1、考研数学三-160 及答案解析(总分：150.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f(2)=0，又 （分数：4.00）A.B.C.D.2.下列函数中在点 x=0 处可微的是_Af(x)=e |x| Bf(x)=arctan|x|C D （分数：4.00）A.B.C.D.3.函数 f(x，y)= （分数：4.00）A.B.C.D.4.给定两个正项级数 ，已知 （分数：4.00）A.B.C.D.5.矩阵 A= 与下面矩阵_相似A BC D （分数：4.00）A.B.C.D.6.设三元二次型 f(x1，x 2，x
2、3)=XTAX 的正惯性指数 p=1，且二次型 A 满足 A2+2A-3E=0，则在正交变换下该二次型的标准形是_A BC D （分数：4.00）A.B.C.D.7.设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量 =X+Y 与 n=X-Y 不相关的充分必要条件为_AE(X)=E(Y) BE(X 2)-(E(X)2=E(Y2)-(E(Y)2CE(X 2)=E(Y2) DE(X 2)+(E(X)2=E(Y2)+(E(X)2（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 X1，X 2，X n为来自总体 XN(， 2)的简单随机样本，则当 c=_时，统计量 Z= 是参数 2的无偏估计量A B C D
3、（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：25.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10. （分数：4.00）填空项 1:_11.设方程 x2=y2y确定 y 是 x 的函数，则 dy=_（分数：4.00）填空项 1:_12. （分数：4.00）填空项 1:_13.已知 （分数：4.00）填空项 1:_14.已知随机变量 Y 的概率密度为随机变量 Z= （分数：5.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：93.00)15.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，证明：存在 (a，b)，使得（分数：10.00）_16.某商品需求量 Q 对
4、 p 的弹性 （分数：10.00）_17.设 u=f(x，y)是连续可微函数，x=rcos，y=rsin，证明：（分数：10.00）_18.设 f(x)在0，1上有连续导数，且 f(0)=0试证明：至少存在一点 0，1，使 f()= （分数：10.00）_19.求解差分方程 yx+1+3yx=x2x（分数：10.00）_设 A 为三阶实对称矩阵，且存在可逆矩阵，使得 （分数：11.01）(1).求 0的值（分数：3.67）_(2).计算(A *)-1（分数：3.67）_(3).计算行列式|A *+E|（分数：3.67）_设 A 为三阶矩阵， 1， 2， 3为三维线性无关列向量组，且有A 1=
5、2+ 3，A 2= 3+ 1，A 3= 1+ 2（分数：11.00）(1).求 A 的全部特征值（分数：5.50）_(2).A 是否可对角化?（分数：5.50）_20.商店销售一批收音机，共有 10 台，其中有 3 台次品，但是已经售出了 2 台问从剩下的收音机中任取一台是正品的概率是多少?（分数：10.00）_已知(X，Y)的联合概率密度为（分数：11.01）(1).求在 Y=y 的条件下，X 的条件概率密度（分数：3.67）_(2).X 与 Y 是否相互独立?并说明理由（分数：3.67）_(3).求 P(0X1/2|Y=1/2)（分数：3.67）_考研数学三-160 答案解析(总分：150
6、.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f(2)=0，又 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 利用极限的保号性及极值的定义判别之仅 D 入选由 f(x)可导和 f(2)=0 知，x=2 是 f(x)的驻点，但由2.下列函数中在点 x=0 处可微的是_Af(x)=e |x| Bf(x)=arctan|x|C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因函数 f(x)在 x=x0处可微的充要条件是 f(x)在 z=x0处可导，归结为讨论下列函数在 x=0处是否可导的问题对选项 A， ，故 f(
