1、考研数学三-166 及答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设 f(x)为不恒等于零的奇函数,且 f(0)存在,则函数 (分数:4.00)A.B.C.D.2.函数 (分数:4.00)A.B.C.D.3.曲线 (分数:4.00)A.B.C.D.4.设 un是数列,则下列命题正确的是(A) 若 收敛,则 收敛(B) 若 收敛,则 收敛(C) 若 收敛,则 收敛(D) 若 收敛,则 (分数:4.00)A.B.C.D.5.n 阶矩阵 A 具有 n 个不同的特征值是 A 与对角矩阵相似的(A) 充分必要条件 (B) 充分而非必要条件(C) 必要
2、而非充分条件 (D) 既非充分也非必要条件(分数:4.00)A.B.C.D.6.设 A,B,C 均为 n 阶矩阵,E 为 n 阶单位矩阵,若 B=E+AB,C=A+CA,则 B-C 为(A) E (B) -E (C) A (D) -A(分数:4.00)A.B.C.D.7.设 A、B 为随机事件,且 P(B)0,P(A|B)=1,则必有(A) P(AB)P(A) (B) P(AB)P(B)(C) P(AB)P(A) (D) P(AB)P(B)(分数:4.00)A.B.C.D.8.设总体 X 服从参数为 (0)的泊松分布,X 1,X 2Xn(n2)为来自该总体的简单随机样本则对于统计量(分数:4.
3、00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.设可导函数 y=y(x)由方程 确定,则 (分数:4.00)填空项 1:_10.函数 ,则积分 (分数:4.00)填空项 1:_11.微分方程 。满足 (分数:4.00)填空项 1:_12.设某产品的需求函数为 QQ(P),其对价格 P 的弹性 p=0.2则当需求量为 10000 件时,价格增加 1元会使产品收益增加_元(分数:4.00)填空项 1:_13.二次型 f(x1,x 2,x 3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2的秩为_(分数:4.00)填空项 1:_14.设二维随机变量(X,Y)服从正态分布
4、N(,; 2, 2;0),则 cov(X,XY 2)=_(分数:4.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.求极限 (分数:10.00)_16.求二元函数 f(x,y)=x 2(2+y2)+ylny 的极值(分数:10.00)_17.计算二重积分 (分数:10.00)_18.证明方程 (分数:10.00)_19.已知函数 f(x)满足方程 f(x)+f(x)-2f(x)=0 及 f(x)+f(x)=2ex()求 f(x)的表达式()求曲线 (分数:10.00)_20.设四元齐次线性方程组()为(分数:11.00)_21.设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定,B 为 m
5、n 阶实矩阵,B T为 B 的转置矩阵,试证 BTAB 为正定矩阵的充分必要条件是矩阵 B 的秩 r(B)n(分数:11.00)_22.设二维随机变量(x,y)的概率密度为f(x,y)=Ae-2x2+2xy-y2,-x+,-y+,求常数 A 及条件概率密度 fY|X(y|x)(分数:11.00)_23.设随机变量 X 与 Y 相互独立,X 的概率分布为 PX=i= (i=-1,0,1),Y 的概率密度 ()求 (分数:11.00)_考研数学三-166 答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设 f(x)为不恒等于零的奇函数,且 f(0)
6、存在,则函数 (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 由题设,可推出 f(0)=0,再利用在点 x=0 处的导数定义进行讨论即可显然 x=0 为 g(x)的间断点,且由 f(x)为不恒等于零的奇函数知,f(0)=0于是有 存在,故 x=0 为可去间断点评注1本题也可用反例排除,例如 f(x)=x,则此时 可排除(A),(B),(C)三项,故应选(D)2若 f(x)在 x=x0处连续,则2.函数 (分数:4.00)A. B.C.D.解析:解析 如 f(x)在(a,b)内连续,且极限 存在,则函数 f(x)在(a,b)内有界当 x0,1,2 时,f(x)连续,而 , ,所以,函数 f(x)
