1、考研数学三-159 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：50，分数：100.00)1.设 an0(n=1，2，)且 收敛，常数 (0， )，则级数 （分数：2.00）A.B.C.D.2.设常数 0，则级数 （分数：2.00）A.B.C.D.3.设正数列a n单调减少，且交错级数 发散，则级数 （分数：2.00）A.B.C.D.4.设级数 收敛，则级数 A 必收敛 B 必收敛 C 必收敛 D （分数：2.00）A.B.C.D.5.设 收敛，则级数 （分数：2.00）A.B.C.D.6.在命题设 收敛，则 收敛设 收敛且 n时 an与 bn是等价无穷
2、小，则 收敛设 收敛，则 设 收敛，又 绝对收敛，则 （分数：2.00）A.B.C.D.7.已知 un0(n=1，2，3，)，且 条件收敛若设 vn=3u2n-1-u2n(n=1，2，3，)，则级数（分数：2.00）A.B.C.D.8.设有关级数的三个命题是：设幂级数 条件收敛，则它的收敛半径 R=1设幂级数 的收敛半径分别为 R10，R 20，则 的收敛半径 R=min(R1，R 2)设 an0 满足 (n=1，2，3，)，则 （分数：2.00）A.B.C.D.9.若 的收敛域是(-8,8，则 的收敛半径及 （分数：2.00）A.B.C.D.10.幂级数 的和函数 S(x)= A B C D
3、 （分数：2.00）A.B.C.D.11.当|x|1 时，幂级数 （分数：2.00）A.B.C.D.12.交错级数 的和 S= A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.13.幂级数 （分数：2.00）A.B.C.D.14.幂级数 （分数：2.00）A.B.C.D.15.设 则 f(x)在点 x=0处 6阶导数 f(6)(0)A不存在 B等于 C等于 D等于 （分数：2.00）A.B.C.D.16.在方程 ， ， ， （分数：2.00）A.B.C.D.17.设 y=y(x)在0，+)可导，在 x(0，+)处的增量 y=y(x+x)-y(x)满足 y(1+y)= ，其中 当 x0 时是与
4、 x 等价的无穷小，又 y(0)=1则 y(x)等于 A(1+x)ln(1+x)+1 Bln(1+x)+1 C （分数：2.00）A.B.C.D.18.设微分方程(1+x 2)y-2xy=x满足 y(0)=1的特解是 y*(x)，则 =A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.19.设 L是连接两点 A(1，0)与 B(0，1)的一条凸弧，P(x，y)是 L上的任意一点已知凸弧 L与弦 AP围成的平面图形的面积等于 x4，则 L的方程是（分数：2.00）A.B.C.D.20.方程 y“+9y=0通过点(，1)且在该点和直线 y+1x 相切的积分曲线为Ay=C 1cos3x+C2sin3
5、x By=cos3x+C 2sin3xCy=cos3x D （分数：2.00）A.B.C.D.21.设 A为待定常数，则微分方程 （分数：2.00）A.B.C.D.22.设微分方程 y“+2y+y=0，函数 y*=Ce-x(其中 C为任意常数)，则 A.xy*是方程的通解 B.xy*是方程的特解 C.xy*不是方程的解 D.xy*是方程的解（分数：2.00）A.B.C.D.23.设 y=y(x)是 y“+by+c=0的解，其中 b，c 为正的常数，则 （分数：2.00）A.B.C.D.24.已知 y*=e-2x+(x2+2)ex是二阶常系数线性非齐次微分方程 y“+ay+by=(cx+d)ex
6、的一个解，则方程中的系数 a与 b以及非齐次项中的常数 c和 d分别是 A.a=1，b=-2，c=6，d=2 B.a=1，b=2，c=6，d=-2 C.a=1，b=-2，c=-6，d=2 D.a=1，b=-2，c=6，d=-2（分数：2.00）A.B.C.D.25.设函数 f(x)在2，+)上可导且 f(2)=1若 f(x)的反函数 g(x)满足 ，则 f(4)= A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.26.若 A、B 为非零常数，C 1、C 2为任意常数，则微分方程 y“+k2y=cosx的通解应具有形式 A.C1coskx+C2sinkx+Asinx+Bcosx B.C1cos
7、kx+C2sinkx+Axcosx C.C1coskx+C2sinkx+Axsinx D.C1coskx+C2sinkx+Axsinx+Bxcosx（分数：2.00）A.B.C.D.27.设 A，B 都是不等于零的常数，则微分方程 y“-2y+5y=excos2x有特解 A.y*=xex(Acos2x+Bsin2x) B.y*=ex(Acos2x+Bsin2x) C.y*=Axexcos2x D.y*=Axexsin2x（分数：2.00）A.B.C.D.28.设 a，b，c 为待定常数，则微分方程 y“-3y+2y=3x-2ex的特解具有形式 A.(ax+b)ex B.(ax+b)xex C.
