1、考研数学三-163 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知函数 f(x)在点 x=4 处连续，且 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设函数 F(u，v)具有一阶连续偏导数，且 （分数：4.00）A.B.C.D.3.微分方程 满足 y(0)=1 的特解 y(x)在点 x=1 处的函数值 y(1)=（分数：4.00）A.B.C.D.4.已知幂级数 在 x=-5 处条件收敛，则幂级数 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设矩阵 A=( 1， 2， 3， 4)是 54 矩阵， 1(1，2，-1，3) T， 2(3，2，5，3) T
2、是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系下列命题中错误的命题是(A) 1， 2， 3线性相关 (B) 3， 4线性无关(C) 4可由 1， 3线性表示 (D) 2可由 3， 4线性表示（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 为可逆矩阵，B 是 3 阶矩阵，满足（分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 XiB(1，p i)，(i=1，2)，它们的分布为 Fi(x)已知有一点 x=x0处 F1(x0)F 2(x0)，则(A) p1P 2 (B) p 1P 2 (C) p 1=P2 (D) p 1+P2=1（分数：4.00）A.B.C.D.8.设二维随机变量(X，Y)的分布函数为 F(x，y
3、)，设 XN(0，1)，且 Y=X，已知 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.当 x0 时 f(x)=tan(sinx)-tanx 是关于 x 的_阶无穷小量(用数字填空)（分数：4.00）填空项 1:_10.设 （分数：4.00）填空项 1:_11.设函数 f(x，y)具有连续的偏导数，且 f(x，x 2)=x4，f y(1，1)=1，则 fx(1，1)=_（分数：4.00）填空项 1:_12.设 （分数：4.00）填空项 1:_13.已知 （分数：4.00）填空项 1:_14.设来自总体 X 的简单随机样本 X1，X 2，X m，总体 X 的概率
4、分布为 其中 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.证明 （分数：10.00）_16.设 a，b 是满足 ba1 的两个常数，确定 p 与 q 的值使得()当 xa，b时 px+qlnx；() （分数：10.00）_17.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1求证对任意的正数 a 和 b，在(0，1)内存在 使得 （分数：10.00）_18.计算累次积分 （分数：10.00）_19.计算定积分 （分数：10.00）_20.已知 A=( 1， 2， 3， 4)是四阶矩阵， 1， 2， 3， 4是四维列向量，若方程组
5、 Ax= 的通解是(1，2，2，1) T+k(1，-2，4，0) T，又 B=( 3， 2， 1，- 4)，求方程组 Bx=3 1+5 2- 3的通解（分数：10.00）_21.已知 A 是 3 阶实对称矩阵， 1=(1，-1，-1) T， 2(-2，1，0) T是齐次方程组 Ax=0 的解，又(A-6E)=0，0()求 和二次型 xTAx 表达式()用正交变换 x=Qy 化二次型 xTAx 为标准形并写出所用坐标变换()求(A-3E) 6（分数：12.00）_22.设二维正态随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)已知条件概率密度（分数：11.00）_23.设随机变量 X1，X 2，X
6、3相互独立且均服从正态分布 （分数：11.00）_考研数学三-163 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知函数 f(x)在点 x=4 处连续，且 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由题设 可知分子的极限 0 即 ，由 f(x)在 x=4 的连续性可得令 1-x=x 位又有即2.设函数 F(u，v)具有一阶连续偏导数，且 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 求全微分可得从而由此即知不难发现3.微分方程 满足 y(0)=1 的特解 y(x)在点 x=1 处的函数值 y(1)=（分数：4.00）A.B. C.
7、D.解析：解析 方程可改写为 ，即 ，积分得方程的通解为 即 利用初值 y(0)=1 可确定常数 C=1，故方程满足初值 y(0)=1 的特解为 故4.已知幂级数 在 x=-5 处条件收敛，则幂级数 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由题设知级数 条件收敛，即幂级数 在点 x=-3 处条件收敛由幂级数收敛特性可知幂级数 当|x|3 时绝对收敛从而由于幂级数 在 x=3 处成为级数5.设矩阵 A=( 1， 2， 3， 4)是 54 矩阵， 1(1，2，-1，3) T， 2(3，2，5，3) T是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系下列命题中错误的命题是(A) 1， 2， 3线性相关
8、 (B) 3， 4线性无关(C) 4可由 1， 3线性表示 (D) 2可由 3， 4线性表示（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 A 是 54 矩阵，齐次方程组 Ax=0 的基础解系是两个向量，故 n-r(A)=2，即 r(A)=r( 1，2，3， 4)=2故(A)必正确由 A 1=0，A 2=0 可得 1+22- 3+3 4=0，3 1+2 2+5 3+3 3=0两式分别相减、相加可得 1+3a3=0，2 1+2 2+2 3+3 4=0如果 3， 4线性相关，则 4=k 3，又 1=-3 3，从而6.设 为可逆矩阵，B 是 3 阶矩阵，满足（分数：4.00）A.B. C.D.解析：
9、解析 矩阵 A 行变换可得到矩阵 AB，易见E3(2)E2(-1)E1(-4)E12A=AB即由于矩阵 A 可逆，有从而 ，相似矩阵 B，C 有相同的特征值，又|E-C|=7.设随机变量 XiB(1，p i)，(i=1，2)，它们的分布为 Fi(x)已知有一点 x=x0处 F1(x0)F 2(x0)，则(A) p1P 2 (B) p 1P 2 (C) p 1=P2 (D) p 1+P2=1（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 X i的分布分布函数为8.设二维随机变量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)，设 XN(0，1)，且 Y=X，已知 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解
10、析 设标准正态分布的分布函数为 (x)，则F(x，y)=PXx，Yy=PXx，Xy=PXmin(x，y)=(min(x，y)所以，二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.当 x0 时 f(x)=tan(sinx)-tanx 是关于 x 的_阶无穷小量(用数字填空)（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：解析 由带皮亚诺余项的泰勒公式 与 tanx=x+ 可得故 这表明当 x0 时 f(x)是 x 的三阶无穷小量，即应填 3分析二 用拉格朗日中值定理可得 ，其中 (x)满足 sinx(x)x从而10.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 因函数
11、f(x)在(-，+)上连续，取定 x0，作从 x0到 x 的变限定积分 就是函数 f(x)的一个原函数，从而函数 f(x)的不定积分为 ，其中 C 是一个任意常数为计算方便起见，在本题中应取 x0为函数 f(x)的分段点，即应设 x0=0于是 f(x)的一个原函数是而 f(x)的不定积分是其中 C 是一个任意常数注意 f(x)的不定积分不能写成这是因为所得函数在分段点 x=0 处不连续，从而，在 x=0 点处不可导f(x)的不定积分也不能写成这是因为所得函数中包含了两个任意常数 C1和 C2不过，如果取 C1和 C2的值使上述函数在 x=0 点连续，即取 C1+1=C2，这个函数就变成为 f(
12、x)的不定积分了，即11.设函数 f(x，y)具有连续的偏导数，且 f(x，x 2)=x4，f y(1，1)=1，则 fx(1，1)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析 因函数 f(x，y)具有连续的偏导数，从而函数 f(x，y)可微，又因一元函数 y=x2可导，故对复合函数 f(xx 2)可用一阶全微分形式不变性求全微分，得df(x，x 2)=f1(x，x 2)dx+f2(x，x 2)d(x2)=f1(x，x 2)dx+2xf2(x，x 2)dx另一方面，由 f(x，x 2)=x4，又可得 df(x，x 2)=4x3出于是f1(x，x 2)dx+2xf2(x，x
13、2)dz 4x3dx在上式中令 x=1，由题设及 dx 的任意性，即得f1(1，1)+2f 2(1，1)=4fx(1，1)+2f y(1，1)=4fx(1，1)=4-2f y(1，1)=2注意 在本题的求解过程中 f1(x，x 2)，f 2(x，x 2)分别表示将二元函数 f(x，y)对其第一个变量与对其第二个变量的偏导函数 ，12.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 将题设等式 两边求导数即得从而其中 C1是一个任意常数令 x=1 并利用 f(1)=0 又可确定 C1=0，从而13.已知 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 C TAC=
14、B 即二次型 xTAx 经坐标变换 x=Cy 化为二次型 yTBy显然，x TAx=x21+4x22-3x23+4x1x2，y TBy=y21-23由配方法知那么令 即即有 xTAx=y21-y23，所以14.设来自总体 X 的简单随机样本 X1，X 2，X m，总体 X 的概率分布为 其中 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 一个参数 的矩估计为EX=-12+0+1(1-3)=1-5，解得三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.证明 （分数：10.00）_正确答案：(证明因|sinx|是以 为周期的周期函数，且 =2，从而当 n=1，2，3，时又因当 nx(
15、n+1) 时于是有 当 nx(n+1) 时成立，由不等式的性质即知此时成立当 z+时满足(n+1)xn 的 n 满足 ，于是相应的 n 也满足 n+所以在(*)中令 x+取极限，即得 .由夹逼定理即知)解析：16.设 a，b 是满足 ba1 的两个常数，确定 p 与 q 的值使得()当 xa，b时 px+qlnx；() （分数：10.00）_正确答案：(解 首先要使 I(p，q)最小，直线 y=px+q 必须与曲线 y=lnx 相切，设切点为(t，lnt)，则t 满足方程组于是由于 是一个常数，因此 I(p，q)与函数 有相同的最小值点计算可得由此即得 I(p，q)当 时取得最小值，即当 且
16、)解析：17.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1求证对任意的正数 a 和 b，在(0，1)内存在 使得 （分数：10.00）_正确答案：(分析 结论可改写为 .由于 ，又 f(x)连续地从 f(0)=0 变到 f(1)=1，从而存在C(0，1)使得 ，结论又可改写为 ，再把 f(0)=0 与 f(1)=1 用上，上式就可改写成这提示我们在使 的 c 处分割区间0，1，然后分别在0，c与c，1上应用拉格朗日中值定理证明因 f(0)=0，f(1)=1，又 ，从而 是 f(z)的值域0，1内的一点由连续函数的性质知使 分别在区间0，c与c，1上对 f(x)
17、应用拉格朗日中值定理即知： 使得f(c)-f(0)=f()(c-0)=cf()， (*)又 使得f(1)-f(c)=f()(1-c)=(1-c)f()， (*)把 f(0)=0 与 f(1)=1 以及 代入(*)与(*)，分别得到从而)解析：18.计算累次积分 （分数：10.00）_正确答案：(分析 在本题中无法写出函数 e(x+y)2的原函数，所以直接计算行不通，可行的方法之一是把直角坐标转换为极坐标，方法之二是在内层积分中作换元 t=x 十 y解法一 由题设知累次积分 I 可以写成积分区域 D=D1+D2上的二重积分 ，其中 D1=(x，y)|0x1，1-xy2-x)，D 2=(x，y)|
18、1x2，0y2-x)，如右图所示令 x=rcos0，y=rsin，在极坐标系(r，)中 ，从而解法二 在内层积分作换元 t=x+y，于是 y：1-x2-x t：12，y：02-x t：x2，且dtdy，从而其中 D0=D01+D02，且 D01=(x，t)|0x1，1t2，D 02=(x，t)|1x2，xt2，如下图所示注意积分区域 D0又可表示为 D0=(x，t)|1t2，0xt，故)解析：19.计算定积分 （分数：10.00）_正确答案：(解 利用 ，可得 分别计算即知由此即得代入以上结果有)解析：20.已知 A=( 1， 2， 3， 4)是四阶矩阵， 1， 2， 3， 4是四维列向量，若
19、方程组 Ax= 的通解是(1，2，2，1) T+k(1，-2，4，0) T，又 B=( 3， 2， 1，- 4)，求方程组 Bx=3 1+5 2- 3的通解（分数：10.00）_正确答案：(解 由方程组 Ax= 的解的结构，可知r(A)=r( 1， 2， 3， 4)=3， 1+2 2+2 3+ 4=， 1-2 2+4 3=0因为 B=( 3， 2， 1，- 4)=(3， 2， 1， 1+2 2+2 3)，且 1， 2， 3线性相关，而知 r(B)=2由 ，知(-1，5，3，0) T是方程组 Bx=3 1+5 2- 3的一个解又 )解析：21.已知 A 是 3 阶实对称矩阵， 1=(1，-1，-
20、1) T， 2(-2，1，0) T是齐次方程组 Ax=0 的解，又(A-6E)=0，0()求 和二次型 xTAx 表达式()用正交变换 x=Qy 化二次型 xTAx 为标准形并写出所用坐标变换()求(A-3E) 6（分数：12.00）_正确答案：(由 A 1=0=0 1，A 2=0=0 2知 1= 2=0 是矩阵 A 的特征值， 1， 2是矩阵 A 属于特征值 =0 的线性无关的特征向量因为 A=6，0所以 =6 是 A 的特征值设 =(x 1，x 2，x 3)T，由于实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交于是解出 =(1，2，-1) T由 A( 1， 2，)=(0，0，6)得 A=(0，0，6
21、a)( 1， 2，) -1故 xTAx=x21+4x22+x23+4x1x2-2x1x3-4x2x3()令 1= 1单位化有那么令有 xTAx=yTAy=6y23()因为有 )解析：22.设二维正态随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)已知条件概率密度（分数：11.00）_正确答案：(可由性质 ，定出常数 A也可以把 看成形如 的正态分布 N(， 2)的概率密度 所以解得由对称性得()已知所以由于 ，故可以得出 其中 C 为常数显然()二维正态密度的一般形式为对此本题所求出的二维密度，可知 1= 2=0， 1= 2=1；即 2-2 2=3，2 2+3-2=0，(2-1)(+2)=0，解得
22、 ， 2=-2(不可能)所以 )解析：23.设随机变量 X1，X 2，X 3相互独立且均服从正态分布 （分数：11.00）_正确答案：(解 显然，随机变量 X 和 Y 也是服从正态分布，且(X，Y)服从二维正态分布如果从(x，Y)的分布函数F(x，y)=PXx，Yy=PX 1-X2x，X 2-X3y，来求 f(x，y)会很麻烦，但如果已知边缘密度 fX(x)和 fY(y)再已知 XY就不难求出二维正态密度 f(x，y)了现 X=X1-X2，Y=X 2-X3，X 1，X 2，X 3独立均服从所以 XN(0，1)，yN(0，1)故现求 cov(X，Y)=cov(X 1-X2，X 2-X3)=cov(X1，X 2)-cov(X1，X 3)-cov(X2，X 2)+cov(X2，X 3)=-cov(X2，X 2)=-DX2=- 二维正态分布(X，YN(0，0；1，1；- )的密度函数所以()() )解析：