7、在(-1,0)内有界,故选(A)评注一般地,如果函数 f(x)在闭区间a,b上连续,则 f(x)在闭区间a,b上有界;如果函数 f(x)在开区间(a,b)内连续,且极限3.曲线 (分数:4.00)A.B.C. D.解析:解析 由 ,知 x=1 为垂直渐近线;由 ,知 y=1 为水平渐近线;由4.设 un是数列,则下列命题正确的是(A) 若 收敛,则 收敛(B) 若 收敛,则 收敛(C) 若 收敛,则 收敛(D) 若 收敛,则 (分数:4.00)A. B.C.D.解析:解析 利用级数敛散性的性质若5.n 阶矩阵 A 具有 n 个不同的特征值是 A 与对角矩阵相似的(A) 充分必要条件 (B) 充
8、分而非必要条件(C) 必要而非充分条件 (D) 既非充分也非必要条件(分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 6.设 A,B,C 均为 n 阶矩阵,E 为 n 阶单位矩阵,若 B=E+AB,C=A+CA,则 B-C 为(A) E (B) -E (C) A (D) -A(分数:4.00)A. B.C.D.解析:解析 由由7.设 A、B 为随机事件,且 P(B)0,P(A|B)=1,则必有(A) P(AB)P(A) (B) P(AB)P(B)(C) P(AB)P(A) (D) P(AB)P(B)(分数:4.00)A.B.C. D.解析:解析 8.设总体 X 服从参数为 (0)的泊松分布,X
9、1,X 2Xn(n2)为来自该总体的简单随机样本则对于统计量(分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.设可导函数 y=y(x)由方程 确定,则 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:-1)解析:解析 先由方程求出 x=0 时 y=0,再两边对 x 求导,属基础题型由 ,令 x=0,得 y=0等式两端对 x 求导得, ,将 x=0,y=0 代入上式,10.函数 ,则积分 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案: )解析:解析 因为11.微分方程 。满足 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案: )解析:解析 本题为齐次方程的
10、求解,可令令 ,则原方程变为即 ,将 y|x=1=1 代入左式得 Ce,故满足条件的方程的特解为 ex12.设某产品的需求函数为 QQ(P),其对价格 P 的弹性 p=0.2则当需求量为 10000 件时,价格增加 1元会使产品收益增加_元(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:8000)解析:解析 设收益为 R,则 R=QP所以将 Q10000 代入有13.二次型 f(x1,x 2,x 3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2的秩为_(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:2)解析:解析 因为 f(x1,x 2,x 3)=2x21+2x22+2x23+2x1x2
11、-2x2x3+2x3x1二次型 f 的矩阵是易见秩 r(A)=2,故二次型 f 的秩为 2注意 若认为二次型的标准形是 f=y21+y22+y23,从而秩 r(f)=3 就错误了因为对于 而言,由于行列式14.设二维随机变量(X,Y)服从正态分布 N(,; 2, 2;0),则 cov(X,XY 2)=_(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案: 2( 2+ 2))解析:解析 cov(X,XY 2)E(X 2Y2)-EXE(XY2)由于 X 与 Y 相互独立,所以E(X2Y2)=EX2EY2DX+(EX) 2DY+(EY)2( 2+ 2)2E(XY2)EXEY 2( 2+ 2)总之 cov(
