布的分布函数，则_A BC D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 利用项分
13、布的中心极限定理(棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理)判别之由题设有 XnB(n，1/2)由二项分布的中心极限定理得到，即二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 先将分子有理化，再利用无穷小等价代换或直接用洛必达法则求之解一 原式=解二 原式=10.由曲线 x2+(y-2a)2a 2所围成平面图形绕 x 轴旋转得到的旋转体体积等于_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：4 2a3）解析：解析 按 x 轴上的曲边梯形绕 x 轴旋转所得旋转体体积公式计算即可Vx= 其中 y1=2a+ ，y 2=2a-11.已知 f(x)=ar
14、ctan(x-1)2，f(0)=0，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 利用题设将 f(x)化为变限积分，从而将所求定积分化为二重积分求之f(x)=f(x)-f(0)= f(t)dt=则其中积分区域(见下图)D=(t，x)|0tx，0x1交换上述二重积分的积分次序得到12.设 z=z(u)，且 u=(u)+ ，其中 z(u)为可微函数，且 (u)连续，(u)1，p(t)连续，则（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 给出隐函数 u 及其自变量 x，y 所满足的等式，为求有关偏导数，常利用此式设出辅助函数F(x，y，u)=0，再利用有关公式求出
15、相关的偏导数 设 F(x，y，u)=u-(u)- ，则Fu=1-(u)，F x=p(x)，F y=-p(y)=p(y)，又故13.A，B 均是 n 阶矩阵，且 A2-2AB=E，则秩 r(AB-BA+A)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：n）解析：解析 利用可逆矩阵性质：由 A(A-2B)=E，得到(A-2B)A=E，从而 AB=BA由于 A(A-2n)=E，且 A，A-2B 均是 n 阶矩阵知，A 可逆，且 A-2B 是 A 的逆矩阵，故A(A-2B)=(A-2B)A=E，即 A2-2AB=A2=2BA，可见 AB=BA，从而 r(AB-BA+A)=r(A)-n14.设 X，
16、Y 为相互独立的随机变量，且 XN(1，2)，Y 服从参数 =3 的泊松分布，则 D(XY)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：27）解析：解析 利用公式 D(XY)=E(XY)2-E(XY)2求之由题设易知E(X)=1，D(X)=2，E(Y)=D(Y)=3因 D(XY)=E(XY)2-E(XY)2=E(X2Y2)=E(XY)2，又 X，Y 独立，故有E(X2Y2)=E(X2)E(Y2)，E(XY)=E(X)E(Y)=13=3于是 E(X2Y2)=E(X2)E(Y2)=D(X)+(E(X)2D(Y)+(E(Y)2=312=36故 D(XY)=E(X2Y2)=E(XY)2=36-9
17、=27三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，当 x0 时，f(x)0证明对任意自然数 k，存在 (0，1)，使（分数：11.00）_正确答案：(证明 令 F(x)=f(x)f(1-x)k，则F(1)=f(1)f(0)k=0，F(0)=f(0)f(1) k=0由罗尔定理知，存在 (0，1)使得 F()=0，即f()f(1-) k-kf(1-) k-1f(1-)f()=0整理即得 )解析：解析 将上式中的 改为 x，并将上式改写为f(x)f(1-x)-kf(x)f(1-x)=0令 g(x)=f(1-x)k，应作辅助函数 F(x
18、)=f(x)g(x)，则F(x)=f(x)g(x)=f(x)f(1-x)k=f(x)f(1-x)k-kf(1-x)k-1f(1-x)f(x)16.求方程 y“+y=4sinx 的通解（分数：10.00）_正确答案：(对应的齐次方程的特征方程为 r2+1=0，解得 r=i，则齐次方程的通解为Y=C1cosx+C2sinx.因 0i=i 为特征方程的根，故所给方程的特解形式为y*=x(acosx+bsinx)=axcosx+bxsinx，代入原方程并比较两边的系数得a=-2，b=0所以 y*=-2xcosx于是所给方程的通解为y=Y+y*=C1cosx+C2sinx-2xcosx.)解析：17.计
19、算 ，D 是下图中的阴影区域（分数：10.00）_正确答案：(设 D1为大图，D 2为小图，则)解析：解析 区域 D 可视为两圆域之差(见上图)，从而所求积分可化为两圆域上的二重积分之差，且用极坐标系计算已知某产品总产量的变化率为（分数：15.00）(1).投产多少年后可使平均产量达最大值，此最大值是多少?（分数：7.50）_正确答案：(t 年后平均年产量为令 ，得唯一驻点 t=3因当 t3 时， 0；当 t3 时， 0，故 t=3 为极大值点因驻点唯一，该点也是最大值点，最大值为 )解析：(2).在达到平均年产量最大时，再生产 3 年，求这 3 年的平均年产量（分数：7.50）_正确答案：(