8、(ax+b)+cex D.(ax+b)+cex（分数：2.00）A.B.C.D.29.设 A，B，C 为待定常数，则差分方程 yt+1-yt=t2-1的特解具有形式A (t)=At2+B. B (t)=At3+Bt2+Ct.C (t)=At3+Bt2. D （分数：2.00）A.B.C.D.30.差分方程 的一个特解是 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.31.设 （分数：2.00）A.B.C.D.32.下列 n阶行列式中，其值必为-1 的是 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.33.设 1， 2， 2， 1， 2均为四维列向量，A= 1， 2， 3，1，B= 3，
9、 1， 2， 2，且|A|=1，|B|=2则|A+B|= A.9 B.6 C.3 D.1（分数：2.00）A.B.C.D.34.设 A= 1， 2， 3是三阶矩阵，则|A|= A.| 1- 2 2- 3 3- 1| B.| 1+ 2 2+ 3 3+ 1| C.| 1+2 2 3 1+ 2| D.| 1 2+ 3 1+ 2|（分数：2.00）A.B.C.D.35.已知 1， 2， 1， 2， 都是 3维列向量，且行列式| 1 1 |=| 1 2 |=| 2 1 |=| 2 2 |=3，那么|-2 1+ 2 1+2 2|= A.-18 B.-36 C.64 D.-96（分数：2.00）A.B.C.
10、D.36.设 n阶矩阵 A= 1， 2， n，B= n， 1， n-1，若行列式|A|=1，则|A-B|= A.0 B.2 C.1+(-1)n+1 D.1+(-1)n（分数：2.00）A.B.C.D.37.设矩阵 ，矩阵 B满足 AB+B+A+2E=0，则|B+E|= A-6 B6 C D （分数：2.00）A.B.C.D.38.已知 ，矩阵 B满足 A*B+2A-1=B，其中 A*是 A的伴随矩阵，则|B|=ABCD （分数：2.00）A.B.C.D.39.设 A为三阶方阵，A *为 A的伴随矩阵， ，则|4A-(3A *)-1|=A （分数：2.00）A.B.C.D.40.已知 2n阶行列
11、式 D的某一列元素及其余子式都等于 a，则 D= A.0 B.a2 C.-a2 D.na2（分数：2.00）A.B.C.D.41.设 A是三阶矩阵，A *是 A的伴随阵，已知 A的每行元素之和为 k，A *的每行元素之和为 m，则|A|=Akm B(-1) nkmC D （分数：2.00）A.B.C.D.42.设 A是三阶矩阵，其中 a110，A ij=aij，i=1，2，3，j=1，2，3，则|2A T|= A.0 B.2 C.4 D.8（分数：2.00）A.B.C.D.43.设 A是 mn矩阵，B 是 nm矩阵，且 nm，则必有 A.|AB|=0 B.|BA|=0 C.|AB|=|BA|
12、D.|AB|AB|=|AB|AB|（分数：2.00）A.B.C.D.44.设 A，B 是 n阶矩阵，则下列结论正确的是 AAB=0 A=0且 B=0 BA=0 |A|=0 C|AB|=0 |A|=0或|B|=0 D|A|=1 （分数：2.00）A.B.C.D.45.设 ，则 A-1=ABCD （分数：2.00）A.B.C.D.46.设 A，B 均为 n阶可逆矩阵，正确的法则是 A.(A+B)(A-B)=A2-B2 B.(A+B)-1=A-1+B-1 C.(A+B)2=A2+2AB+B2 D.(AB)*=B*A*（分数：2.00）A.B.C.D.47.设 A是 n阶可逆阵，则下列等式不成立的是
13、A.(A+A-1)2=A2+2AA-1+(A-1)2 B.(A+AT)2=A2+2AAT+(AT)2 C.(A+A*)2=A2+2AA*+(A*)2 D.(A+E)2=A2+2AE+E2（分数：2.00）A.B.C.D.48.设 A、B 均 n阶可逆矩阵，且(A 十 B)2=E，则(E+BA -1)-1= A.(A+B)B. B.E+AB-1. C.A(A+B). D.(A+B)A.（分数：2.00）A.B.C.D.49.设 A、B 都是 n阶方阵，且(AB) 2=E，则必有 A.A-1=B. B.AB=E或 AB=-E. C.AB=E. D.A-1=BAB.（分数：2.00）A.B.C.D.
14、50.下列命题中，(1)如果矩阵 AB=E，则 A可逆且 A-1=B；(2)如果 n阶矩阵 A，B 满足(AB) 2=E，则(BA) 2=E；(3)如果矩阵 A，B 均 n阶不可逆，则 A+B必不可逆；(4)如果矩阵 A，B 均 n阶不可逆，则 AB必不可逆正确的是 A.(1)(2) B.(1)(4) C.(2)(3) D.(2)(4)（分数：2.00）A.B.C.D.考研数学三-159 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：50，分数：100.00)1.设 an0(n=1，2，)且 收敛，常数 (0， )，则级数 （分数：2.00）A. B.C.D
15、.解析：解析 注意以下两件事实：(1)*(2)若正项级数*收敛，则*也收敛我们考察取绝对值后的级数*，并用比较判别法的极限形式*由*收敛*收敛*原级数绝对收敛评注 若正项级数*收敛，则*收敛证明如下：利用正项级数收敛的充要条件：部分和数列有界分别记*的部分和为 Sn与 Tn由*收敛*S n=a1+a2+an有界，即存在常数 M0 使得 SnM(*n)从而对*n 有，Tn=a2+a4+a2nS 2nM，故*收敛2.设常数 0，则级数 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 令*，则 * 且* 因为对于任何 0 级数*都是收敛的，按比较判别法知*收敛 故对任何 0 级数*绝对收敛 应选(A
16、) 评注 把比较判别法用于正项级数*与 p级数*，有如下结果：设*A，其中 A可以是+，则 当 p1 且 0A+时级数*收敛 当 0p1 且0A+时级数*发散3.设正数列a n单调减少，且交错级数 发散，则级数 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由于数列a n满足 a1a 2a n0，从而数列a n必存在极限，若*，则必有交错级数*收敛，与题设条件矛盾从而存在常数 a0 使得*故级数*绝对收敛，应选(C)4.设级数 收敛，则级数 A 必收敛 B 必收敛 C 必收敛 D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 由*收敛*收敛(它们只差一项) *收敛(级数的线性性质) 因此选
17、(D) *5.设 收敛，则级数 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 因为*，从而由*收敛知*收敛，即*绝对收敛，故应选(A)6.在命题设 收敛，则 收敛设 收敛且 n时 an与 bn是等价无穷小，则 收敛设 收敛，则 设 收敛，又 绝对收敛，则 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 关于命题与是考查考生对正项级数与变号级数之间差别的了解若*是正项级数且收敛，则 n充分大后 0a n1*0*a n，故*收敛，即对正项级数而言命题是正确的，但对变号级数而言，命题是不正确的如*收敛，但*发散对于正项级数，命题则是比较判别法极限形式的推论，但命题对变号级数也是不正确的如*，则*，
18、即当 n时 an与 bn是等价无穷小，但*收敛而*发散关于命题，若*收敛，则必有 an为无穷小，这里要考查 an与*的阶的关系命题是不正确的如*收敛，但*命题是正确的因*收敛*a n0(n)*a n有界即*常数 M使得|a n|M(n=1，2，)*|anbn|M|b n|由*收敛*收敛*成立评注 (1)从选择正确答案的角度来看，如果你能证明正确，则自然就不必再考察，与或者你能通过举反例判定、不正确，则就自然入选。(2)要注意正项级数与变号级数间的差别7.已知 un0(n=1，2，3，)，且 条件收敛若设 vn=3u2n-1-u2n(n=1，2，3，)，则级数（分数：2.00）A. B.C.D.
19、解析：解析 注意，由交错级数*条件收敛及 un0(n=1，2，)知*，其中 T是一个常数于是级数*的前 n项部分和 Sn=v1+v2+vn=2(u1+u3+u2n-1)+(u1-u2+u3-u4+u2n-1-u2n)，所以，*，即*发散8.设有关级数的三个命题是：设幂级数 条件收敛，则它的收敛半径 R=1设幂级数 的收敛半径分别为 R10，R 20，则 的收敛半径 R=min(R1，R 2)设 an0 满足 (n=1，2，3，)，则 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 此类选择题必须逐一判断关于命题：若熟悉幂级数的收敛特点立即可知该命题正确记该幂级数的收敛半径为 R，若 R1，由于
20、当|x|关于命题：当 R1R 2时 R=min(R1，R 2)当 R1=R2时，结论未必正确设有级数*，容易求得它们的收敛半径均为 R1=R2=1但是*的收敛半径为 R=2因此命题不正确关于命题：注意，对于正项级数*，若存在极限*，则*收敛但是*与*有本质区别，虽有*但仍可能有*(若它存在的话)，这时比值判别法失效事实上，若 a*，则*，但*发散因此命题也不正确综上所述，应选(B)9.若 的收敛域是(-8,8，则 的收敛半径及 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 由*的收敛域是(-8，8可知，幂级数*的收敛半径是 8，从而幂级数*的收敛半径也是 8，又因幂级数*是幂级数*两次逐项求
21、积分所得，由幂级数和函数的性质可得，幂级数*的收敛半径也是 8幂级数*的收敛域是-8x 38 即-2x2评注 (1)应掌握幂级数收敛性的如下特点：幂级数*与其逐项求导或逐项求积分后的幂级数*有相同的收敛半径本题还考查问接求幂级数的收敛域的方法(2)求幂级数*的收敛半径时，以下解法虽可选出正确选项，但理论根据却是错误的：由*的收敛域是(-8，8可知，幂级数*的收敛半径是 8，所以*，于是幂级数*的收敛半径是 8错误之处在于：因为已知的定理是：若*的收敛半径为*，但反过来不一定对，即若*的收敛半径为 R，则不一定有*因为极限*可能不存在，因此前面的解法是加强了条件即假设*存在的前提下获得结果10.