12、X,XY 2)=( 2+ 2)- 2( 2+ 2) 2( 2+ 2)三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.求极限 (分数:10.00)_正确答案:(分析 化为指数形式,用洛必达法则及等价无穷小替换解评注,本题是未定式 00型)解析:16.求二元函数 f(x,y)=x 2(2+y2)+ylny 的极值(分数:10.00)_正确答案:(分析 先求函数的驻点,再用二元函数取得极值的充分条件判断解)解析:17.计算二重积分 (分数:10.00)_正确答案:(分析 被积函数 f(x,y)=max(xy,1)是分区域函数,要利用积分的可加性分区域积分)解析:18.证明方程 (分数:10.00)_
13、正确答案:(分析 构造辅助函数,利用零点定理及函数的单调性判断根的个数证明令 则由 f(x)=0 得 ,显然 ,即 为一个实根当 时,f(x)0,则 f(x)在区间上单调递减;当 时,f(x)0,则 f(x)在区间 上单调递增,且所以,方程在 内还有一实根综上所述得方程恰有两个实根 )解析:19.已知函数 f(x)满足方程 f(x)+f(x)-2f(x)=0 及 f(x)+f(x)=2ex()求 f(x)的表达式()求曲线 (分数:10.00)_正确答案:(齐次线性微分方程 f“(x)+f(x)-2f(x)=0 的特征方程为:r 2+r-2=0,特征根为:r 1=1,r 2=2,因此齐次微分方
14、程的通解为:f(x)=C 1ex+C2e-2x于是 f(x)=C1ex-2C2e-2x,f“(x)=C 1ex+4C2e-2x,代入 f“(x)+f(x)=2ex得 2C1ex+5C2e-2x=2ex,从而 C1=1,C 2=0,故 f(x)=ex() )解析:20.设四元齐次线性方程组()为(分数:11.00)_正确答案:(对方程组()的系数矩阵作初等行变换,有得方程组()的基础解系为 1(5,-3,1,0) T, 2(-3,2,0,1) T(2)设 是方程组()和()的非零公共解,则x 1 1+x2 2+x 3 1-x4 2那么 x1 1+x2 2+x3 1+x4 40对系数矩阵 A( 1
15、, 2, 1, 2)作初等行变换,有由 0 x1,x 2,x 3,x 4不全为 0 r(A)4 a=-1当 a=-1 时得基础解系 1(-1,-1,1,0) T, 2(-4,-7,0,1) T所以 Ax0 的通解为k1 1+k2 2(-k 1-4k2,-k 1-7k2,k 1,k 2)T故方程组()和()的公共解)解析:21.设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定,B 为 mn 阶实矩阵,B T为 B 的转置矩阵,试证 BTAB 为正定矩阵的充分必要条件是矩阵 B 的秩 r(B)n(分数:11.00)_正确答案:(证 必要性设 BTAB 是正定矩阵,按正定定义恒有 XT(BTAB)X0 即(Bx)
16、 TA(Bx)0那么 恒有 Bx0从而齐次方程组 Bx=0 只有零解,故秩 r(B)=n充分性因为(B TAB)T=BTAT(BT)T=BTAB,知 BTAB 为实对称矩阵当秩 r(B)=n 时,Bx=0 只有零解,那么 恒有 Bx0因为 A 是正定矩阵,那么当 Bx0 时必有(Bx)TA(Bx)0,所以 )解析:22.设二维随机变量(x,y)的概率密度为f(x,y)=Ae-2x2+2xy-y2,-x+,-y+,求常数 A 及条件概率密度 fY|X(y|x)(分数:11.00)_正确答案:(解 方法一 常数 A 可以通过性质 来求而其中其实 fx(x)中带有常数 A,所以用 来求 A还不如用
17、来求 A.所以先求又由于 ,即当 fx(x)0 时,等价于当-x+时,评注 这方法中用了公式 ,此公式也可以从服从正态 N(0, )的密度函数 的积分等于 1来推出方法二 二维正态概率密度一般形式为对比本题所给二维密度 ,可知 1 20,且由此解得 和这时的边缘密度)解析:23.设随机变量 X 与 Y 相互独立,X 的概率分布为 PX=i= (i=-1,0,1),Y 的概率密度 ()求 (分数:11.00)_正确答案:(分析与解答 ()由于 X,Y 相互独立,且 y 在0,1)上均匀,故即()F z(z)PZz)一 PX+Yz)可以把“X=-1”,“X=0”和“X1”看成是一个完备事件组,用全概率公式:故 即评注本题主要考查条件概率和独立性的运用,关键在于)解析: