1、考研数学三-164 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)满足 f“(x)+xf(x) 2 =sinx，且 f(0)=0则 ( )（分数：4.00）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.在点(0，f(0)左侧邻域，曲线 y=f(x)是凹的，右侧邻域，曲线 y=(x)是凸的D.在点(0，f(0)左侧邻域，曲线 y=f(x)是凸的，右侧邻域，曲线 y=f(x)是凹的2.设 A，B 均是 n 阶实对称矩阵，则 A，B 是合同矩阵的充分必要条件是矩阵 A，B ( )（分数：4.00）A.有相同的特征
2、值B.有相同的秩C.有相同的正负惯性指数D.都是可逆矩阵3.设 f(x)征区间(-，+)上连续，且满足 （分数：4.00）A.B.C.D.4. （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，且当 x0 时 f(x)与,x m 为同阶无穷小，又设 x0 时， （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 A，B 为随机事件，满足条件 0P(A)1，0P(B)1，且 P(A-B)=0，则成立 ( )（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 A，B，C 均是 n 阶方阵，满足 A=BC7，将 A，B 以列分块，得（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 X1 ，X 2 ，
3、X n 是来自正态总体 XN(0， 2 )的简单随机样本记 已知 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）填空项 1:_10.某企业生产某产品，在单位时间上分摊到该产品的固定成本为 c0 元又设在单位时间内生产 x 件产品的边际成本为 ax+b(元/件)，a0，b0 均为常数则成本函数 c(x)=_（分数：4.00）填空项 1:_11.无穷级数 （分数：4.00）12.设函数 z=z(x，y)满足 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 A，B 均是 n 阶矩阵，满足 AB=A+B，则 r(AB-BA+A-E)=_（分数：4.00
4、）填空项 1:_14.设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 均服从标准正态分布，则随机变量 3X+4Y 的概率密度函数 f(x)的最大值等于 1（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.计算积分 （分数：10.00）_16.设 D=(x，y)|x 2+y2a 2，常数 a0，计算 （分数：10.00）_17.设 （分数：10.00）_18.过椭圆 （分数：10.00）_19.设 x 与 y 均大于 0 且 xy，证明： （分数：10.00）_20.(11 分)设向量 = 1， 2， nT，=b 1，b 2b nT都是非零向量，且 A= T()求 A2()求
5、 A 的特征值()什么条件下，A 能相似于对角阵?并说明理由（分数：11.00）_21.()设 n 维向量 1， 2， 3， 4线性无关 i= i+t 4，i=1，2，3，证明： 1， 2， 3对任意 t 都线性无关()设 n 维向量 1， 2， 3， 4满足 （分数：11.00）_22.设二维随机变量(X，Y)在区域 D 上服从均匀分布，其中D=(x，y)|x|+|y|1设 U=X+Y，V=X-Y，试求：()U 与 V 的概率密度 fU(u)与 fV(v)；()U 与 V 的协方差 cov(U，V)和相关系数 UV（分数：11.00）_23.设两随机变量 X 和 Y 相互独立，已知 X 服从
6、 分布，Y 服从 （分数：11.00）_考研数学三-164 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)满足 f“(x)+xf(x) 2 =sinx，且 f(0)=0则 ( )（分数：4.00）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.在点(0，f(0)左侧邻域，曲线 y=f(x)是凹的，右侧邻域，曲线 y=(x)是凸的D.在点(0，f(0)左侧邻域，曲线 y=f(x)是凸的，右侧邻域，曲线 y=f(x)是凹的 解析：由 f“(x)+x(f(x)2 =sinx 有 f“(x)=0再求f“(x)+(f(x
