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    【考研类试卷】考研数学三-164及答案解析.doc

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    【考研类试卷】考研数学三-164及答案解析.doc

    1、考研数学三-164 及答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设 f(x)满足 f“(x)+xf(x) 2 =sinx,且 f(0)=0则 ( )(分数:4.00)A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.在点(0,f(0)左侧邻域,曲线 y=f(x)是凹的,右侧邻域,曲线 y=(x)是凸的D.在点(0,f(0)左侧邻域,曲线 y=f(x)是凸的,右侧邻域,曲线 y=f(x)是凹的2.设 A,B 均是 n 阶实对称矩阵,则 A,B 是合同矩阵的充分必要条件是矩阵 A,B ( )(分数:4.00)A.有相同的特征

    2、值B.有相同的秩C.有相同的正负惯性指数D.都是可逆矩阵3.设 f(x)征区间(-,+)上连续,且满足 (分数:4.00)A.B.C.D.4. (分数:4.00)A.B.C.D.5.设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续,且当 x0 时 f(x)与,x m 为同阶无穷小,又设 x0 时, (分数:4.00)A.B.C.D.6.设 A,B 为随机事件,满足条件 0P(A)1,0P(B)1,且 P(A-B)=0,则成立 ( )(分数:4.00)A.B.C.D.7.设 A,B,C 均是 n 阶方阵,满足 A=BC7,将 A,B 以列分块,得(分数:4.00)A.B.C.D.8.设 X1 ,X 2 ,

    3、X n 是来自正态总体 XN(0, 2 )的简单随机样本记 已知 (分数:4.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.设 (分数:4.00)填空项 1:_10.某企业生产某产品,在单位时间上分摊到该产品的固定成本为 c0 元又设在单位时间内生产 x 件产品的边际成本为 ax+b(元/件),a0,b0 均为常数则成本函数 c(x)=_(分数:4.00)填空项 1:_11.无穷级数 (分数:4.00)12.设函数 z=z(x,y)满足 (分数:4.00)填空项 1:_13.设 A,B 均是 n 阶矩阵,满足 AB=A+B,则 r(AB-BA+A-E)=_(分数:4.00

    4、)填空项 1:_14.设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 均服从标准正态分布,则随机变量 3X+4Y 的概率密度函数 f(x)的最大值等于 1(分数:4.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.计算积分 (分数:10.00)_16.设 D=(x,y)|x 2+y2a 2,常数 a0,计算 (分数:10.00)_17.设 (分数:10.00)_18.过椭圆 (分数:10.00)_19.设 x 与 y 均大于 0 且 xy,证明: (分数:10.00)_20.(11 分)设向量 = 1, 2, nT,=b 1,b 2b nT都是非零向量,且 A= T()求 A2()求

    5、 A 的特征值()什么条件下,A 能相似于对角阵?并说明理由(分数:11.00)_21.()设 n 维向量 1, 2, 3, 4线性无关 i= i+t 4,i=1,2,3,证明: 1, 2, 3对任意 t 都线性无关()设 n 维向量 1, 2, 3, 4满足 (分数:11.00)_22.设二维随机变量(X,Y)在区域 D 上服从均匀分布,其中D=(x,y)|x|+|y|1设 U=X+Y,V=X-Y,试求:()U 与 V 的概率密度 fU(u)与 fV(v);()U 与 V 的协方差 cov(U,V)和相关系数 UV(分数:11.00)_23.设两随机变量 X 和 Y 相互独立,已知 X 服从

    6、 分布,Y 服从 (分数:11.00)_考研数学三-164 答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设 f(x)满足 f“(x)+xf(x) 2 =sinx,且 f(0)=0则 ( )(分数:4.00)A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.在点(0,f(0)左侧邻域,曲线 y=f(x)是凹的,右侧邻域,曲线 y=(x)是凸的D.在点(0,f(0)左侧邻域,曲线 y=f(x)是凸的,右侧邻域,曲线 y=f(x)是凹的 解析:由 f“(x)+x(f(x)2 =sinx 有 f“(x)=0再求f“(x)+(f(x