7、x)在 x=0 处不可导，所以 f(x)在 x=0 处不可微对选项 B，故 f(x)在 x=0 处不可导，因而在 x=0 处也不可微对选项 C，所以 f(x)在 x=0 处可导仅 C 入选对选项 D，3.函数 f(x，y)= （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 f(x，y)在整个平面上有定义，且 f(0，0)=0又，这表明 f(x，y)在点(0，0)处连续，从而 A 不正确因 f(x，0)(0，y)0，对任意 xR，任意 yR于是 fx(x，0)=0，f y(0，y)=0，且在点(0，0)处有fx(0，0)=f y(0，0)=0，可见 B 不正确因 f(x，y)在点(0，0)处可微
8、的充分必要条件是不难发现，当 y=x0 时，4.给定两个正项级数 ，已知 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 利用比较判别法的极限形式判别之，对于此判别法，一是要注意仅适用于正项级数，二要注意极限值 的取值情况不同，结论是不同的，特别当 =0 或+时，其结要记清楚这时不能判断两个正项级数同时收敛或发散。对于比较判别法，当 =，0+时，级数 和 同时收敛或发散，因此仅 A 入选当 =0 时，有可能 收敛，而 发散；当 =+时，有可能 发散，而5.矩阵 A= 与下面矩阵_相似A BC D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 先由两矩阵相似的必要条件(行列式相等)，排除一些矩
9、阵，再由特征值相等的条件确定选项|A1|=2，而|A 2|=0，|A 3|=-2，故排除 B、C再由 A 的特征值为 1，2，而 A1的特征值为-1，-2，排除 A1，仅 仅 D 入选注意 常用的两矩阵 A 与 B 相似的必要条件有：(1)|A|=|B|；(2)r(A)=r(B)；(3)|E-A|=|E-B|，即 A 与 B 有相同的特征值；(4)tr(A)=tr(B)，即6.设三元二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX 的正惯性指数 p=1，且二次型 A 满足 A2+2A-3E=0，则在正交变换下该二次型的标准形是_A BC D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 先求出
10、A 的特征值，确定正负惯性指数，再确定选项设 是矩阵 A 的特征值， 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量，即 A=，0那么由(A 2+2A-3E)=0有( 2+2-3)=0， 2+2-3=(+3)(-1)=0由此可知，矩阵 A 的特征值只能是 1 或-3因为 A 可逆，正惯性指数 p=1，则负惯性指数必为 2，所以 A 的特征值为 1=1，2= 3=-3，从而正交变换下该二次型的标准形为7.设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量 =X+Y 与 n=X-Y 不相关的充分必要条件为_AE(X)=E(Y) BE(X 2)-(E(X)2=E(Y2)-(E(Y)2CE(X 2)=E(Y2)
11、 DE(X 2)+(E(X)2=E(Y2)+(E(X)2（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 X，Y 不相关的充要条件有：(1)E(XY)=E(X)E(Y)；(2)D(X+Y)=D(X)+D(Y)；(3)cov(X，Y)=0；(4) xy=0本例使用条件 cov(X，Y)=0 更方便由E()=E(X 2-Y2)=E(X2)-E(Y2)，而 =X+Y，=X-Y则 E()=E(X)+E(Y)，E()=E(X)-E(Y)，于是 cov(，)=E(X 2)-E(Y2)-(E(X)+E(Y)(E(X)-E(Y)=E(X2)-(E(X)2-(E(Y2)-(E(Y)2)+E(X)E(Y)-E(X)
12、E(Y)=D(X)-D(Y)因此 cov(，)=0 的充要条件是 D(X)=D(Y)仅 B 入选8.设 X1，X 2，X n为来自总体 XN(， 2)的简单随机样本，则当 c=_时，统计量 Z= 是参数 2的无偏估计量A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由无偏估计量的定义求之由题设 Yi=Xi+1-Xi服从正态分布 YiN(0，2 2)，则E(Yi)=0，D(Y i)= =2 2(i=1，2，n-1)，于是 由无偏性的定义应有E(Z)= 2，即 2=2c(n-1) 2，解得二、填空题(总题数：6，分数：25.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：