7、)2 +2xf(x)f“(x)=cosxf“(0)=1，所以*2.设 A，B 均是 n 阶实对称矩阵，则 A，B 是合同矩阵的充分必要条件是矩阵 A，B ( )（分数：4.00）A.有相同的特征值B.有相同的秩C.有相同的正负惯性指数 D.都是可逆矩阵解析：* 有相同的正负惯性指数(C)是充要条件(A)是充分但非必要条件(AB 是实对称阵，且有相同的 i ，则* ，反之不成立)(B)是必要条件，但不充分(* 存在可逆阵 C，使得* ，反之不成立)(D)是既不充分也非必要条件3.设 f(x)征区间(-，+)上连续，且满足 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：令 x-t=u 作积分变量变换，
8、得*4. （分数：4.00）A.B.C. D.解析：用反证法证明(C)正确*5.设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，且当 x0 时 f(x)与,x m 为同阶无穷小，又设 x0 时， （分数：4.00）A. B.C.D.解析：由 x0 时 f(x)与 xm 为同阶无穷小，从而知存在常数 A0，当 x0 时，f(x)Ax m 从而 f(xn )Ax nm 于是* 按题意，上式为不等于零的常数，故 k=mn+n6.设 A，B 为随机事件，满足条件 0P(A)1，0P(B)1，且 P(A-B)=0，则成立 ( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：* 所以应选(D)由 P(A-B)=0 得
9、不出* ，也就得不出* ，即(A)不正确由(B)得 P(A)P(B)，也就有 P(A)P(AB)，这与题设条件P(AB)P(A)P(AB)0 矛盾，故(B)也不正确*7.设 A，B，C 均是 n 阶方阵，满足 A=BC7，将 A，B 以列分块，得（分数：4.00）A.B. C.D.解析：因 B 中的第 1 列的 3 倍加到第 2 列，即* 即应将 C 的第 2 行的-3 倍加到第 1 行，故应选(B)8.设 X1 ，X 2 ，X n 是来自正态总体 XN(0， 2 )的简单随机样本记 已知 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：*二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4
10、.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：由表达式可见，除 x=0，x=1 外，f(x)均连续*10.某企业生产某产品，在单位时间上分摊到该产品的固定成本为 c0 元又设在单位时间内生产 x 件产品的边际成本为 ax+b(元/件)，a0，b0 均为常数则成本函数 c(x)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：在单位时间内生产 x 件产品的成本函数为 c(x)，边际成本就是 c(x)，已知* 从而* 由题设条件 c(0)=c0 (即不生产也应支出的固定成本)，于是知 c=c0 从而*11.无穷级数 （分数：4.00）解析：*12.设函数 z=z(x，y)满足 （分数：4
11、.00）填空项 1:_ （正确答案：* ，其中 c(y)为 y 的任意数）解析：题为一个含一阶偏导数的方程，但其中的偏导数仅是 z 对 x 的，不含* 所以整个式子可将 y 看成常数，因此可以看作 z 对 x 的常微分方程按一阶线性常微方程求解由通解公式，得* 因为惨个过程中，将 y 当做常数，所以对 x 解方程时，任意常数 c 也应该认为是 y 的任意函数 c(y)，它对 x 的导数为零13.设 A，B 均是 n 阶矩阵，满足 AB=A+B，则 r(AB-BA+A-E)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：n）解析：由题设条件 AB=A+B，得 AB-A=A(B-E)=BA(B-
12、E)-(B-E)=E，(A-E)(B-E)=E，从而知 A-E 和 B-E 是互逆矩阵且有(B-E)(A-E)=BA-A-B+E=E，BA=A+B，从而知 AB=BA，且 r(A-E)=r(B-E)=n，故r(AB-BA+A-E)=r(A-E)=n14.设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 均服从标准正态分布，则随机变量 3X+4Y 的概率密度函数 f(x)的最大值等于 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：XN(0，1)，YN(0，1)且相互独立，则 3X+4YN(0，25)，其概率密度为* ，所以 f(x)的最大值为*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.计算
13、积分 （分数：10.00）_正确答案：(x=2 为奇点，应分 1 至 2，2 到 3 积分*注 这里*的上限 2 及*的下限 2 都是极限形式的简写)解析：16.设 D=(x，y)|x 2+y2a 2，常数 a0，计算 （分数：10.00）_正确答案：(*)解析：注 1 利用区域 D 的 x 与 y 的轮换对称性可以化简计算，其定理如下：设 f(xy)在区域 D 上连续，且 D 关于 x 与 y 轮换对称，即 D 关于直线 y=x 对称，则*注 2 利用区域 D 关于某一坐标轴对称，且 f(x，y)具有对于另一坐标变量的奇、偶性，可以化简计算，其定理如下：(1)设 f(xy)在 D 上连续，D
14、 关于 x 轴对称，D 1是 D 中位于 y0 部分，则有*(2)设 f(xy)在 D 上连续，D 关于 y 轴对称，D 3是 D 中位于 x0 部分，则有*17.设 （分数：10.00）_正确答案：(*由求收敛半径的方法，*所以收敛半径 R=1收敛区间=收敛域=(-1，1)在收敛域内，记和函数为 S(x)，*从而*)解析：注 由 F(x)=f(x)，则*18.过椭圆 （分数：10.00）_正确答案：(*由*)解析：19.设 x 与 y 均大于 0 且 xy，证明： （分数：10.00）_正确答案：(解 不妨认为 yx0因若 xy0，则变换所给式子左边的 x 与 y，由行列式性质知，左边不变*
15、)解析：20.(11 分)设向量 = 1， 2， nT，=b 1，b 2b nT都是非零向量，且 A= T()求 A2()求 A 的特征值()什么条件下，A 能相似于对角阵?并说明理由（分数：11.00）_正确答案：(*方法二 直接利用特征值，特征向量的定义A= T=，(*)由(*)，若 T=0，因 0，则得 =0；若 T0，(*)两边左乘 T，得 T T=( T)( T)=( T)， T0，得*方法三 利用特征方程|E-A|=0*则可得*()A= T，0，0，故 r(A)=1当*(即向量 ， 正交时)，=0 是 n 重根，而 AX=0 只有 n-1 个线性无关特征向量，A 不能相似于对角阵当
16、*时，r(A)=1， n是单根=0 是 n-1 重根，AX=0 有 n-1 个线性无关特征向量(A 总共有 n 个线性无关特征向量)，A 相似于对角阵且*)解析：*处是将左端行列式折项共得 2n个，且右端 2n个行列式中凡含有两个或两个以上第 2 公式的行列式均为零)21.()设 n 维向量 1， 2， 3， 4线性无关 i= i+t 4，i=1，2，3，证明： 1， 2， 3对任意 t 都线性无关()设 n 维向量 1， 2， 3， 4满足 （分数：11.00）_正确答案：()设有数是 k1，k 2，k 3使得k1 1+k2 2+k3 3=0，代入已知条件。得k1( 1+t 4)+k2( 2
17、+t 4)+k3( 3+t 4)=0，整理得*因已知 1， 2， 3， 4线性无关，故上式成立，当且仅当*即当且仅当 k1=k2=k3=0，故对任意 t， 1， 2， 3都线性无关()设有数 k1，k 2，k 3，k 4，使得k1 1+k2 2+k3 3+k4 4=0代入已知条件得k1( 1+ 1)+k 1( 2+2 2)+k 3( 3+3 3)+k 4( 4+4 4)=0，*故 1， 2， 3， 4满足 1+4 2+9 3+16 4=0 时，对任意向量 ，向量组 1， 2， 3， 4均线性相关)解析：22.设二维随机变量(X，Y)在区域 D 上服从均匀分布，其中D=(x，y)|x|+|y|1
18、设 U=X+Y，V=X-Y，试求：()U 与 V 的概率密度 fU(u)与 fV(v)；()U 与 V 的协方差 cov(U，V)和相关系数 UV（分数：11.00）_正确答案：(*)解析：分析 区域 D 实际上是以(-10)，(1，0)，(0，1)(0，-1)为顶点的正方形区域，D 的面积为2，(X，Y)的联合密度为*有了 f(x，y)就可以求 fU(u)和 fV(v)，特别可利用 f(x，y)的对称性23.设两随机变量 X 和 Y 相互独立，已知 X 服从 分布，Y 服从 （分数：11.00）_正确答案：(*Z=X+Y，取值必为 0，1，2，再利用公式：P(Z=k)=PX+Y=k=PX=0，Y=k+PX=1，Y=k-1可以求出 PZ=kE(Z)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)，D(Z)=D(X)+D(Y)解析：