    7、)2 +2xf(x)f“(x)=cosxf“(0)=1,所以*2.设 A,B 均是 n 阶实对称矩阵,则 A,B 是合同矩阵的充分必要条件是矩阵 A,B ( )(分数:4.00)A.有相同的特征值B.有相同的秩C.有相同的正负惯性指数 D.都是可逆矩阵解析:* 有相同的正负惯性指数(C)是充要条件(A)是充分但非必要条件(AB 是实对称阵,且有相同的 i ,则* ,反之不成立)(B)是必要条件,但不充分(* 存在可逆阵 C,使得* ,反之不成立)(D)是既不充分也非必要条件3.设 f(x)征区间(-,+)上连续,且满足 (分数:4.00)A.B.C. D.解析:令 x-t=u 作积分变量变换,

    8、得*4. (分数:4.00)A.B.C. D.解析:用反证法证明(C)正确*5.设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续,且当 x0 时 f(x)与,x m 为同阶无穷小,又设 x0 时, (分数:4.00)A. B.C.D.解析:由 x0 时 f(x)与 xm 为同阶无穷小,从而知存在常数 A0,当 x0 时,f(x)Ax m 从而 f(xn )Ax nm 于是* 按题意,上式为不等于零的常数,故 k=mn+n6.设 A,B 为随机事件,满足条件 0P(A)1,0P(B)1,且 P(A-B)=0,则成立 ( )(分数:4.00)A.B.C.D. 解析:* 所以应选(D)由 P(A-B)=0 得

    9、不出* ,也就得不出* ,即(A)不正确由(B)得 P(A)P(B),也就有 P(A)P(AB),这与题设条件P(AB)P(A)P(AB)0 矛盾,故(B)也不正确*7.设 A,B,C 均是 n 阶方阵,满足 A=BC7,将 A,B 以列分块,得(分数:4.00)A.B. C.D.解析:因 B 中的第 1 列的 3 倍加到第 2 列,即* 即应将 C 的第 2 行的-3 倍加到第 1 行,故应选(B)8.设 X1 ,X 2 ,X n 是来自正态总体 XN(0, 2 )的简单随机样本记 已知 (分数:4.00)A.B. C.D.解析:*二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.设 (分数:4

    10、.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:由表达式可见,除 x=0,x=1 外,f(x)均连续*10.某企业生产某产品,在单位时间上分摊到该产品的固定成本为 c0 元又设在单位时间内生产 x 件产品的边际成本为 ax+b(元/件),a0,b0 均为常数则成本函数 c(x)=_(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:在单位时间内生产 x 件产品的成本函数为 c(x),边际成本就是 c(x),已知* 从而* 由题设条件 c(0)=c0 (即不生产也应支出的固定成本),于是知 c=c0 从而*11.无穷级数 (分数:4.00)解析:*12.设函数 z=z(x,y)满足 (分数:4

    11、.00)填空项 1:_ (正确答案:* ,其中 c(y)为 y 的任意数)解析:题为一个含一阶偏导数的方程,但其中的偏导数仅是 z 对 x 的,不含* 所以整个式子可将 y 看成常数,因此可以看作 z 对 x 的常微分方程按一阶线性常微方程求解由通解公式,得* 因为惨个过程中,将 y 当做常数,所以对 x 解方程时,任意常数 c 也应该认为是 y 的任意函数 c(y),它对 x 的导数为零13.设 A,B 均是 n 阶矩阵,满足 AB=A+B,则 r(AB-BA+A-E)=_(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:n)解析:由题设条件 AB=A+B,得 AB-A=A(B-E)=BA(B-

    12、E)-(B-E)=E,(A-E)(B-E)=E,从而知 A-E 和 B-E 是互逆矩阵且有(B-E)(A-E)=BA-A-B+E=E,BA=A+B,从而知 AB=BA,且 r(A-E)=r(B-E)=n,故r(AB-BA+A-E)=r(A-E)=n14.设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 均服从标准正态分布,则随机变量 3X+4Y 的概率密度函数 f(x)的最大值等于 1(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:XN(0,1),YN(0,1)且相互独立,则 3X+4YN(0,25),其概率密度为* ,所以 f(x)的最大值为*三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.计算

    13、积分 (分数:10.00)_正确答案:(x=2 为奇点,应分 1 至 2,2 到 3 积分*注 这里*的上限 2 及*的下限 2 都是极限形式的简写)解析:16.设 D=(x,y)|x 2+y2a 2,常数 a0,计算 (分数:10.00)_正确答案:(*)解析:注 1 利用区域 D 的 x 与 y 的轮换对称性可以化简计算,其定理如下:设 f(xy)在区域 D 上连续,且 D 关于 x 与 y 轮换对称,即 D 关于直线 y=x 对称,则*注 2 利用区域 D 关于某一坐标轴对称,且 f(x,y)具有对于另一坐标变量的奇、偶性,可以化简计算,其定理如下:(1)设 f(xy)在 D 上连续,D

    14、 关于 x 轴对称,D 1是 D 中位于 y0 部分,则有*(2)设 f(xy)在 D 上连续,D 关于 y 轴对称,D 3是 D 中位于 x0 部分,则有*17.设 (分数:10.00)_正确答案:(*由求收敛半径的方法,*所以收敛半径 R=1收敛区间=收敛域=(-1,1)在收敛域内,记和函数为 S(x),*从而*)解析:注 由 F(x)=f(x),则*18.过椭圆 (分数:10.00)_正确答案:(*由*)解析:19.设 x 与 y 均大于 0 且 xy,证明: (分数:10.00)_正确答案:(解 不妨认为 yx0因若 xy0,则变换所给式子左边的 x 与 y,由行列式性质知,左边不变*

    15、)解析:20.(11 分)设向量 = 1, 2, nT,=b 1,b 2b nT都是非零向量,且 A= T()求 A2()求 A 的特征值()什么条件下,A 能相似于对角阵?并说明理由(分数:11.00)_正确答案:(*方法二 直接利用特征值,特征向量的定义A= T=,(*)由(*),若 T=0,因 0,则得 =0;若 T0,(*)两边左乘 T,得 T T=( T)( T)=( T), T0,得*方法三 利用特征方程|E-A|=0*则可得*()A= T,0,0,故 r(A)=1当*(即向量 , 正交时),=0 是 n 重根,而 AX=0 只有 n-1 个线性无关特征向量,A 不能相似于对角阵当

    16、*时,r(A)=1, n是单根=0 是 n-1 重根,AX=0 有 n-1 个线性无关特征向量(A 总共有 n 个线性无关特征向量),A 相似于对角阵且*)解析:*处是将左端行列式折项共得 2n个,且右端 2n个行列式中凡含有两个或两个以上第 2 公式的行列式均为零)21.()设 n 维向量 1, 2, 3, 4线性无关 i= i+t 4,i=1,2,3,证明: 1, 2, 3对任意 t 都线性无关()设 n 维向量 1, 2, 3, 4满足 (分数:11.00)_正确答案:()设有数是 k1,k 2,k 3使得k1 1+k2 2+k3 3=0,代入已知条件。得k1( 1+t 4)+k2( 2

    17、+t 4)+k3( 3+t 4)=0,整理得*因已知 1, 2, 3, 4线性无关,故上式成立,当且仅当*即当且仅当 k1=k2=k3=0,故对任意 t, 1, 2, 3都线性无关()设有数 k1,k 2,k 3,k 4,使得k1 1+k2 2+k3 3+k4 4=0代入已知条件得k1( 1+ 1)+k 1( 2+2 2)+k 3( 3+3 3)+k 4( 4+4 4)=0,*故 1, 2, 3, 4满足 1+4 2+9 3+16 4=0 时,对任意向量 ,向量组 1, 2, 3, 4均线性相关)解析:22.设二维随机变量(X,Y)在区域 D 上服从均匀分布,其中D=(x,y)|x|+|y|1

    18、设 U=X+Y,V=X-Y,试求:()U 与 V 的概率密度 fU(u)与 fV(v);()U 与 V 的协方差 cov(U,V)和相关系数 UV(分数:11.00)_正确答案:(*)解析:分析 区域 D 实际上是以(-10),(1,0),(0,1)(0,-1)为顶点的正方形区域,D 的面积为2,(X,Y)的联合密度为*有了 f(x,y)就可以求 fU(u)和 fV(v),特别可利用 f(x,y)的对称性23.设两随机变量 X 和 Y 相互独立,已知 X 服从 分布,Y 服从 (分数:11.00)_正确答案:(*Z=X+Y,取值必为 0,1,2,再利用公式:P(Z=k)=PX+Y=k=PX=0,Y=k+PX=1,Y=k-1可以求出 PZ=kE(Z)=E(X+Y)=E(X)+E(Y),D(Z)=D(X)+D(Y)解析:


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