20、 )解析：解析 首先要算出 t 年后平均年产量的表示式，再按微积分中的一般方法求出极(最)大值点即可18.设 f(x)在(0，+)内连续，f(1)=3，且（分数：5.00）_正确答案：(在等式两边依次对 x，y 求导，有yf(xy)= f(t)dt+yf(x)，xf(xy)=xf(y)+ f(t)dt 在式两边对 x 求导得到f(xy)+xyf(xy)=f(y)+f(x) 取 x=1，由式得到f(y)+yf(y)=f(y)+3，得 f(y)= )解析：解析 在所给等式两边分别对 x，y 求导为去掉积分号需对 x 两次求导，再将 f(1)=3 代入化为f(y)所满足的一阶微分方程解之，求得 f(
21、y)，即 f(x)19.设有 2 个四元齐次线性方程组：() () （分数：10.00）_正确答案：(和()的公共解，可以用下列几种方法求之法一 把()、()联立起来直接求解设联立方程组的系数矩阵为 A，用初等行变换将其化为含最高阶单位矩阵的矩阵，直接写出其基础解系(参阅本书试卷一第 21 题)，从而求出所有的非零公共解由于 n-r(A)=4-3=1，基础解系是-1，1，2，1 T，从而方程组()、()有公共解，且所有的非零公共解为k-1，1，2，1 T，k 是任意非零实数法二 通过()与()各自的通解寻找公共解为此，先求方程组()的基础解系为 1=0，1，1，0 T， 2=-1，-1，0，1
22、 T下求方程组()的基础解系由 知，其基础解系含 2 个解向量： 1=0，0，1，0 T， 2=-1，1，0，1 T那么 k1 1+k2 2，l 1 1+l2 2分别是()、()的通解，令其相等，则有k10，0，1，0 T+k2-1，1，0，1 T=l10，1，1，0 T+l2-1，-1，0，1 T，由此得-k 2，k 2，k 1，k 2T=-l2，l 1-l2，l 1，l 2T比较两个向量对应分量得到 k1=l1=2k2=2l2，所有非零公共解是2k20，0，1，0 T+k2-1，1，0，1 T=k2-1，1，2，1 T，其中 k2为非零任意常数法三 可以把一方程组的通解代入另一方程组寻找任
23、意常数所满足的关系式，从而求出公共解为方便计，将方程组()的通解c1 1+c2 2=0，c 1，c 1，0 T+-c2，-c 2，0，c 2T=-c2，c 1-c2，c 1，c 2T代入方程组()，得到)解析：解析 两个齐次线性方程组的公共解可用多种方法求得设 A 为三阶矩阵，有三个不同特征值 1， 2， 3，对应的特征向量依次为 1， 2， 3，令= 1+ 2+ 3（分数：11.01）(1).证明： 不是 A 的特征向量（分数：3.67）_正确答案：(证一 假设 为 A 的特征向量，则存在 0，使 A= 0，即得( 1- 0) 1+( 2- 0) 2+( 3- 0) 3=0由 1， 2， 3
24、线性无关知从而有 1= 2= 3，这与已知条件矛盾，因此 不是 A 的特征向量证二 因 1， 2， 3是属于不同特征值的特征向量，故 1+ 2+ 3必不是 A 的)解析：解析 可用反证法证之(2).，A，A 2 线性无关（分数：3.67）_正确答案：(设 k1 1+k2A+k 3A2=0，则 )解析：解析 用线性无关定义证明(3).若 A3=A，计算行列式|2A+3E|（分数：3.67）_正确答案：(由题设有A，A，A 2=A，A 2，A 3=A，A 2，A=，A，A 2 ，令 P=，A，A 2，则 P 可逆，且，于是 P-1(2A+3E)P=2B+3E，从而|2A+3E|=|2B+3E|=
25、)解析：解析 因 ，A，A 2 线性无关，用矩阵表示法可求出 A 的相似矩阵 B，由|A|=|B|得|2B+3E|=|2A+3E|设 X1，X 2，X n是取自总体 X 的简单随机样本，X 的概率密度为（分数：11.00）(1). 的矩估计（分数：5.50）_正确答案：(因而样本二阶矩为 ，故 的矩估计量为，即 )解析：(2).检验所得矩估计是否为无偏估计（分数：5.50）_正确答案：(= ，故而显然 ，即 ，而 = 2，故 2- 0，也就是说 ， ， )解析：设随机变量 X 服从(0，2)上的均匀分布，Y 服从参数 =2 的指数分布，且 X，Y 相互独立，记随机变量Z=X+2Y.（分数：11
26、.00）(1).求 Z 的概率密度（分数：5.50）_正确答案：(由题设 X，Y 相互独立，且故先求 Z 的分布函数(参考下图)当 z0 时，F Z(z)=0；当 0z2 时，当 z2 时，所以于是 )解析：解析 先求 Z 的分布函数，根据 Z 的取值范围分段求出，再求概率密度(2).求 E(Z)，D(Z)（分数：5.50）_正确答案：(直接用期望、方差的运算性质计算由于E(X)=1，D(X)= ，E(Y)= ，D(Y)= ，且 X，Y 相互独立，故E(Z)=E(X+2Y)=E(X)+2E(Y)=1+1=2，D(Z)=D(X+2Y)=D(X)+4D(Y)= )解析：解析 利用 X，Y 的期望和方差的运算法则求之，不宜用 Z 的密度函数用定义法求 E(Z)和 D(Z)