13、e 2005）解析：解析 所求极限的函数为幂指函数，先用换底法将其化为以 e 为底的指数函数，再用等价无穷小代换求其极限，而10. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2e 2(/4-1) ）解析：解析 对 n 项乘积先取对数，产生因子 1/n，再用定积分定义求之令 ，在其两边取对数，得到再用定积分定义得到11.设方程 x2=y2y确定 y 是 x 的函数，则 dy=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 所给方程含幂指函数，先取对数或化为以 e 为底的指数函数求出 y即得 dylnx2=lny2y，即 2lnx=2ylny，两边求导得到故所以12. （分数：
14、4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 按题设积分次序求不出积分值，需换坐标系为此先画出二重积分的区域所给积分的积分区域用 D 表示，如下图所示该积分改用极坐标系计算，得到13.已知 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 矩阵方程中出现未知矩阵 A*或 A-1时，尤其是同时出现 A*与 A-1时，常在矩阵方程两边左乘或右乘矩阵 A，利用A*A=AA*=|A|E 及 A-1A=AA-1=E消掉 A*与 A-1，从而简化矩阵方程，在此基础上再提公因式使所求矩阵化为因子矩阵在原方程两边右乘 A，得到BA*A+2A-1A=BA，得|A|B+2E=3B+2E=BA亦
15、即 BA-3B=2E，B(A-3E)=2E，故|B|A-3E|=|2E|， =8，|B|=14.已知随机变量 Y 的概率密度为随机变量 Z= （分数：5.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 求 E(Z)就是求随机变量 Z 的函数 的期望，可用一般公式求之计算时，尽量使用 函数的结果三、解答题(总题数：9，分数：93.00)15.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，证明：存在 (a，b)，使得（分数：10.00）_正确答案：(证明 令 ，则 F(x)满足拉格朗日中值定理的各个条件因 F(a)=f(a)g(a)-g(a)f(a)=0，F(b)=f(a)g(b)-
16、g(a)f(b)，则存在 (a，b)，使F(b)F(a)=(b-a)F()，即 f(a)g(b)-g(a)f(b)=(b-a)f(a)g()-g(a)f()，亦即 )解析：解析 从待证等式出现 b-a 因子，使人猜想到可能使用拉格朗日中值定理证之但使用该定理的函数是什么?如何找?可将待证等式右边中的 变为 x，去掉导数符号得到16.某商品需求量 Q 对 p 的弹性 （分数：10.00）_正确答案：(设所求函数关系为 Q=Q(p)，根据需求量对价格的弹性得 ，即两边积分得通解lnQ=ln(b-p)+lnC，即 Q=C(b-p)又由于最大需求量是指：当价格 p0 +时，需求量 Q 的极限值依题意有
17、，即 确定 C= ，于是 Q 对 p 的函数关系为)解析：解析 利用需求价格弹性公式可建立可分离变量的微分方程，再利用初始条件17.设 u=f(x，y)是连续可微函数，x=rcos，y=rsin，证明：（分数：10.00）_正确答案：(证明 ，使用克拉默法则可解得则 )解析：解析 将 x，y 分别看成中间变量，求出 的表示式，利用克拉默法则解出18.设 f(x)在0，1上有连续导数，且 f(0)=0试证明：至少存在一点 0，1，使 f()= （分数：10.00）_正确答案：(证明 因为 f(x)在0，1上连续，所以函数 f(x)在0，1上有最值设其最大值与最小值分别为 M 和 m，即有mf(x
18、)M，x0，1又由拉格朗日中值定理有f(x)=f(x)-f(0)=xf(x)，则 因 mf()M，故xmxf()xM(因 x0)，所以 2mx2xf()2xM因而 ，即 m M，亦即 m M对 f(x)使用介值定理，得到至少存在一点 0，1，使f()= )解析：解析 因 f(x)在0，1上连续，如能证明19.求解差分方程 yx+1+3yx=x2x（分数：10.00）_正确答案：(特征方程为 +3=0，其特征根为 =-3，故对应齐次方程的通解为，C 为任意常数因为 b=2 不是特征根，所以可设非齐次方程的特解形式为=(A0+A1x)2x，代入非齐次方程得A0+A1(x+1)2x+1+3(A0+A
