1、考研数学三-161 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.下列反常积分中，收敛的是 ( )（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则 ( )（分数：4.00）A.当 mn 时，必有|AB|=0B.当 mn 时，AB 必可逆C.当 nm 时，ABX=0 必有唯一零解D.)3.已知线性方程组 AX=k 1+ 2有解，其中（分数：4.00）A.B.C.D.4.设 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 f(x)在 x=0 处存在 4 阶导数，又设（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 f(x)
2、在 a，b 上可导，f（分数：4.00）A.fB.)0至少存在一点 x0(a，b)，使 ( &C.f(x0)=0 7.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从正态分布 ，记随机变量 Z=|X-Y|的概率密度为 f(x)，则 ( )（分数：4.00）_8.设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2)，0，其分布函数为 F(x)，则有 ( )（分数：4.00）A.F(+x)+F(-x)=1B.F(x+)+f(x-)=1C.F(+x)+F(-x)=0D.F(x+)-F(x-)=0二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设某产品的需求函数为 Q=Q(p)，它对价格的弹性为 ，01已知产品收益 R
3、 对价格的边际为 s元，则产品的产量应是 1 个单位（分数：4.00）填空项 1:_10.设函数 z=f(x，y) (xy0)满足 （分数：4.00）填空项 1:_11.设 f(lnx)=xlnx 则 f(x)的 n 阶导数 f(n)(x)=_（分数：4.00）填空项 1:_12. （分数：4.00）填空项 1:_13.设 A 是三阶矩阵，|A-E|=0，(2A-E)x=0 有非零解，3A+E 是不可逆矩阵，则（分数：4.00）填空项 1:_14.设 X1，X 2，X nx，X n+1是来自正态总体 N(， 2)的简单随机样本， a 服从 t 分布，其中 a 为常数则 t 分布的参数为_（分数
4、：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(u)具有连续的一阶导数，且当 x0，y0 时， 满足（分数：10.00）_16.设 0x1，(1)试用初等函数表示 f(x)；(2)设 （分数：10.00）_17.设 D 为曲线 y=x3与直线 y=x 所围成的两块区域，计算（分数：10.00）_18.将函数 （分数：10.00）_19.设 （分数：10.00）_20. （分数：11.00）_21.设 A=a T+ T其中 ， 是三维单位正交列向量(1)求|A|(2)验证 +，- 是 A 的特征向量(3)证 A，并求 （分数：11.00）_22.设随机变量(X，
5、Y)在 G=x，y)：x 2+y21)上服从均匀分布，已知（分数：11.00）_23.已知随机变量(X，Y)的概率密度为（分数：11.00）_考研数学三-161 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.下列反常积分中，收敛的是 ( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：通过具体计算，对于(C)，*2.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则 ( )（分数：4.00）A.当 mn 时，必有|AB|=0 B.当 mn 时，AB 必可逆C.当 nm 时，ABX=0 必有唯一零解D.)解析：方法一 r(AB)r(A)nm，AB 是
6、mm 矩阵，故必有|AB|=0，应选(A)其余的均错误，读者自行证明方法二 当 mn 时，方程组 BnmX=0 有非零解，即存在 X0，有 BX=0 成立，两边左乘 A，得 ABX=0，其中X0，故有|AB|=0，故应选(A)3.已知线性方程组 AX=k 1+ 2有解，其中（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：对 AX=k 1+ 2的增广矩阵作初等行变换*AX=k 1+ 2有解*r(A)=r(A|k 1+ 2)得是 k=-2，故应选(D)4.设 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：|f(x，y)|x 2+y2命(x，y)(0，0)由夹逼定理有*注 一般，证明函数在某点(x 0，y 0
7、)处可微，用下述两办法之一：如本例，计算f，然后讨论*若为 0，则可微，若不为 0(或不存在)，则不可微讨论 fx(x，y)与 fy(x，y)在点(x 0，y 0)处的连续性若连续，则 f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，若不连续，则不能判断定 f(x，y)在点(x 0，y 0)处是否可微5.设 f(x)在 x=0 处存在 4 阶导数，又设（分数：4.00）A.B.C. D.解析：方法一 对于分母，用等价无穷小替换* 所以 f(0)=0，f(0)=0f“(0)=0，f“(0)=3选(C)方法二 对于分母，仍用等价无穷小替换*由题设，上式为 1，所以 f“(0)=3注用方法一时，本题条件只
8、要设 f“(0)存在即可用洛必达法则时，本题条件只要 f“(x)在 x=0 处连续即可题设 f(4)(0)存在，是为了选项(D)而设计，保持匀称而已6.设 f(x)在 a，b 上可导，f（分数：4.00）A.fB.)0至少存在一点 x0(a，b)，使 ( &C.f(x0)=0 解析：由于 f(a)f(b)0，不妨没 f(a)0f(b)0由*及保性知，存在 x=a 的右侧邻域*，*且 x1a 时，f(x 1)f(a)，所以 f(a)不是f(x)在 a，b 上的最小值类似地可证 f(b)也不是，f(x)在 a，b 上的最小值所以 f(x)在 a，b 上的最小值点 x=x0(a，b) 由极值的必要条
9、件知，f(x 0)=0(C)正确(A)，(B)，(C)的反例见 f(x)=x(x-1)，x0，1请读者自己详细分析7.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从正态分布 ，记随机变量 Z=|X-Y|的概率密度为 f(x)，则 ( )（分数：4.00）_解析：X，Y 独立，均服从*，所以 X-YN(0，1)当 x0 时，非负随机变量 Z 的分布函数F(x)=PZx=0，当 x0 时，F(x)=PZx=P|X-Y|x)=P-xX-Yx8.设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2)，0，其分布函数为 F(x)，则有 ( )（分数：4.00）A.F(+x)+F(-x)=1 B.F(x+)+f(x-)=
10、1C.F(+x)+F(-x)=0D.F(x+)-F(x-)=0解析：方法一 用图示法，不妨设 x0，把四块面积大小记为，则有F(+x)=+F(-x)=，由对称性，=，F(+x)+F(-x)=+=+十+=1*二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设某产品的需求函数为 Q=Q(p)，它对价格的弹性为 ，01已知产品收益 R 对价格的边际为 s元，则产品的产量应是 1 个单位（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*10.设函数 z=f(x，y) (xy0)满足 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(2x-y)dx-xdy）解析：设*即 f(x，y)=x 2-xy
11、所以 dz=(2x-y)dx-xdy11.设 f(lnx)=xlnx 则 f(x)的 n 阶导数 f(n)(x)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e x(x+n-1)）解析：由 f(lnx)=xlnx，则 f(x)=xex由莱布尼茨高阶导数公式，有*12. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e）解析：*所以应填 e注 此题应注意归并一些因式，并化简13.设 A 是三阶矩阵，|A-E|=0，(2A-E)x=0 有非零解，3A+E 是不可逆矩阵，则（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：方法一 因|A-E|=0，(2A-E)X=0 有非零解，3A+E 不
12、可逆，故均有|A-E|=0，|2A-E|=0，|3A+E|=0，从而知三阶矩阵 A 有特征值*14.设 X1，X 2，X nx，X n+1是来自正态总体 N(， 2)的简单随机样本， a 服从 t 分布，其中 a 为常数则 t 分布的参数为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：n-1）解析：*其实本题只要求求 t 的参数，而 t 的参数只决定于 S 涉及的 2的参数因此不必进行上述推导，也不必求出 a，可以直接由 2(n-1)的参数定出 t(n-1)的参数三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(u)具有连续的一阶导数，且当 x0，y0 时， 满足（分数：10.00）_
13、正确答案：(*原给方程化为*)解析：16.设 0x1，(1)试用初等函数表示 f(x)；(2)设 （分数：10.00）_正确答案：(*其中“等”表示用了等价无穷小替换欲使上述极限存在且不为零，其充要条件是*，此时，该极限值等)解析：17.设 D 为曲线 y=x3与直线 y=x 所围成的两块区域，计算（分数：10.00）_正确答案：(解 画出区域 D 如图所示第一象限中的一块记为 D1，第三象限中的一块记为 D2*而*由对称性可得*同理*)解析：18.将函数 （分数：10.00）_正确答案：(*)解析：19.设 （分数：10.00）_正确答案：(* *)解析：20. （分数：11.00）_正确答
14、案：(方法一 先求方程组()AX=0 的通解，()的系数矩阵*基础解， 1=-1，2，-1，1，0 T， 2=-1，-2，1，0，1 T，方程组通解为*方程组()，()是同解方程组，将*代入()的第 1，2 个方程，-2(-1)+2+a(-1)-5+0=0，得 a=-1-1+2-(-1)+b+0=0，得 b=-2显然 1也满足()的第 3 个方程将*代入()的第 3 个方程，3(-1)+(-2)+1+c=0，得 c=4显然， 2也满足()的第 1，2 个方程故知当 a=-1，b=-2，c=4 时由解的性质知方程组()的解全部是()的解反之，当 a=-1，b=-2，c=4 时，方程组()的系数矩
15、阵的秩为*()的未知量个数 n=5，()的基础解系由两个线性无关解组成，已验算()的解全部是()的解故()的解也全部是()的解，方程组()，()是同解方程组方法二 ()()是同解方程组，()和()的系数行向量是等价向量组，可以相互表出，记()的三个行向量为 1， 2， 3，()的三个行向量为 1， 2， 3，将*src=“tu/1201/yjs/kys3228.182BEA7.jpg“ /作初等行变换，化成阶梯形，得*当取 a=-1，b=-2，c=4 时， 1， 2， 3可由 1， 2， 3线性表出反之，当 a=-1，b=-2,c=4 时，因*可知 1， 2， 3也可由 1 2， 3线性表出，
16、故当 a=-1，b=-2，c=4 时，方程组()()是同解方程组)解析：21.设 A=a T+ T其中 ， 是三维单位正交列向量(1)求|A|(2)验证 +，- 是 A 的特征向量(3)证 A，并求 （分数：11.00）_正确答案：()r(A)=r(a T+ T)r(A)+r(B) 2，故|A 33|=0。()， 是三维单位正交列向量故有(，)= T= T=0(，)=( T)=1，(，)= T=1。A(+)=(a T+ T)(+)=( T)+( T)+( T)+( T)=(+)A(+)=(a T+ T)(-)=( T)-( T)+( T)-( T)=-(-)故 +，- 是 A 的分别属于 1=
17、1 2=-1 的特征向量()因|A|=0，故知 3=0，从而知 A 有三个互不相同的特征值，故 A，其中*)解析：22.设随机变量(X，Y)在 G=x，y)：x 2+y21)上服从均匀分布，已知（分数：11.00）_正确答案：(*()显然 U，V 是相互独立的，故 UV=0()D(U+V)=D(u)+D(V)，因 U，V 是相互独立的U，V 的分布都是*所以*)解析：分析 (UV)是离散型随机变量，取值为 01分布律为*分别计算 Pij就可以_，有了分布律计算 UV和 D(U+V)就不困难23.已知随机变量(X，Y)的概率密度为（分数：11.00）_正确答案：(*)解析：分析 常数 A 可以通过性质*来求得但考虑到*必须求*也可以定出 A 来