22、幂级数 的和函数 S(x)= A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 设*，由几何级数和函数公式*可得 * 设*，则 * 设*，则 * 故*应选(A)11.当|x|1 时，幂级数 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 1 设*，则 S(0)=0因为*=*即* 故* 解析 2 已知 * 将 x换成-x 得 *，即应选(B)12.交错级数 的和 S= A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 1 用直接求和法计算，注意 * 两者相加即得 * 利用*即知* 解析 2 利用幂级数的和函数公式*当 x(-1,1)成立可得 *13.幂级数 （分数：2
23、.00）A.B.C.D. 解析：解析 计算可得两个幂级数*的收敛半径 R与收敛域分别是 1与-1，1设*，则 S(x)=xS1(x)从而只需求出和函数 S1(x)即可当|x|1 时将幂级数*逐项求导得*，利用 S1(0)=0，故当|x|1 时*由于 arctanx在-1，1连续，且幂级数*在 x=-1与 x=1两点处都收敛，从而和函数公式 S1(x)=arctanx不仅在|x|1 成立，而且还在 x=-1与 x=1也成立即 S1(x)=arctanx，x-1，1故 S(x)=zarctanx，x-1，1，应选(D)14.幂级数 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 计算可得 * 从而
24、幂级数*的收敛半径 R=1，故幂级数当|x-1|1 即 x(0，2)时绝对收敛 当 x=0时幂级数成为交错级数*，由于数列*单调减少且*，可见级数*收敛 当 x=2时幂级数成为正项级数*，它的一般项满足*(n=1，2，3，)，可见级数*发散 综上即得幂级数：*的收敛域为0，2)，故应选(B)15.设 则 f(x)在点 x=0处 6阶导数 f(6)(0)A不存在 B等于 C等于 D等于 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 当 x0 时 *，所以*+，在这个表达式中令 x=0也可得*，从而这个表达式对x(-，+)成立又因为*，令 n=6，由函数幂级数展开式的唯一性可得： * 评注 上式
25、用到了 cosx的幂级数展开式*16.在方程 ， ， ， （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 方程对未知函数 y及其导数*是一次的，故是线性微分方程 方程可改写成*，它对未知函数 x及其导数*是一次的，故也是线性微分方程选(D)17.设 y=y(x)在0，+)可导，在 x(0，+)处的增量 y=y(x+x)-y(x)满足 y(1+y)= ，其中 当 x0 时是与 x 等价的无穷小，又 y(0)=1则 y(x)等于 A(1+x)ln(1+x)+1 Bln(1+x)+1 C （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 本题实质上是解微分方程的初值问题首先，将等式两边除以 x，并令
26、x0，注意 * 这是一阶线性非齐次微分方程的初值问题，其通解为 * 由 y(0)=1得 C=1，所以 y=(1+x)ln(1+x)+1，选(A)18.设微分方程(1+x 2)y-2xy=x满足 y(0)=1的特解是 y*(x)，则 =A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 用*同乘方程两端即得 * 即*，积分可得方程的通解是 * 从而*，令 y(0)=1可确定常数*于是所求特解*-*求定积分可得 * 故应选(A)19.设 L是连接两点 A(1，0)与 B(0，1)的一条凸弧，P(x，y)是 L上的任意一点已知凸弧 L与弦 AP围成的平面图形的面积等于 x4，则 L的方程
27、是（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 设 L的方程为 y=y(x)，由题设知 y(0)=1，y(1)=0又因 L是连接 A，B 两点的凸弧，从而当 0x1 时 y(x)0 成立设点 Q是点 P在 x轴上的投影，则点 Q的坐标是(x，0)，且曲边梯形 OQPA的面积为*，梯形 OQPA的面积为*，于是凸弧 L与弦 AP围成的平面图形的面积*因 y(x)连续，于是*可导，由上面等式知 y(x)当 0x1 时可导将上式求导即得*整理得 y=y(x)满足一阶线性微分方程*用积分因子*同乘方程两端，得*积分得方程的通解*令 x=1，y(1)=0 可确定常数 C=3，故 L的方程是 y=1+3