19、1x)2x=x2x，即A 0+A1(x+1)2+3(A0+A1x)=x比较两端同次幂系数，解之得于是所求特解为因此原方程的通解为)解析：解析 f(x)的形式为 Pn(x)bx，P n(x)为 x 的 n 次多项式，而 n=1，b=2因特征根 =-32，即f(x)的底数 b=2 不是特征根，故可设非齐次方程的特解形式为 *=(A0+A1x)2x将其代入非齐次方程后，比较两端同次幂的系数定出常数 A0，A 1即可求得一特解设 A 为三阶实对称矩阵，且存在可逆矩阵，使得 （分数：11.01）(1).求 0的值（分数：3.67）_正确答案：(由题设，有 AP= ，令 P= 1， 2， 3，其中，则 A
20、 1=1 1，A 2=2 2，A 3=-1 3，即 1， 2， 3是属于 3 个不同特征值 1=1， 2=2， 3=-1 的特征向量，而 A 为三阶实对称矩阵，其不同特征值对应的特征向量必正交，则得解得 a=0，b=-2又 A*= 0，而 =- 3，于是有A*(- 3)= 0(- 3)，即 A* 3= 0 3，从而 AA* 3= 0A 3，|A| 3= 0A 3，可见又 A 3=(-1) 3，因此有 )解析：(2).计算(A *)-1（分数：3.67）_正确答案：(由 A 1=1 1，A 2=2 2，A 3=-1 3及有 A 1， 2， 3= 1，2 2，- 3于是A= 1，2 2，- 3 1
21、， 2， 3-1=故有 )解析：(3).计算行列式|A *+E|（分数：3.67）_正确答案：(由 A i= i i(i=1，2，3)，有 A* i= ，进而有可见 A*+E 的特征值为)解析：解析 利用实对称矩阵的特征向量正交性可求出 a，b，再由 A 的特征值 1，2，-1，可求得 A*的特征值，从而求得 A*+E 的特征值，于是其行列式易求得，只需用公式(A *)-1=A/|A|即可求得(A *)-1设 A 为三阶矩阵， 1， 2， 3为三维线性无关列向量组，且有A 1= 2+ 3，A 2= 3+ 1，A 3= 1+ 2（分数：11.00）(1).求 A 的全部特征值（分数：5.50）_
22、正确答案：(由题设知，A( 1+ 2+ 3)=2( 1+ 2+ 3)，A( 2- 1)=A 2-A 1= 3+ 1-( 2+ 3)=-( 2- 1)，A( 3- 1)=A 3-A 1= 1+ 2-( 2+ 3)=-( 3- 1)，又因为 1， 2， 3线性无关，所以 1+ 2+ 30， 2- 10， 3- 10可得-1，2 是 A 的特征值， 2- 1， 3- 1， 1+ 2+ 3是相应的特征向量又由 1， 2， 3线性无关，得 2- 1， 3- 1。也线性无关，所以-1 是 A 的二重特征值，即 A 的全部特征值为-1，-1，2)解析：(2).A 是否可对角化?（分数：5.50）_正确答案：
23、(由 1， 2， 3线性无关可证明 2- 1， 3- 1， 1+ 2+ 3线性无关事实上，由矩阵表示法：)解析：解析 利用所给的向量等式及特征值、特征向量约定义可求出 A 的全部特征值及三个线性无关的特征向量20.商店销售一批收音机，共有 10 台，其中有 3 台次品，但是已经售出了 2 台问从剩下的收音机中任取一台是正品的概率是多少?（分数：10.00）_正确答案：(设事件 A 表示从剩下的收音机中任取一台是正品的事件，A k表示售出的 2 台中恰有k(k=0.1，2)台为正品的事件，则 A0，A 1，A 2为一完备事件组利用超几何分布得到(k=0，1，2)易求得P(A0)= ，P(A 1)
24、= ，P(A 2)= P(A|Ak)= (k=0，1，2)，则 P(A|A0)= ，P(A|A 1)= ，P(A|A 2)= 由全概率公式得到P(A)=P(A0)P(A|A0)+P(A1)P(A|A1)+P(A2)P(A|A2)= )解析：解析 弄清楚随机试验的结构是求解的关键易知试验分两个阶段进行：第一阶段是售出的 2 台中有 k(k=0.1，2)件正品；第二阶段是在第一阶段的基础上任取一台，考虑其为正品的概率不难想到应该用全概率公式需找出一个完备事件组已知(X，Y)的联合概率密度为（分数：11.01）(1).求在 Y=y 的条件下，X 的条件概率密度（分数：3.67）_正确答案：(如下图所示，当 0y1 时，故在 Y=y 的条件下，X 的条件概率密度为)解析：(2).X 与 Y 是否相互独立?并说明理由（分数：3.67）_正确答案：( ，故 )解析：(3).求 P(0X1/2|Y=1/2)（分数：3.67）_正确答案：( )解析：解析 先求出条件概率密度，然后利用它回答下面的两个问题