28、x-4x3应选(C)评注 (1) 对任何常数 C函数 y=1+Cx-4x3都满足条件 y(0)=1因而求得的曲线 L满足题目要求的全部条件(2) 函数 ep(x)dx 称为一阶线性方程 y+p(x)y=Q(x)的积分因子，用它同乘方程的两端可得(ye p(x)dx )=Q(x)ep(x)dx ，再积分一次就可求得方程的通解20.方程 y“+9y=0通过点(，1)且在该点和直线 y+1x 相切的积分曲线为Ay=C 1cos3x+C2sin3x By=cos3x+C 2sin3xCy=cos3x D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 方程的通解 y=C1cos3x+C2sin3x，按
29、题意还满足：y()=-1，y()=1*C 1=1，C 2=-*应选(D)21.设 A为待定常数，则微分方程 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 特征方程为 r2+2r+1=0，r=-1 为二重特征根，按照设特解的规则应设特解形式为 y*=Ax2e-x，故应选(C)22.设微分方程 y“+2y+y=0，函数 y*=Ce-x(其中 C为任意常数)，则 A.xy*是方程的通解 B.xy*是方程的特解 C.xy*不是方程的解 D.xy*是方程的解（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为二阶微分方程的通解需含两个任意常数，所以 xy*不是通解，又因为特解不含任意常数，所以 xy*
30、不是特解；最后因为 y=Cxe-x代入方程能使它成为关于 x的恒等式，所以 y=Cxe-x是方程的解，所以(C)不入选，应选(D)23.设 y=y(x)是 y“+by+c=0的解，其中 b，c 为正的常数，则 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 y“+by+cy=0 是二阶线性常系数齐次微分方程，其特征方程是 r2+br+c=0，特征根为*它们或为相异实根，或为重实根，或为共轭复根但不论哪种情形，特征根的实部总是负的注意当常数 0 时，*因此对 y“+by+cy=0的任一解 y=y(x)均有*故应选(B)24.已知 y*=e-2x+(x2+2)ex是二阶常系数线性非齐次微分方程 y
31、“+ay+by=(cx+d)ex的一个解，则方程中的系数 a与 b以及非齐次项中的常数 c和 d分别是 A.a=1，b=-2，c=6，d=2 B.a=1，b=2，c=6，d=-2 C.a=1，b=-2，c=-6，d=2 D.a=1，b=-2，c=6，d=-2（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 把 y*=e-2x+(x2+2)ex，(y *)=-2e-2x+(x2+2x+2)ex，(y *)“=4e-2x+(x2+4x+4)ex代入微分方程可得(y*)“+a(y*)+by*=(4-2a+b)e2x+(1+a+b)x2ex+(4+2a)xex+(4+2a+2b)ex*(cx+d)ex，
32、就有*不难由前两个方程求得 a=1，b=-2，把它们代入后两个方程又可得到 c=6，d=-2，故应选(D)25.设函数 f(x)在2，+)上可导且 f(2)=1若 f(x)的反函数 g(x)满足 ，则 f(4)= A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 当 x2 时将题设的等式两边对 x求导数，得gf(x)f(x)=x2f(x)+2xf(x)+1，(*)由于 ff(x)x，从(*)式又可得xf(x)=x2f(x)+2xf(x)+1*(x2-x)f(x)+2xf(x)=-1*(x-1)f(x)+2f(x)=-*(x-1)2f(x)+2(x-1)f(x)=*(x-1)2f(
33、x)=*(*)将(*)式两边在区间2，4上求定积分，并利用 y(2)=1就有*故应选(D)26.若 A、B 为非零常数，C 1、C 2为任意常数，则微分方程 y“+k2y=cosx的通解应具有形式 A.C1coskx+C2sinkx+Asinx+Bcosx B.C1coskx+C2sinkx+Axcosx C.C1coskx+C2sinkx+Axsinx D.C1coskx+C2sinkx+Axsinx+Bxcosx（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由于齐次方程的通解为 C1coskx+C2sinkx，这样只需验证的就是在四个函数Asinx+Bcosx，Axcosx，Axsinx
34、 与 Axsinx+Bxcosx中哪一个是非齐次方程的特解如果非齐次方程的特解形式为 Asinx+Bcosx，说明此时 k1，经验证可知特解为*，即 A=0，*而根据题设 A、B 均为非零常数，说明它不符合题意，故选项(A)是错误的如果 k=1，则特解应具形式 Axsinx+Bxcosx，代入原方程可知：*，B=0，由此可见应选(C)27.设 A，B 都是不等于零的常数，则微分方程 y“-2y+5y=excos2x有特解 A.y*=xex(Acos2x+Bsin2x) B.y*=ex(Acos2x+Bsin2x) C.y*=Axexcos2x D.y*=Axexsin2x（分数：2.00）A.
35、B.C.D. 解析：解析 微分方程 y“-2y+5y=0的特征方程是 2-2+5=0，特征根是 1=1+2i， 2=1-2i，方程的非齐次项 f(x)=excos2x按照选取特解的规则应设非齐次微分方程 y“-2y+5y=excos2x具有形式为y*=xex(acos2x+bsin2x)的特解，其中 a与 b是待定常数记 y1=excos2x，y 2=exsin2x，则y*=x(ay1+by2)，y*=x(ay1+by2)+(ay1+by2)，y“*=x(ay“1+by“2)+2(ay1+by2)，从而y“*-2y*+5y*=xa(y“1-2y1+5y1)+b(y“2-2y2+5y2)+2a(
36、y1-y1)+2b(y2-y2)=2a(y1-y1)+2b(y2-y2)=2aex(cos2x-2sin2x-cos2x)+2bex(sin2x+2cos2x-sin2x)=-4aexsin2x+4bexcos2x要使 y*是方程的特解，待定系数应满足 a=0，*，即微分方程y“-2y“+5y=excos2x有特解*故应选(D)28.设 a，b，c 为待定常数，则微分方程 y“-3y+2y=3x-2ex的特解具有形式 A.(ax+b)ex B.(ax+b)xex C.(ax+b)+cex D.(ax+b)+cex（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 微分方程对应的齐次微分方程是：y“
37、-3y+2y=0，其特征方程为 r2-3r+2=0，其特征根为r1=1，r 2=2因此微分方程 y“-3y+2y=-2ex有形如 y1*=cxex的特解又微分方程 y“-3y+2y=3x有形如 y2*=ax+b的特解所以，由迭加原理知，原方程 y“-3y+2y=3x-2ex有形如 y*=y1*+y2*=cxex+(ax+b)的特解，应选(D)评注 经计算可确定常数*29.设 A，B，C 为待定常数，则差分方程 yt+1-yt=t2-1的特解具有形式A (t)=At2+B. B (t)=At3+Bt2+Ct.C (t)=At3+Bt2. D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 由于
38、f(t)=t2-1为二次式，又因为 a=-1，所以特解形式为*(t)=t(At2+Bt+C)=At2+Bt2+Ct应选(B)评注 计算可得*30.差分方程 的一个特解是 A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 根据设特解的规则应设特解*代入方程计算可得A=-2，B=-1，故应选(C)评注 一阶常系数非齐次线性差分方程 yt+1+ayt=f(t)的特解取法如下：若 f(t)=pm(t)dt，其中 pm(t)是 t的 m次多项式，常数 d0特解的取法如下表*其中 Qm(t)是待定系数的 m次多项式；A 是待定常数若 f(t)=Mcost+Nsint，其中 M，N， 是常数，
39、且 02，这时可取特解*(t)=Acost+Bsint，其中 A和 B是待定常数。注意，即使 M与 N中有一个为零，也应设特解是以上形式31.设 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 *故选(D)或将行列式|A|的第一列加到第二列上，再将二、三列互换，之后第一列乘以 2就可以得到行列式|B|由行列式的性质知|B|=-2|A|=-2m评注 矩阵做初等变换之后，其行列式变化如下，(1)互换矩阵 A的 i，j 二列得到矩阵 B1，则B1=AE(i，j)，|B 1|=-|A|(2)将矩阵 A的第 i列乘以非零常数 k得到矩阵 B2，则 B2=AE(i(k)，|B2|=k|A|(3)将矩阵 A
40、第 i列的 k倍加到第 j列上得到矩阵 B3，则 B3=AE(ij(k)，|B 3|=|A|行的初等变换有类似的结果注意 矩阵做初等变换后，行列式的值可能改变正负或大小，但原行列为 0，初等变换后仍为 0，原行列式不为 0，初等变换后仍不为 0，即初等变换不改变行列式的非零性，不改变矩阵的可逆性32.下列 n阶行列式中，其值必为-1 的是 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 (A)中行列式的值等于*，从而不对(B)中行列式按第一列展开可得其值为 1+(-1)n+1(C)中行列式按第一行展开得(-1) n+1(D)中的行列式按第一行展开之后，对 n-1阶行列式再按第一
41、列展开得1(-1)n+11(-1)n-1+1=-1故(D)为正确答案评注 特殊行列式的计算是应掌握的考点(1)行列式*均等于主对角上元素的乘积(2)行列式*均等于副对角上元素的乘积并乘以符号*33.设 1， 2， 2， 1， 2均为四维列向量，A= 1， 2， 3，1，B= 3， 1， 2， 2，且|A|=1，|B|=2则|A+B|= A.9 B.6 C.3 D.1（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 由于矩阵加法 A+B= 1+ 3， 2+ 1， 3+ 2， 1+ 2，根据行列式的性质有|A+B|=| 1+ 3， 2+ 1， 3+ 2， 1+ 2|=|2( 1+ 2+ 3)， 2+
42、 1， 3+ 2， 1+ 2|=2| 1+ 2+ 3， 2+ 1， 3+ 2， 1+ 2|=2| 1+ 2+ 3，- 3，- 1， 1+ 2|=2| 2，- 3，- 1， 1+ 2|=2| 1， 2， 3， 1+ 2|=2(|A|+|B|)=6或|A+B|=| 1+ 3， 2+ 1， 3+ 2， 1+ 2|=*=| 1， 2， 3， 1+ 2|*=2(| 1， 2， 3， 1|+| 1， 2， 3， 2|)=6评注 矩阵行列式多次在考研中出现，我们有行列式乘法公式|AB|=|A|B|，但|A+B|没有运算法则，本题考查用行列式性质对其化简同时要注意 k 1， 2， n=k| 1， 2， n|，
43、而|kA|=kn|A|，不是 k|A|两者亦不能混淆34.设 A= 1， 2， 3是三阶矩阵，则|A|= A.| 1- 2 2- 3 3- 1| B.| 1+ 2 2+ 3 3+ 1| C.| 1+2 2 3 1+ 2| D.| 1 2+ 3 1+ 2|（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查行列式的性质，分别对每个行列式作适当的列变换，向| 1， 2， 3|靠拢(A)| 1- 2 2- 3 3- 1|=|0 2- 3 3- 1|=0；(B)| 1+ 2 2+ 3 3+ 1|=|2( 1+ 2+ 3) 2+ 3 3+ 1|=2| 1+ 2+ 3 2+ 3 3+ 1|=2| 1 2+ 3 3+ 1|=2| 1 2+ 3 3|=2|A|；(C)| 1+2 2 3 1+ 2|=| 2 3 1+ 2|=| 2 3 1|=|A|；(D)| 1 2+ 3 1+ 2|=| 1 2+ 3 2|=| 1 3 2|=-|A|请说出每个等号成立的理由，作的什么变换，用的什么性质?35.已知 1， 2， 1， 2， 都是 3维列向量，且行列式| 1 1 |=| 1 2 |=| 2 1 |=| 2 2 |=3，那么|-2 1+ 2 1+2 2|= A.-18
